Nombres complexes TS

Il faut que j'écrive (1+i√3) et (1-i√3) sous forme exponentielle, et ça coince.
Heeeeeelp!!!!!!

Si j'écris z sous forme exponentielle avec r son module et θ son angle, on a:

z= r*exp(i*θ)

Or on peut aussi l'écrire ainsi:

z= r*Cos(θ) + i*r*Sin(θ)

Donc la partie réelle de z c'est r*Cos(θ) et la partie imaginaire c'est r*Sin(θ)

En conclusion, dès que tu as calculer le module de z, tu as accès au cosinus et au sinus de θ. La conclusion est donc immédiate dès qu'on a compris qu'un complexe z= a + i*b on a aussi:

a=r*Cos(θ) et b=r*Sin(θ) avec r=|z|

Je pense qu'avec ce rappel de cours, tu devrais pouvoir conclure .

Bon courage en tout cas et n'hésite pas si tu as des question!

Je préfère mettre la correction à part de mon dernier post ce qui explique ce double post.

Je pose: z₁= 1 + i*√3 et z₂= 1 - i*√3

Je peux déjà remarquer que z₁(conjugué)=z₂

Donc au niveau de la forme exponentielle, je sais déjà que si je pose z₁= R*exp(i*θ) alors z₂= R*exp(-i*θ)

Car le conjugué d'un produit est égale au produit des conjugués. Sachant que:

- le conjugué d'un nombre réel est lui-même donc R(conjugué)=R

- exp(i*θ) (conjugué)= exp(-i*θ)
car exp(i*θ) (cojugué)= Cos(θ) - i*Sin(θ) = Cos(-θ) + i*Sin(-θ) (par parité du cosinus et imparité du sinus). D'où le résultat.

Je viens donc de me simplifier le travail vu qu'il ne me reste plus que R et θ à calculer pour z₁ par exemple (l'autre s'en déduit par conjugaison).

On calcul d'abord R=|z₁|

Or |z₁|= √(1² + (√3)² ) = √(1+3)=√4 =2

Donc R=2

Pour calculer θ, je vais utiliser le fait que R*Cos(θ)=1 et R*Sin(θ)=√3

Donc Cos(θ)=1/2 et Sin(θ)=(√3)/2

Nous sommes donc dans le premier quart supérieur du cercle trigonométrique vu que le cosinus et le sinus sont positifs. Et l'angle donc le cosinus est égale à 1/2 dans le premier quart est π/3.

Donc θ=π/3.


En conclusion,

z₁=2*Exp(i*π/3) et z₂=2*Exp(-i*π/3)


En espérant avoir été assez détaillé sur la démarche et le but est de retenir comment on passe de la forme a + i*b à la forme exponentielle ainsi que la relation entre un nombre complexe et son conjugué qui s'avère souvent utile.

Bonne continuation à toutes et tous et @bientôt au sein du forum!