[PCSI] Nombres complexes

Me revoilà avec mon troisième DM de maths.

Exercice 1 a écrit:

Soit xЄR et soit nЄN*. On pose S_n(x) = ∑_{(k=0 à 2n)} nCr(2n,k)*cos(kx)

1) Calculer S_n(x)
2) En déduire la valeur de la somme ∑_{(k=0 à n)}(-1)^k*nCr(2n,2k)

Pour la question 1 j'ai posé la somme T_n similaire à S_n en remplaçant cos par sin, puis calculé la somme S_n+iT_n, et dégagé la partie réelle.

Pour la 2), je sais pas trop... J'ai regardé dans mon cours, les sommes de l'exercice ressemblent un peu au truc de Chebychev qu'on a rapidement vu en cours, mais sinon je vois pas trop le lien entre la question 1 et la 2.

Bonjour,

La première question est en effet vite traitée à partir du moment où on l'a complexifiée. Tu pouvais d'ailleurs poser directement que S_n(x) était la somme de la partie réelle de la complexification cela était directe aussi sans pour autnat parler de la somme T_n(x) des sinus. On trouve donc à la fin?

Pour la question 2), il n'y a rien à faire en gros. Observe bien la forme de la solution et la forme de S_n(x), elles sont quasi égales.

Bon courage!

ps: n'oublie pas les quantificateurs pour la première question, cela risque de débloquer la situation grandement si tu sais tout ce qui est variable.

En fait pour la question 1 je n'arrive pas à aboutir à quelque chose de correct.

J'ai un truc du genre Sn(x)=2ⁿ.cos(nx).(1+cosx)ⁿ ...

Pour la première question, je n'ai pas l'impression de trouverl a même chose pour ma part.

En effet, tu es d'accord que lorsque tu complexifie, tu arrives à l'égalité suivante:

xЄR et soit nЄN*, S_n(x)= (1+e^ix)²ⁿ

??

Si c'est bien le cas, il y a une erreur dans la conclusion à ce moment là. Je te laisse reprendre tes calculs dans un premier temps.

Bon courage!

Euh, moi c'est S_n+iT_n qui me donne ça.

Et je vois pas où je peux m'être trompé dans ce début...

Oups j'ai oublié d'écrire la partie réelle, désolé!

Pour tout xЄR et soit nЄN*, Sn(x)= Re[(1+e^ix)²ⁿ]

C'est mieux ainsi. Et ensuite que faisons-nous pour avoir accès à la partie réelle?

Bin je sais pas.^^ Moi j'ai calculé (1+e^ix)²ⁿ en factorisant e^i(x/2) et en utilisant une formule d'Euler, mais ça aboutit à rien...

L'idée est tout à fait bonne et elle abouti sans problème sauf que tu as mal calculer la fin.

EN effet, tu ne devrait pas avoir du Cos(x/2) à la fin par hasard avec cette méthode là?

Bin en calculant le complexe j'aboutis à e^inx.2²ⁿ.cos²ⁿ(x/2) .

On prend la partie réelle: donc S_n=2²ⁿ.cos(nx).cos²ⁿ(x/2).

Après j'ai simplfié cos²ⁿ(x/2) qui donne (1/2ⁿ).(1+cosx)ⁿ

Et à la fin j'ai S_n=2ⁿ.cos(nx).(1+cosx)ⁿ.

Mais je vois pas en quoi ça peut m'aider pour la 2)...

Ha ok, tu avais tout développé. J'était loin de m'imaginer que tu avais changé l'écriture finale qui était pourtant concise je trouvais.

Donc nous sommes d'accord pas de soucis.

Maintenant pour la question 2), nous savons que la somme qu'on calcul est valable pour tout valeur de x. Alors pouvons-nous faire le lien entre cette somme et S_n(x) pour un x bien choisi?

Bon courage!

Ah oui lol. Je termine le premier problème du DM et je vais voir si j'arrive à terminer cet exo.^^

NB: juste une petite question: je ne sais jamais quand on a équivalence quand on veut appliquer la racine carrée à une égalité. Par exemple dans le problème j'ai un truc du genre: |z-1|²=2. Je peux en déduire l'équivalence avec |z-1|=√2 ?
L'exercice est un problème dont la dernière question nous demande un principe de construction mécanique d'un ensemble A, qui est la lemniscate de Bernouilli. Tu connais ?^^ La seule fois que j'ai entendu Bernouilli, c'était l'année dernière il me semble, lorsqu'on faisait les probas.

Pour ta question subsidiaire sur l'équivalence après passage à la racine carrée, il s'agit en fait de savoir si l'implication dans l'autre sens est vraie.

En effet, (-3)²=9 n'est pas équivalent à -3=3 !!!!!

Le but pour ne pas faire d'erreur est de toujours considéré les deux possibilité:

a²=b² <=> (|a|=b ou |a|=-b)

On constate que si a est positif les valeur absolue ne servent à rien et si a est négatif, on change le signe mais on arrive toujours au deux même possibilité ce qui revient dont à dire:

a²=b² <=> (a=b ou a=-b)

J'espère que c'est plus clair ainsi.

