[PCSI] Récurrence

Salut !

Premier DM de maths, j'aurais besoin d'une piste. =D

1) Soient a et b deux réels strictement positifs, montrer que a/b + b/a ≥ 2.

2) Plus généralement, montrer que si a₁, a₂, a₃,...., a_n désignent n réels strictement positifs alors (a₁ + a₂ + ... + a_n).(1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/a_n ) ≥ n².

J'ai réussi la première question, j'aurais besoin d'aide pour la deuxième. J'ai songé à le faire par récurrence mais je n'arrive pas... J'ai vraiment un manque d'idées. J'ai pensé à développer mais ça donne un truc trop compliqué (je veux dire par là que pour une démonstration ça me parait trop confus). J'ai essayé de voir avec n = 2 et n= 3 en développant on tombe sur n + (n²-n)/2 fois le cas de la question 1). Comme le cas de la question 1 est supérieur ou égal à 2 je retrouve que ce produit est supérieur ou égal à n²... Mais je ne vois pas comment le justifier correctement à part une réurrence...

Merci !

Bonsoir Nakor,

Ca repart fort en prépas donc. La première question est plutôt facile en effet, il s'agissait juste de remarquer qu'un carré était positif et on retrouvais rexactement ce qu'on voulait.

Bon comme tu as eu l'occasion de le voir durant ton cursus une question deux est souvent lié à la question 1) mais la difficulté est de savoir comment cela s'emboite.

Ici, il s'agit en effet de faire une récurrence sur n c'est à dire le nombre de termes qu'on considère dans les deux sommes (sommes des nombres et de leur inverse). On suppose donc exactement ce qu'on doit démontrer et je pense que l'initialisation ne t'a pas posé trop de problème car pour n=1 c'est assez trivial tout de même .

Alors après, on suppose le résultat vrai pour n-1 et on doit démontrer qu'il reste vrai pour n et c'est là que ça se complique un peu car il y a plein de terme et plein de sommes partout. Il faut commencer par essayer de condenser l'écriture de notre expression le plus possible.

Par conséquent, tu as déjà vu le "signe somme", ∑, l'année dernière et je vais donc l'utiliser pour condensé notre expression. On peut donc la réécrire ainsi:

(∑_i=1^n-1 a_i)(∑_i=1^n-1 1/a_i) ≥ (n-1)²

Il s'agit de notre hypothèse de récurrence.

Maintenant comment à partir de cette somme là: ∑_i=1^n-1 a_i arriver à cette somme-ci: ∑_i=1ⁿ a_i? Même question pour l'autre somme.

Dès que tu auras décoïncé ce passage là, je te laisse développer l'expression et essayer d'avancer en n'oubliant pas que tu dois te servir du 1) à un moment ou à un autre.

Bon courage!

Héhé, c'est justement là ou est mon problème ! Je suis arrivé ici:

(∑i=1n-1 ai)(∑i=1n-1 1/ai) ≥ (n-1)²

(enfin moi j'ai appris à le faire avec n et n+1 mais c'est pareil).

Et ensuite je suis coincé. Je ne vois pas comment faire pour arriver au rang n+1. Je vais encore essayer demain soir, mais je ne vois pas comment introduire un ai et un 1/ai supplémentaire dans ce produit de sommes...

Oullalala qu'est-ce que ça me désespère les maths quand je trouve pas. =D Mais ça me rassure de voir que j'ai pris le problème dans le bon sens. A demain donc !

Ah oui et quelle est ta méthode pour la première question ? Moi j'ai étudié la fonction x + 1/x en fait...

