Nombres complexes

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un devoir de maths car je n'y arrive plus

Le sujet est
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, OU, OV), on considère les points M_n d'affixes Z_n=(1+i3) (-i/2)ⁿ où n est un entier naturel.

1. Exprimer Z_n+1 en fonction de Z_n puis Z_n en fonction de Z₀ et n
2. Donner Z₀, Z₁, Z₂, Z₃ et Z₄ sons forme algébrique et sous forme trigonométrique.
3. Placer les points M₀, M₁, M₂, M₃ et M₄ (unité graphique 4cm)
4. Déterminer la distance OM_n en fonction de n.
5.a. Montrer que l'on a M_nM_n+1=racine5/2ⁿ pour tout entier naturel n.


b. On pose L_n=M₀+M₁+...+M_nM_n+1
Déterminer L_n en fonction de l'entier n.
Calculer lim_n->+∞ L_n
6. Déterminer une mesure de l'angle (OM₀, OM_n) en fonction de l'entier N.
Pour quelles valeurs de n, les points O, M₀ et M_n sont-ils alignés?

J'ai réussi jusqu'a la question 3 mais après je ne sais pas comment débuter...

Merci d'avance pour votre aide

Bonsoir et bienvenue parmi nous, Tiphaine!

La première chose qu'il faut savoir c'est le lien entre un complexe, un angle et une distance.

Alors, en fait lorsqu'on a un point M d'affixe z, il faut savoir que:

OM=|z| (la distance de M à l'origine est égale au module de z)
(OU;OM)=Arg(z) (l'angel formé par le vecteur directeur de l'axe des réels dirigé vers le vecteur OM est égale à l'argument du complexe)

Maintenant, cela se généralise pour une distance entre deux point A et B d'affixe respectif z et z'. En effet, on a:
AB=|z'-z|

Et l'argument de z'-z est égale à l'angle (OU;AB).

Avec tout ça on a tout ce qu'il nous faut pour raisonner sur les complexes en fait.

Maintenant, que vaut la distance OM_n connaissant l'affixe de M_n?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes question si quelque chose n'est pas clair!

ps: sur le forum les vecteurs sont en gras pour éviter de confondre une distance avec un vecteur. Et pour mettre en indice ou un exposant, il suffit de sélectioner la valeur et d'appuyer sur autre puis indice ou exposant.

Merci mais par contre par rapport au |z| je ne sais pas comment faire enfin avec quelle expression.

J'ai beaucoup de mal en maths et je vous remercie vraiment de m'aider.

En fait la distance OM_n va être donnée par le module de l'affixe du vecteur OM_n.

Or que vaut l'affixe du vecteur OM_n? Sahcant qu'on connaît l'affixe de M_n et l'affixe de O.

Bon courage!

Alors il me semblait avoir trouvé ce qu'il fallait pour la 4 mais ça ne marche pas pour la 5 donc j'ai du faire une erruer...

|zo| c'est bien 0 ?

D'après ton énoncer, on a:

Z₀= (1+i*3)*(-i/2)⁰

Or tout complexe à la puissance 0 est égale à 1 ce qui donne Z₀ = 1+i*3

Et ceci n'est pas de module nul car le seul complexe qui est de module nul est 0. Il doit donc y avoir une erreur quelque part.

Bon courage!

Bonsoir, pour la 4 c'est bon j'ai réussi mais maintenant la 5 me pose un léger problème, car j'ai trouvé z_n+1=Z_n(-i/2) mais j'ai des doutes sur ce résultat

Bonsoir,

La réponse que tu proposes pour la première question est tout à fait juste en effet.

Du coup, quel est l'affixe du vecteur M_nM_n+1 en fonction de Z_n et de n?

Bon courage!

c'est |z_n+1-z_n c'est ça?

Alors pour l'affixe du vecteur il n'y a pas de module mais sinon c'est ça en effet!

du coup, en mettant les modules, tu vas pouvoir déduire la distance que tu cherches tout simplement. Et pour ce faire, il faut écrire z_n+1 en fonction de z_n comme dans la question 1) pour essayé de retrouver ce que tu as déjà fait à la question 4), le fameux calcul du module de |z_n|=OM_n.

Est-ce que tu comprends le raisonnement ici?

Bon courage!

Non je ne comprends pas trop =(

Nous venons de voir que le vecteur M_nM_n+1 avait pour affixe (z_n+1-z_n).

donc par définition, on a: M_nM_n+1=|z_n+1-z_n|

Or d'après la question 1), que fvaut z_n+1 en fonction de z_n? Puis que vaut z_n en fonction de n?

Ensuite, il ne reste plus qu'à calculer le module qu'on cherche.

Est-ce plus clair ainsi?

Bon courage!

Oui c'est plus clair merci =)