Term S, complexes

Bonsoir à tous,

J'ai un controle sur les complexes la semaine prochaine, et je relis une correction de DM que la prof nous a passée aujourd'hui, mais je ne comprend pas car elle a marqué : le module de i est égale à 1. (i se trouve entre les 2 traits verticaux)

J'aimerais bien que vous me l'expliqueriez car je ne comprends vraiment pas.

merci et bonne soirée.

quentin

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Pour mieuxcomprendre les complexes, il faut assez souvent faire le lien entre l'aspect géométrique et l'aspect algébrique. En effet, géométriquement qu'est-ce que le module de z?

Et bien si je considère un repère orthonormé (O;u,v) et un point M d'affixe z dans ce repère. On a la propriété suivante:

|z|=OM

C'est à dire que le module de z est égale tout simplement à la distance OM. Le module est donc une distance.

Pour l'argument d'un complexe, il s'agit d'un angle mais on pourra y revenir plus tard à la rigueur.

Revenons donc à notre soucis. On considère un point A(i) dans le repère défini ci-dessus. ON a donc le fait que |i|=OA

Or sur le repère que vaut la distance OA? Pour le moment, on reste en lecture graphique et on va essayer de comprendre pourquoi cela marche par la suite. Il faut d'abord se convaincre que la réponse est juste, je pense que cela sera déjà une chose importante dans un premier temps. Ensuite, nous verrons le côté théorique de la chose pour savoir commetn on calcule concrètement le module d'un complexe.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Ah oui d'accord, c'est donc par rapport à la géométrie, car on n'en a pas du tout parlé.

Bon ba merci beaucoup pour votre eplication qui m'a beaucoup aidé.

A très bientot, et bonne soirée.

Quentin

En fait, c'est l'un des aspects ou plutôt de l'utilité des complexes en effet.

Par contre, les complexes n'ont pas été "inventés" (je devrai sans doute dit découvert car on n'invente sans doute pas grand chose) pour sa beauté géométrique mais pour ses caractéristiques et son utilité au sein de l'analyse en quelque sorte.

En effet, Bombelli ou Cardan pour ne retenir quel es plus célèbre ont utilisé le complexe i qu'on écrivait à l'époque √(-1) ce qui est une aberration vu qu'une racine carrée est défini pour les nombres positifs bien entendu. Mais cela permettait de résoudre des équations du troisième degré et d'en trouver une solution tout à fait réelle aussi bizarre que cela puisse paraître.

En effet, nous savons pas l'étude de la fonction F(x)=a*x³ + b*x² + c*x + d (avec a, b, c et d des réels) que cette fonction admet au moins une solution réelle (elle en admet d'ailleurs 1 ou 3 exactement). Et on a essayé de trouver un moyen de trouver cette solution réelle par un calcul de discriminant comme on le faisait pour les polynôme du second degré. Or, il s'avérait que dès fois cela n'aboutissait pas et dès fois cela aboutissait. Et bien qu'à cela ne tienne il fallait changer de vision des choses mais il devait bien y avoir un moyen pour que cela marche à tous les coups. En tout cas les gens en était convaincu et ils ont fini par faire des calculs dans un ensemble qui n'existait pas encore (ce qu'on appelle aujourd'hui le corps des complexe, le fameux C) en calculant avec des racines carrées négatives.

Il s'est avéré et on le constate encore aujourd'hui que cela fut bénéfique car il finir par généraliser les choses et surtout trouver leur solution réelle à cette fameuse équation F(x)=0 (pour reprendre le nom de la fonction plus haut).

Ensuite est venu toute la difficulté des mathématiques. En effet, faire des manipulations dans un ensemble c'est intéressant mais encore faut-il que l'ensemble est des propriétés convenable pour faire des manipulation en interne. On a donc découvert qu'on pouvait additionner dans cet ensemble et mêem multiplier les objet sans quitter l'ensemble en question. C'était déjà énorme en soi d'ailleurs. Ensuite, on a vu qu'il y avait des inverse par exemple. En effet,l 'inverse d'un complexe est encore un complexe ce qui n'est pas e cas de tous les ensembles.
En effet, prenons 2 par exemple dans N et bien son inverse dans R qui est 1/2 n'appartient pas à N. Donc la propriété n'était pas anodine en soi.

Ensuite, il fait savoir si comme dans R, on pouvait définir ce qu'on appelle aujourd'hui une distance intuitivement. Dans R[/b, la distance se note, valeur absolue tout simplement (pour la plus connue des distance en tout cas). Et, on a donc regarder si cet notion était transposable dans [b]C et si on retrouvait cette aspect intuitif de la distance dans R c'est à dire un écart entre deux points tout simplement.

Il s'avère qu'en effet cela marche très bien avec la notion de module et tu remarqueras qu'on a gardé la même notation c'est à dire |.| ce qui ressemble à s'y méprendre à une valeur absolue. ET d'ailleurs, on dit quel e module d'un nombre réel n'est autre que sa valeur absolue. troublant, non? Et pourtant tout à fait logique vu que C mis à part le complexe i n'utilise que dans nombre réel. Et il s'est donc avéré qu'on pouvait écrire un nombre complexe comme un réel plus i fois un nombre réel ce qui donne aujourd'hui ce qu'on appelle l'écriture algébrique d'un nombre complexe z=x+i*y.

Mais revenons à cette notion de distance que j'ai laissé de côté. Souviens-toi lorsque tu as appris à calculer des distances dans un repère et dans R. C'est à dire calculer les norme de vecteurs. Qu'avons-nous fait grâce à la propriété de Pythagore? Et bien, on a dit qu'un vecteur de coordonnée (x;y) on pouvait calculer sa longueur (c'est à dire sa norme) en effectuant le calcul suivant:

||AB||=√[ x_AB²+y_AB²]

Et bizarrement et en fait avec la plus grande simplicité du monde qu'avons-nous en fait lorsqu'on calcule le module d'un complexe z? Et bien nous avons ceci:

Si on écrit z=x+i*y (x étant sa partie réelle c'est à dire son abscisse et y sa partie imaginaire c'est à dire son ordonnée), on peut écrire:

|z|=√[ x² + y² ]

Et on retrouve donc l'analogie frappante entre le réel et le complexe pour cette notion car la notion de distance reste une perception tout à fait réelle des choses.


Bon, je fais mon mea culpa pour avoir enjolivé l'Histoire mais j'espère que cela te sera plus parlant et un peu moins sorcier avec ceci.

Bon courage pour la suite et n'hésite pas à poser tes questions!