Term S | Exercice 1 DM sur nbres complexes

Bonsoir !

Je vous retrouve ce soir pour un petit DM sur les nombres complexes. ^^
Je suis arrivée au bout mais il y a quelques petits détails en chemin qui m'embêtent un peu et dont je voudrais être sûre.
Accepteriez-vous de m'éclairer ?

J'ai scanné mon DM pour plus de lisibilité, écrire les calculs sur le pc m'aurait pris un temps fou et aurait été illisible je pense !

Voici l'énoncé :

[img=https://2img.net/r/ihimizer/img26/9291/dm2exo1.th.jpg]


Pour la question 1)a) et 2)a) :

Voici mon exercice rédigé :

[img=https://2img.net/r/ihimizer/img444/8223/exo1dm.th.jpg]

Voilà, j'éspère que vous n'aurez pas trop de mal à me relire.

J'ai "légendé" mon exercice d'une grosse flèche rose, pour que vous puissiez facilement voir l'étape qui me pose "problème".
Ici pour simplifier la fraction, j'ai multiplié par le conjugué du dénominateur (-1-i), donc (-1+i). Mais je l'ai fait ici car cela me "simplifiait la vie". Mais dans les exercices que je fais en cours, cette manière de faire revient fréquemment, et il me semble qu'elle n'est pas utilisée que pour simplifier un dénominateur... Etait-elle obligatoire ici ? Quand l'est elle ?
Cela a un lien avec l'inverse d'un nombre complexe je crois.. ? Y a-t-il encore une autre situation dans lequel on utilise le conjuguée ?

Je trouve la fin du 2)a) un peu flou, le raisonnement est clair dans ma tête mais j'ai du mal à l'expliquer mathématiquement sur papier.
Mon écriture est-elle correcte ou peut-elle être améliorée ?
J'ai été obligée de serrer un peu sur le papier, veuillez m'en excuser, bien sûr je ne rendrais pas comme ça mon devoir.



Voici ensuite pour le 2)b) :

[img=https://2img.net/r/ihimizer/img340/3618/exo1dmpartie2.th.jpg]

J'ai également légendé d'une flèche violette cette fois, ce qui me pose problème.
Mais ici c'est un peu plus embêtant..
J'ai donc fait passer le dénominateur (z-1)(zbarre -1) de l'autre partie de l'inégalité, en supposant qu'elle soit positive et qu'elle n'en change donc pas le sens.
Je n'y avais pas pensé en faisant l'exercice enfait, ce n'est qu'en le relisant par la suite que j'ai découvert que tout le reste de mon raisonnement pouvait être faux si le dénominateur est négatif.

Comment continuer ? Le reste de mon exercice est-il tout de même cohérent ?


Pour le point d'interrogation, j'ai le même soucis qu'avec l'exercice du dessus. Le raisonnement est clair pour moi mais j'ai vraiment du mal à écrire ça correctement mathématiquement..
Faut-il développer davantage la fin de l'exercice ou est-il correct ainsi ?

J'éspère au moins que mes résultats sont justes.


Je vous remercie d'avance !
Bonne soirée

Bonsoir Mirabelle,

Les techniques présentes dans cet exercice sont absolument à maîtriser d'une par mais surtout à savoir faire en routine c'est à dire qu'il ne faut pas perdre de temps sur ce genre de réflexion. Le plus difficile étant de tout gérer sans aucune erreur car ce ne sont pas les calculs qui manque.

Alors une remarque générale sur ta rédaction. Fait absolument attention à la rigueur dans ton écriture!! Je sais qu'il s'agit sans doute d'une rédaction qui n'est pas à rendre mais tout de même essayons de prendre de bonnes habitudes pour éviter d'avoir à y penser le jour J.

En effet, tu écrit souvent les multiplication ainsi: -2i-2(-1+i) (par exemple)

Or ceci n'est pas du tout ce que tu penses et écris juste après c'est à dire (en développant): +2i+2+2-2i !!!

Car pour moi ceci: -2i-2(-1+i)=-2i-2*(-1+i) ce qui n'est pas du tout la même chose que ce que tu penses et fait par la suite c'està dire (-2i-2)(-1+i) !!! La priorité des parenthèses est primordiale ici et tu le fais tout au long de ton devoir lorsque tu multiplies par le conjugué pour trouver la partir réelle ou imaginaire. Donc fait attetnion à cela car au bac ça ne passera pas (ou si ça passe ça sera vraiment frustrant pour le correcteur qui aura fait l'effort de te lire et de déchiffrer ce que tu penses ).

