Problème sur les suites

Salut!
Je dois faire un exercice sur les suites (encore) qui est, cette fois-ci sous la forme d'un problème mais, quelques questions m'échappent encore (pas beaucoup heureusement ^^). J'aurais donc besoin de quelques conseils :

Citation :

En biologie, on utilise souvent des suites pour modéliser l'évolution d'une population animale.
On note P0 la population initiale et Pn la population de la n-ième génération de la population d'animaux d'une réserve.

1. Dans un premier temps, on suppose que P0 = 500 et que Pn+1 = 1.035 Pn
a) Quelle est la nature de la suite (Pn)?
b) Quel est son sens de variation?
c) Exprimer Pn en fonction de n.
d) A partir de quelle valeur de n a t-on Pn > ou égal à 2000?

2. On suppose cette fois que :

P0 = 500
Pn+1 = 0.8Pn + 40

a) Calculer les termes P1 à P20, on en donnera des arrondis à l'unité.
b) Quelles conjectures peut-on faire sur la suite (Pn)?
c) Faire un graphique "en escalier" illustrant la génération des termes de la suite.
d) On pose alors Un = Pn -200
Prouver que la suite (Un) est une suite géométrique.
e)Exprimer Un en fonction de n puis Pn
f) Démontrer que la suite (Pn) est décroissante.

P0 : la population initiale
Pn : la population au bout de n générations.



1) P0 = 500 et Pn+1 = 1.035Pn
a) Pn = 1.035 Pn-1 --> suite géométrique
b) Pn sera logiquement croissante : les animaux allant se reproduire et, la suite Pn ayant un diviseur positif.
c) Pn = 1.035 * Pn-1
d) Pn > ou égal à 2000.


2000 = 500 * 1.305^n
2000/500 < ou égal à 1.035^n
4 < ou égal 1.035^n
4 < ou égal à 1.035^41

Pn = P0 * qn = 500 * 1.035^41 = 2048.9

On a donc : Pn > ou égal à 2000 à partir de n = 41.


2)

a)

b) (Pn) semble être une suite récurrente de limite 200.
c) Graphique de récurrence fait.
d) Un = Pn-200
-->Un=U0 * q^n --> suite géométrique

Pn = U0 * q^n

e) Un= Pn - 200
--> Un= u0 * q^n
--> Un+1 = Un * q


Un = Pn - 200
--> Un = 0.8Pn-1 + 40 - 200
Un = 0.8Pn-1 - 160

f) 0.8 Pn-1 + 40

Multiplier par 0.8 fait obligatoirement diminuer les valeurs de Pn+1 etc..
donc Pn décroissante.



Certaines réponses me semblent assez légères surtout dans la partie 2 où je galère sur les 3 dernières questions... En fait, je ne sais pas par où commencer...
Un petit coup de main serait donc fort utile ^^. Merci d'avance.

Bonjour,

Il y a de bonne intuition mais après certaines justification peine un peu en effet.

Alors reprenons dans l'ordre:

Citation :

b) Pn sera logiquement croissante : les animaux allant se reproduire et, la suite Pn ayant un diviseur positif.

La logique voudrait bien te donner raison mais les mathématiques demandent un peu plus de rigueur tout de même. En effet si je prend la suite définie par U_n+1 = (1/2)*U_n et bien le coefficient est positif et pourtant la suite (Un) est décroissante si tous les terme sont positif et croissante sinon. Ce qui te donne raison c'est le fait que 1.035 est supérieur à 1.

Ici, on sait que les Pn sont positif ou nulle par définition même. Donc sachant que: 1.035 > 1 et en multipliant cette inégalité par Un>0, on arrive à U_n+1 > Un ce qui implique donc la croissance de la suite.

Pour trouver un sens de variation, la méthode classique reste de faire U_n+1 - Un et de montrer que c'est négatif ou positif tout simplement.

Citation :

c) Pn = 1.035 * Pn-1

Ici tu ne répond pas à la question. En effet, tu exprimes Un en fonction de Un-1 et non de n. Cette question sert juste à savoir si tu connais la forme d'une suite géométrique et à quoi elle est égale dans ce cas précis là. Surtout que par la suite tu l'utilise pour résoudre l'inégalité.

