[PCSI] Fonctions usuelles (3)

Préliminaires

L'objectif de cette partie est des montrer la densité de Q dans R; autrement dit nous allons montrer que tout réel est limité d'une suite (r_n)_n€N d'éléments de Q.

1) Montrer que x->E(x) est croissante sur R. Montrer que pour tout réel x on a |x-E(x)| ≤ 1.

Pour cette question j'ai dit que par définition, la partie entière d'un nombre réel est le plus grand entier inférieur ou égal à x. Et comme la distance entre deux entiers consécutifs sur l'axe des réels est de 1, on a forcément |x-E(x)| ≤ 1.

Pour la croissance j'ai raisonné par l'absurde. Supposons que x≤y (x et y distincts). Soit E(x)>E(y). Alors E(x)≥E(y)+1.
x ≥ E(x)≥E(y)+1>y. Donc x>y: absurde.

Donc E(x)<E(y) : croissance de E(x) sur R.

2) Soit x€R et n€N, montrer que [10^-n.E(10ⁿx) - x|≤1/10ⁿ . On dira ce que représente le décimal 10^-n.E(10ⁿx) par rapport à x.

Ici j'ai remplacé x par 10ⁿx dans l'inégalité précédente et j'aboutis au résultat.

3) En déduire que Q est dense dans R, c'est-à-dire que tout nombre réel est la limite d'une suite de rationnels.

Pas compris.

Etude d'équations fonctionnelles.

On dédire déterminer toutes les applications f:R₊* -> R continues sur R₊* telles que pour tout x,y réels >0 f(x*y) = f(x) + f(y).

Soit f l'une de ces applications.

1) Montrer que f(1)=0.

Je n'ai pas trouvé comment le faire "correctement"

2) Soit a réel >0 et n entier naturel, montrer que: f(aⁿ)=nf(a).

Je l'ai fait par récurrence.

3) même chose pour n entier relatif.

Non réussi.

4)a) Même chose avec une puissance 1/q, q€N*

b) même chose avec une puissance p/q (p,q)€Z*N*

Non réussi.

Les passages ci dessus sont des passages algébriques, nous voulons maintenant passer aux nombres réels: nous allons utiliser pour cela la densité de Q dans R et le fait que f est une application continue.

5) Montrer que pour tout x€R et pour tout a>0 on a f(a^x) = xf(a). En déduire que f est de la forme k*ln où k réel. Conclure.

Non réussi.

On cherche maintenant à déterminer toutes les applications continues g de R dans R telles que g(x+y)=g(x)*g(y)

SOit g une fonction vérifiant les conditions ci dessus.

1) Montrer que g(0)=0 ou g(0)=1.

Soit x€R et y=0. Alors g(x+y)=g(x)*g(y) <=> g(x)=g(x)*g(0). Donc g(0)=0 ou g(0)=1.

2) Montrer que g(0)=O si et seulement si la fonction g est identiquement nulle.

Pas compris la question. A partir de g(x)=g(x)*g(0) on ne peut pas dire g(0)=0 <=> g(x)=0 ? ('fin je suis pas sur de ce que veut dire "identiquement nulle").

On supposera dans toute la suite que g n'est pas la fonction nulle.

3) Montrer que g est à valeurs strictement positives, cad que pour tout réel x on a g(x)>0.

Je l'ai fait par l'absurde en partant de g(x)<0. Alors g(x+y)<0, g(x)<0 et g(y)<0. Or g(x)*g(y)=g(x+y) >0: Absurde.

4). On pose g(1)=a avec a>0. Montrer successivement que:
a) pour tout entier relatif n on a g(n)=aⁿ

Là de même j'ai réussi à montrer pour n entier naturel seulement.

b) même chose avec q€Q
c) même chose avec x€R (on pourra utiliser pour cela la densité de Q dans R)
d) Conclure.

Voilà voilà j'ai pas réussi grand chose.^^

Pour la deuxième partie, j'ai trouvé comment calculer f(aⁿ) avec n entier relatif, n=1/q, et n=p/q.
Me manque plus que pour n=x réel.

Bonsoir!

Ton exercice à pour but de démontrer l'existence et l'unicité de la fonction logarithme népérien ainsi que celles de la fonction exponentielle que tu connais (la classe, non? ). Pour cela, on a besoin de la densité de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des réels.

Késako?

En fait, on cherche à montrer que si je prend un x réel, alors il existe une suite d'élements de Q que j'appelle (r_n) (r comme rationnels, ça ne s'invente pas) qui est telle que:

Lim_n->+∞ r_n=x

Bon maintenant, le but reste simple: "il faut expliciter une suite (r_n) pour chaque valeur de x dans R". Comment faire?
Et bien, on va tout simplement construire une telle suite.

On te fait donc travailler sur la partie entière de x, E(x) qui est un entier naturel. Pourquoi? Car l'avantage de cette fonction, c'est qu'à partir de tout nombre réel x, on lui associe un entier E(x). Nous avons donc forcé x à devenir entier par une fonction ce qui nous arrange fortement vu qu'on cherche à construire une suite de rationnels c'est à dire une suites de quotient d'entier qui converge vers x.