Sinon, la première question est juste. Pourquoi, tu doutes de la multiplication par l'expression conjugué?
D'ailleurs, tu aurais pu faire plus simple dans le sens où tu pourrais commencer par effectuer les calculs présents avant de foncer tête baisser car -i-i=-2i qui va se manipuler beaucoup plus facilement lors du développement par exemple.


La démarche pour la question 2)a) est tout à fait juste mais tu pourrais encore faire plus simple et dire directement que Z est réel s'il est égale à sont conjugué tout simplement. La rédaction de la fin de cette question me paraît par contre très confuse.

En effet, tu arrives à z*z^(bar)=1 et là on peut conclure directement en disant qu'on pose z=x+i*y
Donc c'est équivalent à x²+y²=1

Et ceci est l'équation d'un cercle dans R² de centre 0 et de rayon 1 (c'est immédiat ça on n'a pas besoin de le démontrer). ET par conséquent, dans C, il s'agit du même cercle de centre O et de rayon 1.

Mais ta démarche abouti sans passer par la forme z=x+iy. En effet, z*z^(bar)=z|² par définition.

On a donc l'équivalent avec |z|²=1 <=> |z|=1 car |z| est un réel positif ou nul (sinon on aurait pas l'équivalence vu que lorsqu'on avait aussi la possibilité d'avoir |z|=-1 (-1)²=1 après tout). ET là, on conclut directement aussi qu'il s'agit d'un cercle de centre O et de rayon 1.

Donc ne rédige pas les deux sinon cela donne de la confusion et laisserait croire que tu ne comprends pas ce que tu fais ou ce que tu as sous les yeux.


Enfin, attention aux hypothèse fait sur la fonction de départ qui à z associe Z!!! Elle n'est pas définie en un point, il ne faut pas oublier de l'enlever à la fin aussi !!!!! D'ailleurs, tu aurais tu écrire dès le départ l'ensemble de définition de la fontion qu'on a sous les yeux pour éviter cette erreur à la fin (et oui le point 1 appartient au fameux cercle que nous avons).


Pour la question 2)b), la démarche est toujours excellente (toujours ses histoires de notation pour les multiplications avec toutes les parenthèses qui manque mais bon, j'avais déjà dit ça). La conclusion est immédiate et tout à fait juste.

Par contre en effet, on a pas le droit de multiplier par (z-1)*(z^(bar)-1) si il n'estp as positif ou nul (sinon, il faudrait changer la conclusion en gros). Mais que vaut ce terme là en terme de .... module par exemple? .

Sinon, la conclusion doit être dans le plan complexe C et par conséquent, il faut donner l'affixe du point F et non ses coordonnées dans R² comme tu là fait. Enfin n'oublie pas d'enlever un point au cas où car la définition de Z enlève un point du plan (il faut donc vérifier qu'il ne vérifie pas l'équation ou sinon, le retire tout simplement de la solution).

En espérant avoir éclairci les soucis majeurs mais n'hésite pas à poser tes questions si besoin était.

Bon courage pour effectuer les modifications et répondre à la dernière question sur la positivité de notre quantité.

Bonsoir !

Merci beaucoup pour votre réponse, toujours si rapide.

Citation :

Alors une remarque générale sur ta rédaction. Fait absolument attention à la rigueur dans ton écriture!! Je sais qu'il s'agit sans doute d'une rédaction qui n'est pas à rendre mais tout de même essayons de prendre de bonnes habitudes pour éviter d'avoir à y penser le jour J.

Oui en effet, ce n'était vraiment pas rigoureux.. Je m'en suis rendue compte, merci beaucoup de l'avoir souligné. Excusez moi si vous avez eu du mal à déchiffrer mes calculs, j'ai rectifié de suite l'erreur et tâcherai de faire mieux ^^

OK pour la première question.
Pour la 2)a) le calcul est donc bon également, j'ai arrangé la conclusion qui était confuse d'après vos conseils.
Mais il reste un petit point à éclaircir :

Citation :

Enfin, attention aux hypothèse fait sur la fonction de départ qui à z associe Z!!! Elle n'est pas définie en un point, il ne faut pas oublier de l'enlever à la fin aussi !!!!! D'ailleurs, tu aurais tu écrire dès le départ l'ensemble de définition de la fontion qu'on a sous les yeux pour éviter cette erreur à la fin (et oui le point 1 appartient au fameux cercle que nous avons).