Citation :

4 < ou égal 1.035^n
4 < ou égal à 1.035^41

Pn = P0 * qn = 500 * 1.035^41 = 2048.9

On a donc : Pn > ou égal à 2000 à partir de n = 41.

Pour cette question, n'oublie pas de calculer les terme précédent pour bien montrer qu'il est encore inférieur à 4. Car ici, on sait juste que le rang 41 est bon et par croissance c'est bon mais après tout pourquoi le rang 40 ne conviendrait pas? Et pour éviter ce genre de problème il faut toujours donner le rang qui marche et celui juste avant poru montrer qu'il ne convient pas.


Ensuite pour la partie 2:

Citation :

b) (Pn) semble être une suite récurrente de limite 200.

C'est vrai que la question est ambiguë mais en fait ce n'est pas ce qu'on te demande. En effet, on cherche à faire nue étude analogue à la première partie. Ici il faut donc conjecturer le sens de variation de la suite ainsi définie.

Citation :

d) Un = Pn-200
-->Un=U0 * q^n --> suite géométrique

Pn = U0 * q^n

J'ai l'impression que sur cette question, tu bluff . Tu donne la forme d'une suite géométrique bon ça c'est bon mais en quoi cela prouverait que (Un) est une suite géométrique? En rien, hélas. Il va donc falloir le démontrer rigoureusement. Comment?

Et bien, le classique pour démontrer qu'une suite est géométrique, on cherche à montrer que le quotient: U_n+1/Un ne dépend pas de n. Ou sinon, on cherche à exprimer Un+1 sous la forme A*Un avec A qui ne dépend pas de n. Il faut donc expliciter le fait que (U_n) est géométrique ici. Sachant l'expression de Pn+1 et l'expression de Un tu devrais pouvoir t'en sortir sans trop de dégât.

Il va donc falloir reprendre cette question et les suivante donc car les suivantes découle de celle-ci.

Bon courage et si tu as un problème sur ce que je viens de dire n'hésite pas. Pour la suite essaie de voir si tu arrives à avoir la question 2)d) comment finir le problème sachant comment s'exprime une suite géométrique et comment s'exprime Pn à partir de Un aussi. La dernière question, il faut prouve ce que tu avances en fait car multiplier par 0.8 sachant qu'on ajoute 40 il pourrait y avoir compensation et donc croissance (en tout cas pour l'instant rien ne prouve le contraire ).

1.b) Je dois donc faire Un+1 - Un :

Un+1 = 1.035 Pn
Un = 1.035 Pn-1

1.035 Pn - 1.035 Pn-1
1.035 (Pn-Pn-1) -->Ici, je ne peux plus rien toucher?


c) Pn = U0 * q^n = 500 * 1.035^n

d) Pn > ou égal à 2000.
Pn = P0 * q^n
avec : P0 = 500
q = 1.035
et Pn > ou égal à 2000


2000 = 500 * 1.305^n
2000/500 < ou égal à 1.035^n
4 < ou égal 1.035^n
4 < ou égal à 1.035^41

Pn = P0 * qn = 500 * 1.035^41 = 2048.9

Je vais tout de même voir si lorsque n=40, Pn < 2000 :

2000 = 500 * 1.305^n
2000/500 > à 1.035^n
4 > 1.035^n
4 > 1.035^40 car 1.035^40 = 3.95

On a donc : Pn > ou égal à 2000 à partir de n = 41.


2. b)

Citation :

Ici il faut donc conjecturer le sens de variation de la suite ainsi définie.

La suite (Pn) semble décroissante (Normalement ici, pas besoin de le prouver).


d)

Citation :

on cherche à montrer que le quotient: Un+1/Un ne dépend pas de n.Ou sinon, on cherche à exprimer Un+1 sous la forme A*Un avec A qui ne dépend pas de n. Il faut donc expliciter le fait que (Un) est géométrique ici. Sachant l'expression de Pn+1 et l'expression de Un tu devrais pouvoir t'en sortir sans trop de dégât.

Je dois donc faire : Un+1 / Un

avec : Un+1 = Pn+1 - 200 = 0.8Pn +40 - 200 = 0.8Pn - 160
et : Un = Pn - 200

Un+1 / Un = (0.8 Pn - 160) / (Pn - 200) ??