Par définition, la partie entière est donc le plus grand entier inférieur ou égale à x comme tu l'écris ce qui veut dire en fait que: pour tout réel x, on a: x-1 < E(x) ≤ x.

Par conséquent, la première question tombe d'elle même en effet.

Par contre, tu n'as pas répondu à toute la deuxième question, ce qui te pose des soucis pour conclure après en quelque sorte. EN effet que représente 10^-n*E(10ⁿ*x) par rapport à x?

La question 3), il faut revenir à la définition de la densité que j'ai rappelé au-dessus. On cherche à explicité une suite de rationnels qui converge vers x et dans la question 3), on demande juste de montrer que la suite qu'on a construite est bien une suite de rationnels et que la convergence est bien vers x tout simplement.


Pour la deuxième partie, on va donc expliciter le fait que la seule fonction qui vérifie pour tout réels x et y, F(x*y)=F(x)+F(y) est la fonction du type x-->Ln(x) avec k réel.
Pour ce faire, on va raisonner par "analyse-synthèse". C'est à dire qu'on va supposer que notre fonction F existe et vérifie les propriétés citées et on va directement travailler dessus. Par conséquent, on a la relation pour toutes les valeurs de ]0;+∞[, pourquoi se priver de prendre x=y=1? .

Pour la 1) c'est une récurrence, pour la 2), vu qu'on a le droit à a>0, on peut donc prendre a^-n qui reste strictement positif et appliquer ce qu'on a démontrer pour avoir la relation voulu. Et pour le passage aux rationnels, il faut réfléchir un peut pour la puissance 1/q et dès qu'on l'a la puissance p/q=p*(1/q) donc pas de problème par définition de F.

Et à partir du moment, où on a les rationnels et bien on peut passer au réel grâceà la première partie! En effet, on prend un réel x et par densité de Q dans R, on sait qu'il existe une suite de rationnels qui converge vers x. Mais on connaît la forme qu'a F lorsque la puissance est un rationnels et en passant à la limite, on obtient ce qu'on veut par continuité.
J'espère que ce passage est clair car il est primordiale, donc n'hésite pas si besoin était.

Et dès qu'on a la forme des fonctions, il faut fairel a synthèse opur conclure (et trouver la valeur de k en l'occurence).

Nous verrons la parti suivante par la suite qui est quant à elle consacrée à la démonstration de l'existence et l'unicité de la fonction exponentielle (qui est donc la seule à avoir ses propriétés là).

Bon courage!

Yep, j'ai à peu près tout compris !

Pour la deuxième partie c'était le même raisonnement, je pense avoir trouvé (à la fin on trouve que les fonctions qui conviennent au problème sont la fonction nulle et la fonction a^x non ? c'est un peu plus simple que dans la première partie).

Merci,

Je reviens bientôt avec le DM des vacances. (équa diff et courbes paramétrées)

Bonjour,

EN fait pour la deuxième partie, la première question n'était pas bien rédigée:

Citation :

1) Montrer que g(0)=0 ou g(0)=1.

Soit x€R et y=0. Alors g(x+y)=g(x)*g(y) <=> g(x)=g(x)*g(0). Donc g(0)=0 ou g(0)=1

En effet, ton "donc" est un coup de bluff même si tu as compris l'idée car tu n'as pas montrer le fameux "donc". En fait, il faut prendre tout simplement x=y=0 ce qui nous donne: g(0)=[g(0)]² et là je pose g(0)=t et nous sommes devant une équation du second degré en t: t=t² <=> t²-t=0 <=> t*(t-1)=0
Et là la conclusion est immédiate (un produit de facteur est nul, ....).

Pour la question 2) par contre c'est ce que tu as fait à la question 1) qui était utile. En effet si on prend x dans R et y=0, on trouve: g(x)=g(x)*g(0)

Donc g(0)=0 <=> pour tout x dans R, g(x)=0 ce qui est bien al définition de la fonction identiquement nulle sur R.

rien que de dire que par la suite la fonction n'estp as identiquement nulle, signifie que g(0)=1 forcément d'après 1) et 2).

Pour la question 3), ta démonstration n'est pas juste! En effet, le contraire de pour tout x g(x)>0 c'est: "il existe un t tel que g(t)<0". Or tu as utiliser le fait que c'était négatif pour toute valeur de x et tu aboutis qu'il y a une contradiction ce qui implique que tu as montrer qu'il existait un x tel que g(x)>0 (or l'existence d'un seul x, on l'avait déjà vu que g(0)=1>0). Attention donc à la rigueur de ce point de vu là!

Pour les question suivante c'est une récurrence puis una adaptatino à chaque cas pour le passage au entier relatif et au rationnelle et on conclut par densité pour avoir les réels. On définit ainsi ce qu'on appelle: "exponentielle en base a" et la fonction que tu connais le mieux c'est l'exponentielle en base e c'st à dire g(x)=e^x.

N'hésite pas à proposer une correction de ton exercice si tu le souhaites. Profite de tes vacances pour faire le point et non pour faire des exercices qui sorte de l'ordinaire car les métodes et les exerices de base sont plus importants voire même les clés de tes performance futures (aussi bien à l'oral qu'à l'écrit).

Bon courage pour la suite!