Complexes

Salut.

On vient de commencer les complexes et on a vu donc que i² = -1

Mais alors est-ce qu'on peut faire comme dans R et à partir de i² = -1 dire : i = √-1 OU i = -√-1 ??

Car en faisant le chemin inverse pour les deux valeurs de i, on retrouve bien i² = -1.

Mais cela ne me paraît pas du tout cohérent car d'une part :

- on a dit que l'écriture algébrique d'un complexe est unique, alors si i peut prendre deux valeurs...

- et d'autre part ceci voudrait dire que chaque nombre complexe z a deux valeurs différentes : celle lorsque i = -√-1 et celle lorsque i = √-1 !!!

Alors je suis quasiment sûr que i = √-1 et faut pas prendre l'autre valeur, mais ça reste encore pas clair.

Merci d'avance pour les explications !

Bonsoir Natty,

Les fameux complexes pose des problèmes car nous ne connaissons jusqu'alors que la structure sur R avec toute les fonctions connu sur cette ensemble ci.

Le soucis, c'est que la réflexion dans C et donc sur les complexes n'est pas tout à fait la même car même si on garde l'addition, la multiplication, la soustraction et la division, on ne garde pas la notion d'ordre qui est toute la particularité de R.

Par conséquent, on ne peut plus ranger les nombres dans C et donc il n'y a plus du tout l'idée de positif ou de négatif pour les nombres complexes.

En conséquence, on ne marquera JAMAIS i=√(-1) car cela n'a aucun sens en soit, il s'agit simplement d'une notation pour bien comprendre à quoi correspond i à l'aide de la structure connue sur R. Mais par contre √(-1) ne veut absolument rien dire ni dans R et ni dans C.

En fait pour construire l'ensemble des complexes, on va "ajouter" un nombre qu'on note i et qui a pour propriété i²=-1. Ensuite, on dira que tout nombre complexe z s'écrit de la forme z=x+i*y avec x et y des réels. Et connaissant pour toutes les manipulation algébrique sur C, on dit qu'on garde les même que sur R. Je ne suis pas très rigoureux mais je te donne jsute l'idée de départ pour bien comprendre les choses. En fait, pour la construction même de l'ensemble C, on le crée en utilisant la fonction qui à un couple de réel (x;y) fait correspondre le complexe: z=x+i*y. En fait, C est complètement déterminer par la donnée d'un couple de réel (x;y) et par la définition du nombre i tel que i²=-1.

Donc i se manipule un peut comme Pi, on ne lui donnep as de valeur c'est un objet qu'on manipule et dont on connait des propriétés mais on ne l'explicite pas (car ce n'est pas possible tout simplement).

J'espère que cela est plus clair en tout cas mais n'hésite pas s'il reste des zones d'ombre.

Donc le i tout seul n'a pas de valeur ? Il est juste défini par i² = -1 ??? Alors dans l'écriture algébrique d'un nombre complexe, le i qui apparaît n'est là que comme figurant pour dire : "hého, voici un nombre complexe" ? il n'a pas de valeur à proprement parler ?

Alors pourquoi définir un élément i et l'expliciter seulement en l'élevant au carré ? Pourquoi ne pas avoir dit : soit le nouvel élément i qui définit notre nouvel ensemble des complexes tel que : i = -1 et pas i² = -1

Voilà la question clé!

En effet, à quoi cela sert-il d'ajouter un nouvelle élément et pourquoi l'avoir ajouter, dans quel but en quelque sorte?

Et bien, on l'a "inventer" lorsqu'on a voulu résoudre les équation du troisième degré pour faire simple dans l'histoire des mathématiques.

En effet, on apprend, très rapidement lorsqu'on commence à étudier les fonctions, qu'un polynôme du troisième degré admet au moins une récine réelle.

Or nous avions quelques soucis à des moments car lorsqu'on tentait de résoudre comme nous l'avions fait ensemble, en faisant des manipulation sur les nombres on arrive à une équation du second degré mais le discriminant de cette équation n'est pas toujours positif ou nulle ce qui impliquerait qu'il n'y aurait pas de solution!! Absurde nous savons par étude que cette racine existe bien.

Par exemple, x³-15x-4=0 admet 4 comme solution. Or je te laisse reprendre la démarche pour résoudre cette équation là (qui est déjà réduite sous la forme x³+px-q=0) et tu constatera qu'il y a un bug quelque part car on devrait considéré comme un élément concret √(-1) ce qui est une pur fiction car il n'existe pas de racine de nombre négatif (d'où el nom d'imaginaire d'ailleurs). Ensuite est venu la question de savoir s'il était raisonnable d'introduire la notion d'imaginaire en posant un nombre i tel que i²=-1.

La réponse est oui car l'étude de la structure de cette ensemble nous permet des calculs d'une part et nous donne de très grandes possibilités dans cette ensemble.

Mais revenons à une démarche mathématique pour te donner une idée de la création de la notion d'ensemble complexe C à l'aide del a résolution d'équation.