J'ai l'impression que tu redoutes de vouloir faire simple.

Citation :

1.b) Je dois donc faire Un+1 - Un :

Un+1 = 1.035 Pn
Un = 1.035 Pn-1

P_n+1=1.035*P_n

Donc P_n+1 - P_n = 1.035*Pn - P_n

On factorise à droite par P_n, on obtient donc après calcul: P_n+1 - P_n = 0.035*P_n

P_n est positif et 0.035 aussi, conclusion P_n+1 - P_n > 0

Et il ne reste plus qu'à conclure. Si tu veux réellement être rigoureux, tu pourrais montré que Pn reste bien positif mais bon c'est une quasi évidence vu qu'il s'agit d'un nombre de personne qui ne peut pas être négatif si on a bien fait les choses mais bon si tu souhait poser une réccurence pour montrer que Pn >0 pour tout n cela te sera pas sanctionné. Au pire ton prof te dira que ce n'était pas la peine tout simplement.


Sinon la question c) est juste maintenant en effet. avec un P0 à la place du U0 quand même . Savoir adapter les notations montre aussi qu'on comprend ce qu'on fait et non qu'on applique des formules. Même si je sais que tu comprends une grande partie de ce que tu fais, une erreur comme cela pourrait laisser penser le contraire au correcteur qui ne sera pas moi ni ton prof le jour du bac tout simplement. C'est des choses bête à souhait mais si on y pense ça donne un petit plus qui peut faire la différence au cas où.

Pourl a question d), je pense que tu as compris l'intérêt de faire cette vérification car après tout tu pourrait juste avori calculer pour n=41 trouver que ça marche et conclure alors que ce n'est pas le cas donc autant montrer à ton correcteur que tu as fait la démarche attendu et que le hasard n'a rien à voir avec ta réponse. La aussi c'est une astuce assez basique mais utile pour montrer qu'on fait les chose jusqu'au bout.


Pour la 2) b), ta réponse n'était pas fausse en soi, c'est juste que la première partie aurait du te mettre la puce à l'oreille pour savoir ce qu'on attendait de toi sachant qu'on te demande une conjecture après avoir calculé un grand nombre de termes de la suite. Dans le chapitre sur les suite, la convergence est une partie non négligeable car elle amène a parler de limite et de sens de variation comme pour une fonction en fait. Mais bon, la conjecture en mathématique n'est pas la plus simple des chose à faire, tu dois t'en souvenir avec un exercice de géométrie dans l'espace et de section par un plan l'année dernière qui t'avait bien pris la tête pour saovir qu'est-ce qu'on attend de toi dans ces condition là. Ce qui doit t'aiderà la rigueur c'est les questions suivante et surtout la dernière ici pour savoir ce qu'il faut essayer de conjecturer.
Cependant, il faut savori que de faire une conjecture fausse ne te pénalisera pas si à la fin de ton exercice tu as la présence d'esprit voire même le culot si on peut appeler ça comme ça de dire que ta conjecture était mauvaise au vu de la preuve théorie ou inversement si tu est sur de ta conjecture de dire que ta preuve théorique est fausse. Les correcteurs aime voir des gens qui savent se remettre ne cause car les mathématiques se sont créées sur le modèle tu test et de l'erreur pour aboutir à ce qu'elles sont aujourd'hui, c'estp our cela qu'il ne faut pas avoir peur de dire même en physique d'ailleurs qu'un résultat te paraît erronée si en faisant quelque calcul sur des exemples tu montre que ta conclusion s'avère fausse. Mais c'est une partie qui n'est pas simple en soi j'avoue. Je t'en parle car ton esprit semble devenir de plus en plus critique et même je dirais de plus en plus mathématique, donc autant pousser un peu de temps en temps quand je vois un élève qui a des opportunité d'aller plus loin je préfèrel e pousser un peu ou lui parler de cohse qui sorte del 'ordinaire plutôt que de m'astreindre à mon role d'aide ou "prof itinérant".