Pas mal l'idée pour la première question! J'avoue ne pas y avoir pensé car je connaît une astuce de calcul qui va te servir plus tard et quand tu va la lire tu vas voir la trivialité du truc:

(a-b)² ≥ 0 (car un carré est toujours positif, jusque là nickel)

Je développe le carré, ce qui me donne (a-b)²=a²-2ab+b²

Donc (a-b)² ≥ 0 <=> a²-2ab+b²≥0

<=> a²+b² ≥ 2ab

Or a>0 et b>0 donc a et b sont non nul et positif, je peux donc diviser par a*b et ceci sans changer le signe de l'ingélité. Conclusion:

(a-b)² ≥ 0 <=> (a²+b²)/ab ≥ 2

Bon sans l'avoir vu, cette astuce personne n'y pense ne t'inquiète pas si tu trouve après coup que la question était évidente alors que tu y a passé un temps fou pour penser à étudier la fonction et à étudier celle-ci. La classe prépas c'est aussi ça, c'est à dire que tu as un bagage de maths et tu dois trouver la solution par n'importe quel moyen (sauf s'il est indiqué bien entendu) et donc tu utilise ton propre bagage sans chercher d'astuce. Le but va être de te faire acquérir des réflexe de calcul pour que tu puisse te consacrer à des choses plus subtil et plus coriace comme par exemple la rédaction de la récurrence là.

Alors pour la récurrence, la solution réside vraiment dans cette question:

Quel lien y a-t-il entre ∑_{ⁿ a[sub]i} et ∑_i=1ⁿ⁺¹ a_i? En gros j'aimerai que tu arrive à écrire un égalité du style:

∑_i=1ⁿ⁺¹ a_i = "....quelque chose.........." + ∑_i=1ⁿ a_i

Dès que tu aura ça, la récurrence tombera toute seule, tu verras.

Sinon, te laisse pas décourrager la prépas c'est difficile mais pas insurmontable et le but c'est justement de se confronter à des sujets qu'on ne sait pas forcément faire mais bon c'est "presque" la première fois qu'on se confronte à des choses qui nous donne du fil à retorde. Donc ne pas réussir un exercice n'est pas un drame, ne pas le comprendre serait plus ennuyeux. Les réflexes viennent avec le temps et l'apprentissage qu'il y aura derrière ne t'inquiète pas.

Bon courage!

Ok donc à tête reposée voici ce que j'ai fait:

(∑_{(i=1 => n+1)}a_i).(∑_{(i=1 => n+1)}1/a_i) = (∑_{(i=1 => n)}a_i + a_n+1).(∑_{(i=1 => n)}1/a_i + 1/a_n+1) = (∑a_i).(∑1/a_i) + a_n+1.∑1/a_i + (1/a_n+1).∑a_i + 1 = P_n + n*(le cas de 1)) + 1

Comme on a supposé P_n≥ n² et (le cas de 1) ≥ à 2, on a P_n + n*(le cas de 1)) + 1 ≥ n² + 2n + 1 = (n+1)².

Bon le seul truc c'est que je sais pas trop comment correctement justifier que a_n+1.∑(1/a_i) + (1/a_n+1).∑a_i ≥ 2n ...

Bonsoir,

Alors tout est juste maintenant au niveau du raisonnement. Par contre, il te manque en effet un bout car le passage de l'expression à "= machin + n*(le cas 1) +1". J'écrirai bien sur la copie "bluff !!". En effet, tu ne prouves pas qu'il s'agit bien de n*(le cas 1) ce qui te donnerai n*2 ce que tu cherches mais intuitivement tu as compris que l'idée était là. Sauf que sur une copie écrit ainsi, on dirait plutôt que tu bluff pour arriver au résultat .

Alors, comment faire pour justifier ce passage?

Si j'additionne deux sommes, cela revient à faire la somme des additions, non? (exemple: (2+3) + (4+5)= (2+4)+(3+5) par exemple)
De plus, si je multiplie par une constante une somme, cela revient bien à multiplier chaque terme de la somme par cette constante.

A partir de là, regarde si l' "indiçage" est le même dans les deux sommes et regroupe les terme pour te ramener directement au cas 1 sans passer par un intermédiaire.

Bon courage et n'hésite pas si des choses restes obscures à poser tes questions!

Ouais je suis con lol. Merci !

T'inquiète pas, les astuces sont idiotes mais bon sans les avoir vu, on n'y pense pas pour autant tout simplement.

Bonne continuation!