Par exemple, si je me place sur les entiers naturel, l'équaiton x+2=0 n'a pas de solution car -2 n'est pas un entier naturel. Par contre, si je regarde cette équation dans Z (l'ensemble des entier relatif) alors là j'ai des solutions.

Maintenant observons si Z peut nous suffir pour travailler. On considère l'équation 2x-1=0. Et bien pas de chance, il n'y a pas de solution dans Z. Par contre dans Q (l'ensemble des quotients dit aussi l'ensemble des rationnels), il y a bien une solution qui est 1/2.

Est-ce que Q, nous suffirait? ET bien non!! Car l'équation x²-2=0 n'a pas de solution dans Q. Mais par contre plongée dans R, cette équation admet une solution qui est √2.

Et là le drame, on ne connaît pas plus gros comme ensemble et pourtant viant le constat fatidique: x²+1=0 n'a pas de solution dans R!!!!

Il faut donc chercher un ensemble encore plus gros et pour cela, on va définir les éléments de ce gros ensemble à l'aide d'un nouveau nombre dit nombre imaginaire et noté i tel que i²=-1 !!!

Ainsi à l'aide des règle de calcul connu, on a x²-1=0 <=> x²-i²=0 <=> (x-i)*(x+i)=0 <=> x=i ou x=-i

Et voilà, nous avons résolu notre problème. Est-ce que ce nouvel ensemble contient assez de nombr'e pour résoudre toutes les équations? Oui! Et même mieux encore comme tu vas le découvrir petit à petit .

Conclusion, i n'a pas de valeur c'est une notation (cela ressemble un peu à ce que je t'avais expliqué sur les inverses avec les congruence a^-1 n'était qu'une notation et bien là c'est pareil en fait c'est un outil mathématiques un peut comme le ' de la dérivation si tu veux).

Bonne continuation!

Ok, donc en fait quand on écrit par exemple : z = 3 + 2i, le nombre complexe z n'a pas de valeur à proprement parler c'est ça ?

Et on a déjà vu quelques utilités des nombres complexes pour l'instant comme par exemple la factorisation de a² + b² (avec a et b des réels) !

a² + b² = (a - ib)*(a + ib)

C'est ça en effet!


2+3i est un nombre complexe de partie réelle égale à 2 et de partie imaginaire égale à 3 mais sa description s'arrête là. Tu verras dans ton cours qu'on peut encore dire deux autres choses sur ce nombre complexe comme ce qu'on appelle son module et son argument et nous aurons fait le tour des complexes.

2+3i est une valeur en soi en fait, complexe mais cela reste une valeur dans l'ensemble des complexe, C. Mais il ne faut pas chercher de lien avec l'ensemble des réels R comme on en a l'habitude comme la comparaison ou encore parler de valeur exact ou approchée car cela n'a aucun sens dans l'ensemble des complexes tout simplement.

Et est-ce que toutes les identités remarquables qu'on avait vu avec les réels marchent avec les complexes ?

Et est-ce que la racine carrée d'un nombre complexe a toujours un sens ? (tout comme la racine n-ième d'ailleurs ?)

Et je présume que les règles sur les puissances sont toujours valables ?
Ex: z⁰ = 1
zⁿ * z² = zⁿ⁺²

Bonsoir,

La structure de R est gardé au niveau des manipulations numériques c'est àdire multiplication, addition, soustraction et division. Donc les identité remarquable reste tout à fait vraies.

La racine carrée a un sens mais il faut la définir sans le symbole racine carrée qui n'a plus de sens en soi dans C. C'est à dire que lorqu'on dit qu'on cherche la racine carrée de z, en fait cela revient à dire qu'on cherche un complexe w tel que w²=z. (Donc si z=-1, on retrouve que la solution est bien i ce qui est cohérent). La fonction logarithme népérien est elle-aussi modifiée dans C tout comme la définition de l'exponentielle pour les complexes (le but sera de trouver une définition qui soit compatible avec les réels et ainsi gardé toute les propriétés étudiées sur R).

La notion de puissance (qui est une notion de multiplication à la base) reste vraie pour des puissances entières donc (entier relatif). Pour les puissances réel ou puissance complexe, il va falloir les redéfinir sous certaine hypothèse par contre. Et on garde la convention dans le cas qui nous intéresse que la puissance 0 vaut le neutre pour la multiplication c'est à dire 1 en effet.

D'ailleurs, tu remarqueras que le neutre pour l'addition reste le même que dans R c'est à dire 0. Et le neutre pour la multiplication reste le même que dans R c'est à dire 1. On garde aussi l'aspect commutatif c'està dire que z'*z=z*z'.

De plus, C est dit intègre c'est à dire que z*z'=0 <=> z=0 ou z'=0 (cette propriété là est gardée aussi).

En espérant que cela t'éclaircisse encore un peu mais n'hésite pas si tu as d'autre question sur le sujet (qui est vaste et intéressant comme tu le constates je l'espère ).

Parfait, merci pour toutes ces explications

Je reviendrais sur ce topic si j'ai d'autres questions de cours sur les complexes.