Pourl a 2) d), tes calculs sont justes mais tu n'arrive pas à conclure c'est étonnant . On t'anonce que la suite est géométrique, donc le membre de droite doit être une constante ce qui signifie que la fraction contenant les Pn doit disparaître coûte que coûte je dirai. Essaie de voir si tu ne peux pas faire apparaître le dénominateur dans le numérteur par exemple. C'est des choses qui faut avoir l'habitude de faire pour voir l'astuce tout de suite mais je préfère que tu trouve tout seul comment simplifier la fraction car ça te servira à de nombreuse reprise que ce soit pour les usite géométrique ou pour prouver qu'une suite est arithmétique aussi. Il faut jouer avec les factorisation pour s'en sortir et s'est en pratiquant qu'on fini par voir tout de suite la bonne factorisatino à faire.

Bon courage, t'es pas loin et l'exercice va tomber tout seul après. Ton exercice est un classique sur les suites en tout cas, pour des révision ou autre il te servira car les méthode ne change pas sur ce genre d'exercice.

Je récapitule tout : (avec en vert les dernières modifications)



1.a) Pn = 1.035 Pn-1 --> suite géométrique

1.b) Je dois calculer P_n+1 - P_n
--> P_n+1 - P_n = 1.035P_n - P_n
P_n+1 - P_n = P_n (1.035 -1)
P_n+1 - P_n = P_n * 0.035

avec P_n positif et 0.035 également donc : 0 < P_n+1 - P_n
--> La suite sera donc logiquement croissante.


1.c) Pn = U0 * q^n = 500 * 1.035^n

1.d) Pn > ou égal à 2000.
Pn = P0 * q^n
avec : P0 = 500
q = 1.035
et Pn > ou égal à 2000


2000 = 500 * 1.305^n
2000/500 < ou égal à 1.035^n
4 < ou égal 1.035^n
4 < ou égal à 1.035^41

Pn = P0 * qn = 500 * 1.035^41 = 2048.9

Je vais tout de même voir si lorsque n=40, Pn < 2000 :

2000 = 500 * 1.305^n
2000/500 > à 1.035^n
4 > 1.035^n
4 > 1.035^40 car 1.035^40 = 3.95

On a donc : Pn > ou égal à 2000 à partir de n = 41.



2. P0 = 500
Pn+1 = 0.8Pn + 40


2.a)


2.b) La suite (Pn) semble décroissante (donc si j'ai bien compris, une conjecture dans ce genre de cas donc avec des suites doit parler du sens de variations et de limites et pourquoi pas de majorant et minorant si j'ai bien suivi et, sachant que la dernière question demande de prouver que P_n est décroissante donc, ma conjecture tournera autour de cela. J'ai saisi la chose?)

2.c) Graphique de récurrence.

2.d) Je dois donc faire : U_n+1 / U_n

avec : U_n+1 = P_n+1 - 200 = 0.8P_n +40 - 200 = 0.8P_n - 160
et : U_n = P_n - 200

U_n+1 / U_n = (0.8 P_n - 160) / (P_n - 200)
U_n+1 / U_n = (P_n *0.8 - 160) / P_n *1 - 200
U_n+1 / U_n = (0.8-160) / (1-200) = -159.5 / -199 = 0.8

0.8 est constante donc, (U_n) est une suite géométrique

2.e) Exprimer U_n en fonction de n puis P_n :

Ici, j'arrive à l'exprimer en fonction de P_n mais, pa en fonction de n :

U_n = P_n - 200
--> avec P_n = U₀ * qⁿ = 500 * 1.035ⁿ
donc : U_n = 500 * 1.035ⁿ -200

--------

U_n = P_n -200
U_n = U₀ * qⁿ
--> U₀ = P₀ -200 = 500 - 200 = 300

Un = (300 *0.8ⁿ) [la formule voudrait que je m'arrête là mais, j'ai essayé et ça ne marche pas par contre, cette formule marche : U_n = (300 * 0.8ⁿ) + 200 mais, je ne vois pas comment le prouver...]

