[PCSI] Nombres complexes 2

Le plan est identifié à C par le choix du repère orthonormé direct (O,u,v). On considère les deux applications suivantes:

f:C*->C
z -> (1/2)(z+1/z)

h: C*->C*
z - > 1/z

On note A1, A2 et A les sous ensembles de C suivants:

A1 = {zЄC; |z-1| = √2}
A2 = {zЄC; |z+1| = √2}
A = {zЄC; |z-1|*|z+1| = 1}

On cherche un procédé géométrique pour construire l'ensemble A.

1) Reconnaitre la nature géométrique de A1 et A2.
2) Montrer que h est bijective et déterminer sa bijection réciproque
3) Montrer que f est surjective. Est-elle injective ? bijective ?
4)a) Montrer que pour tout z complexe |z-1|²+|z+1|² = 2(|z|²+1)
b) En déduire que A1 et A2 sont "changés par h (c'est à dire que h(A1)=A2 et que h(A2)=A1)
5a) Etablir que pour tout complexe z non nul: (|z-1|² - 2).(|z+1|² - 2) = 4|z|²(|(1/2)(z+1/z) - 1||(1/2)(z+1/z) - 1| - 1)

b) En déduire que f^-1(A) = (A1)U(A2)

Voilà j'en suis à la 5b) j'ai montré l'inclusion directe mais je n'arrive pas à montrer l'autre inclusion. Et j'ai pas réussi la 4b...

Cette exercice fait le lien entre l'aspect analytique et l'aspect géométrique des complexes ce qui est très intéressant en soi (savoir passer de l'un à l'autre).

Pour la question 4)b), il faut montrer une égalité entre deux ensemble h(A1) et A2. Et pour celà, on montre par double inclusion le plus souvent.

Donc on prend un z dans A1 (c'està dire que |z-1|²=2) et on lui applique h ce qui donne h(z)=1/z qui apparient bien à h(A1)
Ce qu'il reste à montre c'est que 1/z appartient à A2, c'est à dire que |1/z +1|²=2
Et vu comment est posée la question, il s'agit de déduire cela grâce à l'égalité qu'on nous a fait démontrer en 4)a) (ce qui est somme toute plutôt logique).

Pour montrer l'égalité, il faudra prendre un élément de A2 et montrer qu'il est l'image d'un élément de A1.
Pour l'autre égalité c'est le même principe en fait mais on peut être malin en disant que h²(z)=h et le fait que h soit bijective nous permet de dire que si h(A1)=A2 c'est équivalent à dire que h²(A1)=h(A2) c'est à dire A1=h(A2) d'après la question 1) mais sinon il faut refaire la même démarche que pour la première égalité ce uqi marche sans soucis.


Sinon pour la question 5)b), qu'est-ce que tu as montré exactement?

Pour la 5b) j'ai démontée que f^-1(A) était inclu dans A1UA2. J'ai pris un élément z de f^-1(A). C'est à dire que f(z) appartient à A. Et à l'aide de l'égalité précédente j'ai trouvé que z appartenait à A1 ou à A2.

Alors pour mieux voir les choses comment réécrire l'expression du 5)a) en utilisant f(z).

Tu vas peut-être mieux visualiser les choses car en fait si on prend un z dans l'union de A1 et A2 cela siginifie que l'égalité 5)a) est nulle mais encore faut-il à quoi correspond la partir de droite par rapport à f(z).

Bon courage!

J'ai pas tout compris à ta dernière phrase lol.

Et j'arrive pas non plus à montrer que A2 est inclus dans h(A1). On prend un complexe z dans A2. Et ensuite, c'est quoi le but ? Que veut dire que z appartient à h(A1) ? h-1(z) appartient à A1 ?

Alors pour ta dernière remarque, il s'agit de bien comprendre ce que signifie h(A1).

Montrer que z appartient à h(A1) c'est montrer qu'il existe un a tel que z=h(a) tout simplement. On utilise pas l'image réciproque ici, il n'y a pas d'intérêt.