Z n'est pas défini lorsque z=1. Pour zbarre également ?
Pour l'écriture, est-il nécessaire de réécrire ce domaine de définition à chaque étapes ? Il me semble que dans certains exos il est nécessaire de le faire..
A la fin de cette question, la réponse trouvée est donc le cercle de centre O et de rayon 1, en excluant le point (1,0), ou le point d'affixe (1).
L'expliquer de cette manière est suffisamment rigoureux ?



Par contre, j'ai toujours quelques soucis avec la question 2)b)..
Vous me dites de calculer le module du dénominateur qui nous pose problème ( (z-1)*(zbarre-1) )
Si je comprends bien cela permettrait de dire qu'un module est une longueur donc toujours positive, et donc de le faire passer de l'autre côté de l'inégalité sans en changer le sens.
Mais alors, où appliquer le module ? dès le début du calcul ou seulement à cette étape là précisément ?

En le mettant tout de suite au début du calcul, il devient très vite interminable
Mais je ne suis pas sûre que nous ayons le "droit" d'appliquer le module juste comme ça, au beau milieu du calcul, juste parce que ça nous arrange ?

J'ai tout de même essayé, et voilà à quoi j'aboutis...

[img=https://2img.net/r/ihimizer/img53/4641/module2b.th.jpg]
(Excusez moi pour la qualité, l'écriture n'est pas bien passée au scanneur Si vous n'arrivez pas à me relire je le tapperais sur pc)

J'ai donc appliqué le module au moment de passer le dénominateur de l'autre côté de l'égalité, et j'ai gardé les mêmes calculs à l'interieur du module que sur la feuille scannée dans mon premier message.
Tout va à merveille, je peux passer le dénominateur de l'autre côté sans me soucier du changement de signe, mais c'est à la fin qu'un gros problème se pose...
Sans les modules, j'avais transformé "1" en "+2-1" en faisant passer le "-1" de l'autre côté de l'inégalité pour avoir a gauche de l'inégalité l'équation d'un cercle.
Mais ce "-1" se trouve maintenant à l'interieur du module, je ne peux donc pas l'en sortir.. ?



Il manque ensuite le domaine de définition, idem qu'au dessus. ^^

Merci beaucoup à vous,
Bonne soirée !

Bonsoir,

En fait, vu que tu traîtes tout par équivalence, la rigueur de cette écriture t'imposerait presque d'écrire à chaque fois "pour tout z dans ...". Cependant, il y a un moyen d'éviter cette écriture ultra lourde (pour toi comme pour le corercteur) en mettant dès le départ: "on considère z dans l'ensemble ....., on a donc: " et là tu pars sur le raisonnement par équivalence.

Si l'ensemble de définition de z est C\{1}, cela signifie que Z est définie dans cet ensemble là. Et miracle! Cette ensemble est stable par conjugaison! C'est à dire que si z est dans C\{1}, z^bar est aussi dans C\{1} (1 est un réel donc 1^bar=1.

Et à la fin, tu arrive à ton cercle et tu fais un rappel sur l'ensembel de définition: "Mais z était dans l'ensemble .....; Donc l'ensemble que nous cherchons est ....". Il faut que lorsque tu te relis toi-même, tu comprennes le raisonnement tout de suite comme-ci tu n'avais pas l'énoncer sous les yeux en gros.

Pour la question suivante, je n'applique par le module mais il faut espérer en fait que (z-1)*(z^bar-1) soit bien le module de quelque chose! (Sinon, nous aurions une relation d'ordre sur des complexe ce qui est absurde vu qu'un complexe n'est pas plus grand ou plus petit qu'un autre (c'est même LE gros défaut de l'ensemble des complexes)).

Que vaut: (z-1)^bar? Conclure sur la valeur de (z-1)*(z^bar-1).

Je n'avais pas été assez clair et cela a du être ambigüe en effet (du coup tu as fait beaucoupde calculs sans comprendre grand chose ce qui est normal vu que cela est totalement illogique d'appliquer le module en cours de calcul comme tu le disais ).