Citation :

2.d) Je dois donc faire : Un+1 / Un

avec : Un+1 = Pn+1 - 200 = 0.8Pn +40 - 200 = 0.8Pn - 160
et : Un = Pn - 200

Un+1 / Un = (0.8 Pn - 160) / (Pn - 200)
Un+1 / Un = (Pn *0.8 - 160) / Pn *1 - 200
Un+1 / Un = (0.8-160) / (1-200) = -159.5 / -199 = 0.8

0.8 est constante donc, (Un) est une suite géométrique

Le résultat est bon mais j'ai la vague impression que tu as eu un coup de chance . En effet, on a le droit de simplifier une fraction lorsqu'on met en évidence un même facteur en haut et en bas. Mais ici:

Citation :

Un+1 / Un = (Pn *0.8 - 160) / Pn *1 - 200

Il n'y a pas de factorisation de fait et j'ai l'impression que tu simplifies par P_n alors qu'il n'est pas en facteur. Par contre ici tu vois qu'au dénominateur Pn est multiplié par 1 et au numérateur par 0.8. Donc met 0.8 en facteur au numérateur, tu vas constater que le facteur commun est évident après avoir fait ça .

Bon courage !

Je récapitule tout : (avec en vert les dernières modifications)



1.a) Pn = 1.035 Pn-1 --> suite géométrique

1.b) Je dois calculer P_n+1 - P_n
--> P_n+1 - P_n = 1.035P_n - P_n
P_n+1 - P_n = P_n (1.035 -1)
P_n+1 - P_n = P_n * 0.035

avec P_n positif et 0.035 également donc : 0 < P_n+1 - P_n
--> La suite sera donc logiquement croissante.


1.c) Pn = U0 * q^n = 500 * 1.035^n

1.d) Pn > ou égal à 2000.
Pn = P0 * q^n
avec : P0 = 500
q = 1.035
et Pn > ou égal à 2000


2000 = 500 * 1.305^n
2000/500 < ou égal à 1.035^n
4 < ou égal 1.035^n
4 < ou égal à 1.035^41

Pn = P0 * qn = 500 * 1.035^41 = 2048.9

Je vais tout de même voir si lorsque n=40, Pn < 2000 :

2000 = 500 * 1.305^n
2000/500 > à 1.035^n
4 > 1.035^n
4 > 1.035^40 car 1.035^40 = 3.95

On a donc : Pn > ou égal à 2000 à partir de n = 41.



2. P0 = 500
Pn+1 = 0.8Pn + 40


2.a)


2.b) La suite (Pn) semble décroissante (donc si j'ai bien compris, une conjecture dans ce genre de cas donc avec des suites doit parler du sens de variations et de limites et pourquoi pas de majorant et minorant si j'ai bien suivi et, sachant que la dernière question demande de prouver que P_n est décroissante donc, ma conjecture tournera autour de cela. J'ai saisi la chose?)

2.c) Graphique de récurrence.

2.d) Je dois donc faire : U_n+1 / U_n

avec : U_n+1 = P_n+1 - 200 = 0.8P_n +40 - 200 = 0.8P_n - 160
et : U_n = P_n - 200

U_n+1 / U_n = (0.8 P_n - 160) / (P_n - 200)
U_n+1 / U_n = (P_n *0.8 - 160) / P_n *1 - 200
U_n+1 / U_n = [0.8(P_n -200)] / [1(P_n - 200)]
U_n+1 / U_n = 0.8 / 1 = 0.8

0.8 est constante donc, (U_n) est une suite géométrique

2.e) Exprimer U_n en fonction de n puis P_n :

Ici, j'arrive à l'exprimer en fonction de P_n mais, pa en fonction de n :

U_n = P_n - 200
--> avec P_n = U₀ * qⁿ = 500 * 1.035ⁿ
donc : U_n = 500 * 1.035ⁿ -200

--------

U_n = P_n -200
U_n = U₀ * qⁿ
--> U₀ = P₀ -200 = 500 - 200 = 300

Un = (300 *0.8ⁿ) [la formule voudrait que je m'arrête là mais, j'ai essayé et ça ne marche pas par contre, cette formule marche : U_n = (300 * 0.8ⁿ) + 200 mais, je ne vois pas comment le prouver...]

La question précédente est bonne maintenant. Il s'agit d'un classique, donc avec le temps tu auras le nez pour mettre le bon coefficient en facteur tout de suite.