Sinon, pourl a 5)b), il s'agit de mettre en évidence dans un premier temps f(z) dans l'égalité que nous avons dans le 5)a). C'est à dire: qu'à droite de cette égalité:

(|z-1|² - 2).(|z+1|² - 2) = 4|z|²(|(1/2)(z+1/z) - 1||(1/2)(z+1/z) - 1| - 1)

Je souhaite voir apparaître f(z) plusieurs fois pour bien mettre ne évidence où se situe cette quantité vu qu'on va cherhcer à montrer qu'on prenant un z dans A1UA2 alors f(z) est dans A, il faut donc mettre en évidence f(z) dans l'expression sinon, nous allons tourner en rond.

Bon courage!

Oui oui, d'accord, mais je ne sais pas comment traduire que z est dans A1UA2...

Bizarre pourtant pour montrer l'autre sens tu as bien réussi à conclure que z était dans A1 ou dans A2 et conclure que cela signifiait au fait d'être dans A1UA2 non? .

Être dans une union c'est être dnas l'un des ensemble ou dans l'aitre et ici si tu réécrit cela, tu va t'appercevoir que cela revient à dire que la partie gauche de l'égalité est nulle tout simplement.

Je te laisse reprendre ceci.

Bon courage!

Ouais bin ouais... Merci^^

Autre question d'un autre exercice:

Soit z un nombre complexe vérifiant |1+z+z²+....+z⁹| = 1 et |z|=1

Montrer que z²⁰ + 1 - z¹¹ - z⁹ = 0

J'ai remarqué que 1+...+z⁹ était une somme géométrique, mais je ne sais pas quoi en tirer... Ca a un rapport avec les racines énième de l'unité ? Je sèche sur cette question...

Pour la notion d'union (c'est bizarre que vous n'ayez pas vu cette notion plus en détail avant de faire ce devoir), il faut se ramener à un cas simple:

"{0}U{1}={0 ou 1}"

Donc si j'appartiens à cette union je suis soit égale à 1 soit égale à 0. Ensuite, si je prend des ensemble plus "gros", cela se "voit" de la même façon:

(A1)U(A2)={z/ z soit dans A1 ou z soit dans A2} tout simplement.

Écrit ce que cela signifie et en passant au carré, tu obtiens |z+1|²-2=0 ou |z-1|²-2=0. Ensuite, regarde ce que cela signifie que la quantité démontrée dans le 5)a) soit nulle.

Pour ton autre question, il s'agit peut-être de faire une analyse synthèse. C'està dire d'utiliser dans un premier temps la relation qu'on a sous les yeux: z²⁰+1-z⁹-z¹¹=0

On voit apparaître par exemple: (z²⁰-z¹¹)+ (1-z⁹)=0 et d'en conclure une propriété sur z¹¹.

Ensuite dans la synthèse ça serait de savoir si avec les hypothèses que nous avons, c'est possible de retrouver la propriété qu'on souhaite ou pas. Mais nous menons beaucoup trop d'exercice de front je trouve et cela ne tend pas à éclaircir les choses bien au contraire à mon avis.

Ouais surtout le soir c'est chaud.^^ Pour ce dernier exercice je suis parti du fait que 1+z+z²+....+z⁹ est une suite géométrique, je l'ai écrit comme tel, et ai bidouillé avec les modules pour arriver au résultat final.

Sinon j'ai eu mon premier ds de maths mercredi, et franchement, je m'attendais à pire.

J'ai fait quelques fautes de merde dues au stress (genre dans un exo ou fallait chercher les racines d'un trinome du second degré à coeff complexes, lors de la résolution d'un système j'ai gardé a² et b² au lieu de a et b ce qui m'a suivi pendant le reste de l'exo).