Bon courage!

Rappel: z*z^bar=|z|² (ça devrait débloquer la situation de façon fulgurante ce petit truc là ).

Ok pour le domaine de définition. ^^ merci beaucoup !

Citation :

Que vaut: (z-1)bar? Conclure sur la valeur de (z-1)*(zbar-1).

Quand vous écrivez (z-1)barre je pense que c'est voulu que toute la parenthèse soit sous la barre ?
(z-1)barre = (z-1)
car z*(zbarre) = z²
et |zbarre|=|z|

Donc j'en déduirais que (z-1)*(zbarre-1) = |z-1|

Mais je suis peut être en train d'écrire la connerie du siècle lol, ne m'en voulez pas si c'est le cas !
Et puis si c'est juste, ce serait parfait. ^^

Merci encore une fois !

Tu viens d'inventer une nouvelle théorie en effet mais le miracle existe car ta réponse malgré tes anneries est juste (comme quoi toutes les erreurs finissent par se compenser, nous sommes donc en train de voir une théorie de probabilité (là je suis sérieux) mais rien à voir dans notre sujet).

Donc il y a une chose qu'il faut savoir:

z*z^bar=|z|²

Démonstration:

|z|²=x²+y² si z=x+iy
Or z^bar=x-iy Donc z*z^bar=(x+iy)*(x-iy)=x²+y² (miracle ).

Donc z*z^bar=|z|²

Or ici (z-1)^bar=z^bar-1 (car le conjugué d'une addition c'est égale à l'addition des conjugués)

Nous savions par (quasi-) définition que (z-1)*(z-1)^bar=|z-1|²
D'où la conclusion.

Ton soucis ici est un manque de rigueur au niveau du cours et là pour le coup, je ne peux pas y remédier . En effet même si faire des exercice et réfléchir dessus permet de mieux comprendre l'utilité et le cours en lui-même, il y a des définitions et des propriétés (et encore plus des théorème d'ailleurs mais déjà les deux autres) sans lesquelles on ne peut pas avancer car on se heurte à des problèmes de fondement et donc de quasi-définition. Or quitte à redéfinir toute la théorie, il faut mieux connaître les idées qui ont déjà été mis en évidence par nos ancètres c'est plus simple que de ré-inventer la poudre à coup de hasard et de déboire (la théorie se crée comme cela le plus souvent avec test mais surtout avec des ratés).

Est-ce plus clair maintenant ou cela reste flou? Car sinon, il faut me le dire car je reprendrai un peu de cours car il faut vraiment comprendre ça tout de même et d'où ça vient en gros.

Bon courage!

Oui je me doutais que c'était une erreur ^^ une parmi tant d'autres lol, j'ai donné en erreurs pendant ce dm ! Et suis vraiment heureuse d'en voir le bout..

Pouvez vous me dire si ce qui suit est correct ?

(z-1)(zbar-1)
= (x+iy-1)(x-iy-1)
= (x-1+iy)(x-1-iy)
= (x-1)²+(iy)²

Un carré est tjrs positif, donc une somme de carré également.
Donc (z-1)(zbar-1) sera tjrs positif et donc ne changera pas le sens de l'inégalité.

Je pense que cette fois c'est bon..
Ce qui permettrait de clore ce premier exercice. ^^

Bonsoir,

Il faudrait tout de même enlever le i² pour bien montrer que c'est réel si tu souhaite le rédiger ainsi.

Mais on peut faire mieux et moins éparpiller en quelque sorte (sans repasser par z=x+iy):

(z-1)*(z^bar-1)=(z-1)*((z-1)^bar car (z-1)^bar=z^bar-1

Donc (z-1)*(z^bar-1)=|z-1|² ≥ 0 (par définition même du module, donc pas besoin de revenir à l'explicitation de z sous la forme x+iy)

La conclusion est donc immédaite.

En espérant que ça commence à rentrer cette notion là, c'est vraiment puissant comme objet les complexes mais la choses difficile qui reste à faire c'est comprendre comment cela fonctionne en interne et c'est justement cette notion de module et la notino d'argument aussi bien entendu. N'hésite pas en tout cas si tu as des questions!

Bon courage pour la suite!