Citation :

2.e) Exprimer Un en fonction de n puis Pn :

Ici, j'arrive à l'exprimer en fonction de Pn mais, pa en fonction de n :

Un = Pn - 200
--> avec Pn = U0 * qn = 500 * 1.035n
donc : Un = 500 * 1.035n -200

Ici la question est un peu mal posée et j'ai l'impression que tu l'as mal comprise. En effet, on te demande dans un premier temps d'exprimer Un en fonction de n puis après d'exprimer Pn en fonction de n

La question que nous venons de finir nous dit que (Un) est nue suite géométrique. Donc comment exprimer Un en fonction de n? On veux juste savoir si tu connais toujours l'expression d'une suite géométrique tout simplement. D'ailleurs attention, dans la partie 2) nous ne connaissons plus Pn en fonction de n vu qu'on a changer d'expression de Pn, donc ceci Pn = U0 * qn = 500 * 1.035n est faux pour la partie 2).

Dès que tu auras exprimer Un en fonction de n, et bien il restera plus qu'à remplacer Un dans dans l'égalité pour obtenir Pn en fonction de n tout simplement.

2.e) U_n = suite géométrique
donc : U_n = U₀ * qⁿ

U_n = P_n -200
U₀ * qⁿ = P_n -200
U₀ * qⁿ + 200 = P_n

[en fait, ce que j'avais trouvé par tâtonnement ^^]

C'est bon pour les formes théoriques mais il va peut-être falloir rempalcer U₀ et q quand même .

Et après il restera à conclure pour le sens de variation en calculant encore P_n+1 - P_n et en cherchant son signe.

Bon courage pour la finalisation !

2.e) U_n = suite géométrique
donc : U_n = U₀ * qⁿ avec u₀ = P₀ -200 = 500 - 200 = 300.

U_n = P_n -200
U₀ * qⁿ = P_n -200
U₀ * qⁿ + 200 = P_n
300 * 0.8ⁿ + 200

2.f) Je fais donc : P_n+1 - P_n :

P_n+1 - P_n = (0.8P_n + 40)-(300 * 0.8ⁿ)

0.8P_n + 40 - 192ⁿ - 200
0.8P_n - 192ⁿ - 160 = 0.8(P_n - 240ⁿ - 200)

Après, j'ai tenté de remplacer P_n par sa valeur mais, je trouve un truc assez long et me semblant faux...

Essaie de faire simple de temps en temps et surtout de voir le raisonnement de l'exercice qui se déssine ça t'aidera beaucoup pour comprendre ce qu'il faut utiliser.

Si P_n= 300 * 0.8ⁿ + 200 alors P_n+1 = 300 * 0.8ⁿ⁺¹ + 200

Du coup, P_n+1 - P_n se déduit facilement. si à la question d'avant on te demande d'exprimer Pn en fonction de n c'est justement que celà va servir dans les calcul pour conclure.

A d'accord, je n'avais pas pensé à regarder au dessus... C'est vrai... Merci pour la remarque.

Voici le bon calcul :

P_n= 300 * 0.8_n + 200 alors P_n+1 = 300 * 0.8_n+1 + 200

donc :

P_n+1 - P_n = (300 * 0.8_n + 200) - (300 * 0.8_n+1 + 200)
P_n+1 - P_n = 0.8¹ = 0.8 (en fait, on retrouve la raison)

On trouve donc 0.8 donc une constante qui multipliée par un autre nombre (supérieur à 0) donnera forcément un résultat inférieur au nombre d'origine.
Logiquement, (P_n) est décroissante.

Alors il y a une légère erreur car tu trouve que Pn+1 - Pn est positif alors qu'on nous dit que c'est décroissant donc il faudrait mieux trouver quelque chose de négatif .

P_n+1 - P_n = (300 * 0.8ⁿ + 200) - (300 * 0.8ⁿ⁺¹ + 200)

Après simplification des 200, on a: P_n+1 - P_n = 300 * 0.8ⁿ - 300 * 0.8ⁿ⁺¹

Il faudrait donc montrer que c'est négatif. Je te conseille de faire une factorisation judicieuse pour pouvoir conclure.