Sinno, je ne connaissais pas le Lemniscate de Bernouilli mais il s'agit du tracer d'une courbe paramétrée en fait, c'est assez intéressant je trouve comme exercice .

Mais on s'éloigne de notre sujet là .

Donc comme |z-1|² et 2 sont positifs, ont peut dire que |z-1|²=2 <=> |z-1|=√2 c'est ça ?

Par contre ils manquent pas des ² à tes b ?

[édit blagu'cuicui: erreur corrigée. Mais j'aurai dû mettre des racines carrées pour être plus clair en fait.]

C'est tout à fait juste!

Et sinon, cette deuxième somme alors elle se calcule?

Euh non, elle se calcule pas.^^

J'arrive pas à trouver le rapport entre ∑_{(k=0 à 2n)} nCr(2n,k) et ∑_{(k=0 à n)}nCr(2n,2k)...

Scinder une somme en termes paires et impaires peut-être, qu'en dis-tu?

Oui c'est le premier truc que j'ai essayé (le seul en fait^^), mais j'ai pas abouti...

Alors que tu n'es pas abouti, je veux bien le croire mais comment s'écrit la somme en fonction d'une somme de termes pairs et d'une somme de termes impairs?

Nous verronsà partir de cela comment mieux appréhender les choses.

Bon courage!

Bin j'ai ∑_{(k=0 à n)}(-1)^k nCr(2n,2k) = ∑_{(k=0 à n, k pair)} nCr(2n,2k) - ∑_{(k=0 à n, k impair)} nCr(2n,2k).

Et ensuite, euh... Je sais pas j'ai essayé un truc en posant k=2p etc mais ça m'avance à rien...

Ha ba voilà le soucis, tu ne pars pas de la bonne somme .

C'est la somme de cosinus qu'il faut scinder en deux et c'est la seule qu'on peut sciendé en deux car elle va jusqu'à 2n (qui est pair) sinon on devrait mettre des partie entière de n/2 en borne sup des somme ce qui est un peu chiant à manipuler.

Est-ce que tu vois ton erreur, scindé une somme en deux ce n'est pas dire k pair c'est réellement montrer qu'on a scindé en deux sinon, on apporte rien de manipulable sur le terrain. Je te donne un exemple:

∑_{(k=1 à 2n)} 1/k = ∑_{(k=1 à n)} 1/(2k) + ∑_{(k=0 à n-1)} 1/(2k+1)

Et là tu constate qu'à droite j'ai bien deux sommes dont l'une ne contient que des dénominateurs pairs et l'autre que des dénominateurs impairs. De plus, l'une des sommes va de 1 à n (1/2 + 1/4 +....+1/(2n) ) et l'autre va de 0 à n-1 (1/1+1/3+1/5+...+1/(2n-1) ) et l'addition de deux vu qu'il n'y a aucun termes commun, nous donne une somme de termes allant de 1 à 2n des 1/k. Est-ce que tu vois la démarche pour scinder une somme en deux?

Je te laisse rectifier.

Bon courage!

Mmmmh c'est pour ça xD. J'me disais bien que ça menait à rien.^^

Je vais essayer ça demain soir. DM à rendre pour après-demain et encore un exo et demi à faire. Sans compte le DS de maths mercredi. Accompagné de celui de chimie, d'anglais, et de SI bien sur. La prépa commence vraiment là.^^

Il faut savoir que tu travailles réellement sur la durée. La prépas prépare au concours mais sur deux ans donc encore plus qu'avant ne pas comprendre avant un devoir n'est pas dramatique, ne pas pouvoir rendre un devoir maison complet encore moins. Le soucis? Ca serait de ne pas comprendre du tout! Donc il faut toujours essayer de comprendre ou de reprendre ce qui a déjà été fait pour mieux l'assimiler. Le but est vraiment de garder le morale en tout circonstante et de se dire que tu joues sur deux années et non sur un devoir dans la semaine . après mieux tu sera organisé et mieux tu pourras trouver du temps pour faire ou refaire des choses aussi (négliger toute activité physique serait une ENORME erreur, je le dis en passant car il faut vraimetn savoir s'aérer l'espère ).

Bon courage pour ton boulot et pour continuer ce DM!

Demain matin, footing à 6h30 ! Pour bien commencer la journée.

Mon souci pour l'instant c'est l'organisation. Je suis un peu "à la masse". Le soir je suis toujours à finir les devoirs pour le lendemain. C'est parce que le week end j'arrive pas à assez m'avancer. Mais ça va venir !

Allez, bonne nuit et merci!

J'ai pas compris à quoi ça sert de scinder la première somme en deux en fait...

Bonsoir,

En fait, la somme du départ va de 1 à 2n et celle que nous avons sous les yeuxva de 1 à n. On sait qu'ne scindant en deux, on arrive à cette configuration là. Mais ne effet, tu comprendrai mieux directement si on trouvait d'abord quelle valeur de x nous allons utiliser pour trouver le (-1)^k.

Bon courage!