Y'a une moitié d'exo que j'ai pas fait parce que je comprenais pas: Il s'agissait de calculer une somme S(x)=∑(k=0 à k=n-1) sin((2k+1)x) ou un truc du genre. Et à la fin je tombais sur une expression avec sin(x) au dénominateur. Et la 2e et dernière question de l'exo c'était de trouver toutes les solutions de S(x) = 0.

Et un exo que j'ai presque pas fait (faute de temps, mais le prof a dit qu'il nous mettait des sujets trop longs).

J'arrive bientôt avec le prochain DM !

Bonjour,

Les sujet de concours sont de toute façon plus long que ce qu'on est capable de faire (sauf une partie infime de la population étudiante qui finira à l'X ou à ULM en quelque sorte). Il ne faut donc pas s'étonner de celà.

Par contre, le calcul de la somme des sinus est un classique qu'il faut absolument savoir faire les yeux fermés par contre car sinon c'est une perte de temps assez horrible que de redécouvrir ce genre de résultat (assez intéressant en soi d'ailleurs pour des calculs de sommes lié à la trigonométrie circulaire ou hyperbolique d'ailleurs). Donc si tu n'as pas compris ce raisonnement là, ouvre un autre sujet car il faut vraiment bien enchaîner ce genre de calcul qui n'a de complexe que la rigueur du calcul lui-même en fait.

Sinon, tu peux toujours proposer une rédaction de ta solution pour l'autre exercice pour trouver l'égalité si tu souhaite en discuter.

Enfin, à l'avenir essaie de découper tes questions même s'il s'agit d'un même DM en plusieurs messages correspondant à plusieurs sous partie d'un même thème (sauf si le DM est en un seul tenant bien entendu) car les exercice de prépas sont pas simple à suivre en lecture épisodique. Il faut mieux avoir une lecture linéaire de chaque thème pour mieux comprendre ce qui est mis en jeu.

Félicitation pour ton devoir en tout cas peu importe la note le principale est d'être content de ce qu'on a fait.

Bonne continuation!

J'ai su calculer la somme. Et dans la solution il y avait effectivement du sinx au dénominateur apparemment. J'ai pas compris comment en procédant par égalité on arrive à avoir des valeurs interdites à la fin. Enfin bref je verrai bien la correction

Normalement, la démarche est de passer en complexe et de considérer la somme comme la partie imginaire d'une exponentielle complexe.

Après calculs, on aboutit bien à un sin(x) au dénominateur et un sin²(nx) au numérateur mais on obtient se résultat pour certaines valeurs de x, attention à cela !!! En effet, la somme d'une suite géométrique à deux résultats:

- l'un si la raison est diférente de 1
- L'autre si la raison est égale à 1

Ainsi, il n'y a pas de valeur interdite dans la solution finale car il y a deux expression de cette somme en fonction des valeurs de x.

C'est ça qui a dû te manquer pour conclure, je pense car en effet, lorsqu'on part d'une simple addition de sinus, il n'y a pas de valeurs interdites au bout de course c'est évident en effet!

Bon courage pour la suite!

Ah oui j'ai du oublier le premier cas... Mon prof va m'allumer pour ça, mais c'est pas grave.

Dans le stress et la fatigue c'est chaud de penser à tout. Faut que les trucs simples comme ça soient des réflexes mais j'ai pas assez bossé pour que ça soit le cas.

On ne peut pas tout savoir tout de suite non plus . L'avantage de faire une erreur c'est qu'on s'en souvient de façonp lus durable par la suite.

Le but est justement que ces réflexes calculatoire viennent de plus ne plus vite et de façon de plus en plus juste surtout et pour cela, il n'y a pas d'autre mystère que de faire du calcul même si c'est rébarbatif et assez peu valorisant mais au moins ça à le mérite de payer sur du long terme après tout. Mais je ne me fais de soucis ne t'inquiète pas faire des erreurs cette année n'esst pas un drame (les concours c'est que dans 2 ans, y'a le temps de s'améliorer heureusement ).

Bon courage pour la suite!