P_n= 300 * 0.8ⁿ + 200 alors P_n+1 = 300 * 0.8ⁿ+1 + 200

donc :

P_n+1 - P_n = (300 * 0.8ⁿ + 200) - (300 * 0.8ⁿ+1 + 200)

P_n+1- P_n = 300 * 0.8ⁿ - (300 * 0.8ⁿ⁺¹)
P_n+1- P_n = 0.8ⁿ(375 - 375 -1¹)
P_n+1- P_n = 0.8ⁿ * (-1)
P_n+1- P_n = -0.8ⁿ

On trouve donc une constante négative donc, logiquement (cette fois-ci), (P_n) sera décroissante.

Là, je pense que c'est bon mais, c'est étrange que je galère autant avec ce genre de calcul...

Tu galères sur ce genre de calcul car tu n'est pas habitué à la faire tout simplement .

D'ailleurs reprend ton calcul, car il y a encore une erreur (je suis chiant mais bon là j'y peux rien ). 0.8ⁿ⁺¹ = 0.8*0.8ⁿ par exemple et avec ça je pense que tu va pouvoir avoir un calcul juste .

Sinon la culclusion est cette fois cohérente malgré l'erreur de calcul.

P_n= 300 * 0.8ⁿ + 200 alors P_n+1 = 300 * 0.8ⁿ+1 + 200

donc :

P_n+1 - P_n = (300 * 0.8ⁿ + 200) - (300 * 0.8ⁿ+1 + 200)

P_n+1- P_n = 300 * 0.8ⁿ - (300 * 0.8ⁿ⁺¹)
P_n+1- P_n = 0.8ⁿ(375 - 375 -0.8¹)
P_n+1- P_n = 0.8ⁿ * (-0.8)
P_n+1- P_n = -0.8ⁿ⁺¹

On trouve donc une constante négative donc, logiquement (cette fois-ci(espérons)), (P_n) sera décroissante.

Citation :

P_n+1- P_n = 300 * 0.8ⁿ - (300 * 0.8ⁿ⁺¹)
P_n+1- P_n = 0.8ⁿ(375 - 375 -0.8¹)

Comment passes-tu de la première à la deuxième ligne ?

Je mets 0.8ⁿ en facteur non?

Ok donc sans effectuer les calculs dans la parenthèse donne moi la factorisation par 0.8ⁿ et ça devrait être bon parès je pense .

P_n+1- P_n = 300 * 0.8ⁿ - (300 * 0.8ⁿ+1)
0.8ⁿ(300*300+0.8¹) ??

Si tu développes l'expressino que tu donnes tu constateras qu'il y a encore un problème.

Met en évidence ton facteur commun:

P_n+1- P_n = 300*0.8ⁿ - (300*0.8ⁿ⁺¹) = (0.8ⁿ)*300 - (0.8ⁿ)*300*0.8¹

Rien ne sert de courir pour conclure, il faut mieux bien faire les calculs pour avoir tous les points .

P<sub>n+1- Pn = 300*0.8ⁿ - (300*0.8ⁿ+1) = (0.8ⁿ)*300 - (0.8ⁿ)*300*0.8¹
Pn+1- Pn = 0.8ⁿ [300 + 300 * 0.8]

Là, ça semble juste... Il m'est possible de simplifier entre parenthèses :


Pn+1- Pn = 0.8ⁿ(540) = 432ⁿ</sub>

Erreur de signe lors de la factorisation !!!!!!!! Sinon c'est juste en effet .

Ca te semblait pas bizarre de trouver quelque chose de positif à la fin alors qu'on doit trouver que la suite est décroissante? .

P_n= 300 * 0.8ⁿ + 200 alors P_n+1 = 300 * 0.8ⁿ+1 + 200

donc :

P_n+1 - P_n = (300 * 0.8ⁿ + 200) - (300 * 0.8ⁿ+1 + 200)
P[sub]n+1- Pn = 300*0.8ⁿ - (300*0.8ⁿ+1) = (0.8ⁿ)*300 - (0.8ⁿ)*300*0.8¹
Pn+1- Pn = 0.8ⁿ [300 - 300 * 0.8] = 0.8ⁿ (300 - 240)
Pn+1- Pn = 0.8ⁿ * 60 = 48. ???