Maths Spé. --> Complexes

Salut!
Pour venir compléter tout ce petit "florilège" d'exercices sur les complexes, en voilà un que j'ai presque bouclé mais, une question bloque et comme par hasard, c'est la dernière... J'aurais donc besoin d'un peu de méthode là-dessus svp.

Voici l'énoncé :



On considère la transformation f du plan complexe qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que : z' = (2 -i)z + 2i .

a) Quelle est l'image du point A de coordonnées (1 ; 2) par cette transformation?
b) Quel est l'antécédent du point B' d'affixe z' = 3i par f?
c) Démontrer que la transformation f possède un unique point fixe Omega.



Et voici pour mes réponses :

a) A (1 ; 2) donc forme algébrique : a = 1 + 2i

A' --> a' = (2-i)(1+2i) + 2i = 2 + 4i -i -2i² + 2i = 2 + 3i +2i +2 = 4 + 5i

b) z' = 3i
z' = (2-i)z + 2i --> Il faut que (2 -i)z = i
avec z = a + ib

(2 -i)(a + ib) = 2a + 2ib - ia - i²b = 2a + b + 2ib - ia = (2a+b) + i(2b-a)

Il faut que :
2a + b = 0
2b - a = 1

--> 2a + b = 0
--> 2a - 4b = -2
---------------------
b-(-4b) = 0 - (-2)
b + 4b = 2
5b = 2
b = 2/5


--> 4a + 2b = 0
--> -a + 2b = 1
----------------------
4a -(-a) = 0-1
4a + a = -1
5a = -1
a = -1/5

Donc :
z' = (2-i)[ -(1/5) + (2/5)i ] + 2i
z' = i + 2i = 3i

DONC :




c) z' = (2-i)z + 2i
Si une transformation a un point fixe alors, ce point vérifie z' = z.
DONC :



Et après ça, je n'arrive pas...
Normalement, les deux premières questions sont exactes mais là, je bloque sur la méthode en fait...
j'aurais là encore besoin d'aide svp!

Merci d'avance!

Les deux premières questions sont tout à fait justes en effet.

Mais en fait, j'ai l'impression que tu as une réticence à utiliser les complexes comme des objets à part entière. En effet, pour la deuxième question, il s'agit ne fait d'une résolution d'une équation de degré 1 en z:

(2-i)*z +2i=3i

<=> (2-i)*z=i
<=> z= i/(2-i)

<=> z= i*(2+i)/(4+1)

<=> z=-1/5 + i*(2/5)


La question c) repose sur le même principe de résolution d'équation du premier degré vu qu'on est face à cette équation:

(2-i)z + 2i = z


Il ne faut pas avoir peur de faire les choses comme dans R en fait.

Bon courage!

(2-i)z + 2i = z

J'ai tenté de faire comme ceci mais justement je bloque car j'arrive à ça :

2-i + 2i = z / z

??

Bonsoir,

Je ne comprend pas comment tu arrive à passer de la première ligne à la deuxième.

(2-i)z + 2i = z

c'est:

(2-i)*z + 2*i = z

Il ne faut pas chercher de difficulté ou de complication là où il n'y en a pas en fait. En effet, la méthode de résolution est toujours celle d'une équation, on met tout ce qui dépend de z à gauche et tout ce qui n'en dépend pas à droite puis on isole z.

Il faut voir cette équation comme une équation comme tu en vois depuis 4-5ans maintenant. La différence se situe dans le fait que la constante multiplicative est un complexe (2-i) mais ceci est fixé et par conséquent doit être considéré comme une variable comme si c'était un réel alpha tout simplement.

Je ne vois pas ce qui te tracasse dans cette équation, donc si tu pouvais expliciter les soucis pour que je puisse m'adapter cela serait plus pratique pour moi comme pour toi.

Bon courage!

(2-i)z + 2i = z
2z - iz + 2i = z
2i = z - 2z + iz
2i = -z + iz
??

Jusque là c'est nickel!

Maintenant, on factorise par z à droite et enfin on isole z.

(2-i)z + 2i = z
2z - iz + 2i = z
2i = z - 2z + iz
2i = -z + iz
2i = z(-1 + i)
2i / (-1 + i) = z
1 - i = z

C'est tout à fait ça!

Qu'est-ce qui te bloquait en fait?

En fait, je passait le z de l'autre côté dès le début et ça faisait z/z

Faut faire attention à ne diviser que si il y a des facteurs .

Et bien en tout cas, j'ai bien l'impression qu'on a trouvé l'affixe de notre ponit fixe.

a) A (1 ; 2) donc forme algébrique : a = 1 + 2i

A' --> a' = (2-i)(1+2i) + 2i = 2 + 4i -i -2i² + 2i = 2 + 3i +2i +2 = 4 + 5i

b) z' = 3i
z' = (2-i)z + 2i --> Il faut que (2 -i)z = i
avec z = a + ib

(2 -i)(a + ib) = 2a + 2ib - ia - i²b = 2a + b + 2ib - ia = (2a+b) + i(2b-a)

Il faut que :
2a + b = 0
2b - a = 1

--> 2a + b = 0
--> 2a - 4b = -2
---------------------
b-(-4b) = 0 - (-2)
b + 4b = 2
5b = 2
b = 2/5


--> 4a + 2b = 0
--> -a + 2b = 1
----------------------
4a -(-a) = 0-1
4a + a = -1
5a = -1
a = -1/5

Donc :
z' = (2-i)[ -(1/5) + (2/5)i ] + 2i
z' = i + 2i = 3i

DONC :




c) z' = (2-i)z + 2i
Si une transformation a un point fixe alors, ce point vérifie z' = z.
DONC :

(2-i)z + 2i = z
2z - iz + 2i = z
2i = z - 2z + iz
2i = -z + iz
2i = z(-1 + i)
2i / (-1 + i) = z
1 - i = z

L'affixe de Omega sera donc : z = 1 - i



ET VOILA!


Merci pour tout!!!!!!