Problème sur les suites

Voilà voilà, mon plus gros cauchemar, les suites. Je n'ai jamais aimé ça, depuis la 1e, et elle reviennent pour finir de m'achever. J'ai donc grand besoin de votre aide, j'ai jamais fait appel à quiconque, c'est vraiment que je suis au bord du suicide, surtout que je sais qu'il n'y a pas grandes difficultés là dedans...

On considère f(x) = (3x+2) / (x+4) définie sur I [0;1]
1. Etudier les variations de f, et en déduire que pour tout x élément de I, f(x) appartient à I.

=> Donc f est strictement croissante en ]-oo;-4[U]-4;oo[ Premier problème, ça paraît évident de savoir que pour tout x élement de I, f(x) y appartient, mais je ne sais pas comment faire.

2. On considère la suite (Un) définie par : Uo = 0
Un+1= (3Un+2)/(Un+4)
Montrer que pour tout n, Un appartient à I.

=> Cette réponse découle de la précédente, normalement.


On étudie la suite de deux méthodes :

1ère méthode :

(On est censés représenter graphiquement etc...)

a. Etablir la relation Un+1-Un = ((1-Un)(Un+2))/(Un+4) et en déduire le sens de variation de la suite (Un)

=> On développe, puis on reprend le calcul en commençant au début avec Un+1 - Un, on met au même dénominateur et c'est bon. Même problème pour déduire de manière algébrique.

b. Démontrer que la suite est convergente.
c. Prouver que la limite L vérifie L = f(L) et calculer L


2ème méthode :

On considère Vn = (Un-1)/(Un+2)

1.Prouver que Vn est géométrique de raison 2/5
2. Calculer V0 et exprimer Vn en fonction de n
3. Exprimer Un en fonction de Vn puis en fonction de n
4. En déduire la convergence de la suite (Un) et sa limite.


Je n'ai pas fait cet exercice. Je suis au bord du coma.
Bref. Il me manque les méthodes des suites. J'espère que vous répondrez à mes attentes... Merci d'avance beaucoup beaucoup...

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Désolé pour l'attente "anormalement longue" mais la rentrée est une période où il est difficile d'être très présent dû au rendu des devoirs maisons et autres bilan de cours à préparer.

En fait, ton exercice est en deux parties. D'abord nous allons étudier une fonction de façon brute (variation, ensemble de définition, dérivation, ...).
Puis dans un deuxième temps, nous allons étudier la suite qui est totalement liée à la fonction c'est à dire que U_n+1= F(U_n).

Pour la question 1), ton étude est beaucoup beaucoup trop large !!!! En effet, l'intervalle I est [0;1] ce qui simplifie grandement les choses. Donc si tu la trouves croissante sur cette intervalle, il suffit de compléter le tableau de variation de ta fonction entre 0 et 1 pour avoir l'ensemble image de cette fonction tout simplement.
Ce qu'il faut bien comprendre ici est que nous ne sommes pas du tout sur R tout entier mais sur un petit intervalle de celui-ci. Et de plus, il faut bien avoir compris qu'un tableau de variation est vraiment un outil formidable pour déterminer des images ou des antécédents en fonction de la croissance ou de la décroissance d'une fonction.

Bon courage pour cette question et n'hésite pas à poser tes questions surtout !

Merci pour cet accueil chaleureux, et je t'en prie, on a le droit d'avoir des priorités dans la vie, je poste ici car j'ai considéré que les réponses étaient à la fois rapides, et de qualités, sans pour autant dénaturer la recherche au niveau des exercices.

Je trouvais ça un peu barbare de calculer l'image de f(0) et de f(1). Donc finalement, on calcule les image de f(1) et f(0) et on prouve que f est strictement croissante sur I et continue. Ca répond donc à notre première question.

=> Pour la deuxième question, faut-il démontrer par récurrence, ou enrichir la réponse à la première question ?


Après, j'aurais juste besoin de quelques aides méthodes pour démonter qu'une suite est convergente, et je pense pouvoir ensuite comprendre comment démontrer que la limite L vérifie L = f(L) et calculer cette limite.

Ensuite pour la partie II

1.Prouver que Vn est géométrique de raison 2/5
=> On divise Vn+1 par Un+1. On obtient au final 2(Un-1)/5(Un+2) et on a donc bien une raison de 2/5

2. Calculer V0 et exprimer Vn en fonction de n
=> V0 = -1/2 Vn = -1/2 x (2/5)^n

3. Exprimer Un en fonction de Vn puis en fonction de n

Je suis pas sûr de moi pour cette question, au niveau du développement des valeurs avec les puissances n, j'arrive à commencer avec Vn = (Un-1)/(Un+2) soit ce qu'on nous donne au départ. On remplace Vn par sa valeur <=> -1/2 x (2/5)^n = (Un-1)/(Un+2) Je fais un produit en croix. Et j'arrive à trouver Un = 1/2^n Si tu as le courage de chercher, pourrais-tu me dire si j'ai juste ^^.

4. En déduire la convergence de la suite (Un) et sa limite.

=> Même problème que pour la première partie.


J'ai assez avancé et j'aimerais que tu puisses, si tu as le temps, et dans le domaine de ton envie, combler mes manquements ^^

Merci d'avance, Lionika.

Bonjour,

Une suite est convergente à partir du moment où:

- elle est croissante et majorée
- elle est décroissante et minorée
- adjacente avec une autre suite

Après ça sera au cas par cas mais avec cette base là de travail, tu devrais pouvoir t'en sortir sans trop de soucis.

Pour montrer qu'une suite est géométrique, il faut calculer le quotient de deux termes consécutifs de la MEME suite (sinon, cela n'a pas de sens). Il faut donc calculer Vn+1/Vn et essayer de montrer que ce rapport vaut toujours 2/5 peu importe le choix de n.

Pour l'expression de Un en fonction de n, il faut bel et bien revenir à l'expression de Un en fonction de Vn. C'est à dire que ce qui serait vraiment intéressant serait d'exprimer dans un premier temps Un en fonction des termes de la suite (Vn) vu que tu sais les écrire. Puis il ne restera plus qu'à remplacer. Si la suite (Un) était géoémtrique dès le début, nous l'aurions su avec un simple calcul ce qui n'est pas le cas, il faut donc s'attendre à une forme plus complexe.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout !