Fonction exponentielle

Bonjour, voila une des parties qui l'année dernière ma posé de gros problèmes




f(x)=2e^-x-x²+2x

1) lim en +l'inf et -l'inf

forme indéterminée donc la premier problème pour le terme prépondérant on prend x² ou l'exp

Bonsoir,

En effet, on ne sait pas souvent quoi faire dans ce genre de situation. La première choseà faire c'est de regarder où est l'indétermination. En effet, savoir quels termes exactements produisent l'indétermination de la limite.

Alors regardons pour la limite lors que x tend vers +infini. Nous avons une addition de termes et nous savons que la limite d'une addition normalement c'estl 'addition des limites (si toutes les limites sont finies c'est à dire qu'il n'y a pas d'explosion à l'infini ou de formes indéterminées).

Par conséquent, en + l'infini quels sont les limites de chacun des termes? ET nous aviserons justement si nous allons mettre x² en facteur ou l'exponentielle de -x seulement après pour lever l'indétermination.

Bon courage!

lim en +l'infini

pour -x²=-l'infini
pour 2x=+l'infini
por 2e^-x=0

donc +l'infini-l'infini=forme inderterminée

Nous sommes d'accord!

Mais mieux qu'une forme indéterminée, on vient de constater qu'en fait la limite de notre terme en exponentielle tendait vers 0 c'est à dire qu'il n'a aucune contribution dans l'indétermination.

Par conséquent, il faut mettre x² en facteur car c'est lui qui explose à l'infini de façon plus rapide que x.

Est-ce plus clair, ainsi? du coup que vaut la limite de notre fonction en +infini?

Bon courage!

bonsoir

alors f(x)=2e^-x-x²+2x=x²(2e^-x/x²-1+2/x)

donc lim en en +l'infini de x²=+l'infini et pour 2e^-x/x²-1+2/x=-1 donc la limite de f en + l'infini est égal à -l'infini

Bonsoir,

C'est nickel pour moi! Faut juste dire au départ lorsque tu factorises que tu considères que x est différent de 0 sinon, la division par x ce n'estp as terrible terrible. Mais ça ne nous gêne pas vu qu'on prend une limite à l'infini, il suffit juste de le dire tout simplement .

Alors maintenant en -l'infini, est-ce que tu vois un moyen de t'en sortir?

Bon courage!

Bonsoir

Concernant la limite en -l'infini

f(x)=2e^-x-x²+2x avec Df=R de plus f existe ssi x différent de 0

f(x) = e^-x*(2-x^2*e^x+2x*e^x)

lim en - l'infini e^-x=+ l'infini
de 2-x^2*e^x+2x*e^=2 d'après le théorème des croissances comparées

donc limite de f en -l'infini= + l'infini

2)f(x)=2e^-x-x²+2x
f est définie est dérivable sur R, ainsi

f'(x)=-2e^-x-2x+2
f''(x)=2e^-x-2

Bonsoir,

Citation :

f(x)=2e^-x-x²+2x avec Df=R de plus f existe ssi x différent de 0

Pourquoi la fonction F n'est pas définie en 0 ??

Sinon, en effet pour la limite en -Inf, il suffit de mettre e^-x en facteur pour atteindre la limite.

Pour la 2) F est définie sur R et même infiniement dérivable sur R (car tu dérives deux fois donc au moins dire qu'elle est deux fois dérivable sur R à ce moment là).
Et tes dérivées sont excellentes!

Rien à redire .

Étude du sens de variation

f''(x)=0
2e^-x -2=0
2e^-x=2
e^-x=1
-x=1
x=-1
x=-ln1

Bonsoir,

Il y a des soucis dans la définition du logarithme népérien à première vue.

En effet, le passage suivant me paraît extrêmement louche:

Citation :

e^-x=1
-x=1

Comment passes-tu del a première égalité à la deuxième?

oups oui c'est
e^-x=1
-x=ln1
x=-ln1
mais après je suis bloqué

Bloquée? Ne pas pouvoir avancer est une chose mais ne pas avoir d'idée en est une autre .

Que cherches-tu à faire exactement? Et ne peux-tu pas simplifier ton résultat pour commencer?

et bien je cherche à voir si f est croissante ou décroissante

et là je doit dire que je ne vois pas trop comment le simplifier

Donc pour cehrcher si F est croissante ou décroissante, il faut donc connaître le signe de la dérivée. Et pour cela, il va falloire connaîtrel e sens de variation de la dérivée car on ne connaît pas ses points d'annulation et c'est ainsi que nous avons calculé la dérivée seconde dont on cherche le signe. Nous en sommes donc à chercher le signe de la dérivée seconde là.

Et on vient de trouver le point d'annulation de notre dérivée seconde, ne pouvons-nous pas connaître sont signe?

Il aurait peut-être fallu résoudre l'inéquation F''(x)>0 par exemple cela aurait été plus lisible qui sait.

Sinon, pour ma deuxième question, quelle est la valeur du logarithme népérien en 1?

Bon courage!

Oui d'accord, donc


f''(x)> 0
x>-ln1
x>0

Donc f' est décroissante sur - l'infini;0 et croissante sur 0;+l'infini
et donc f'(0) = -2e^0 - 0 + 2 = 0 est le maximum de f'(x).

f'(x) < 0 pour tout x app à R* et f(0) = 0 donc f(x) est strictement décroissante sur R.

Attention aux erreurs d'inattention!

En effet, la fonction logarithme népérien est croissante pas de problèmes mais n'aurais-tu pas fait une multiplication pars -1 par hasard?

Je recommence

Étude du sens de variation

f''(x) > 0
2e^-x-2> 0
2e^-x>2
e^-x>1
-x>ln1
-x>0
x<0

Donc f' est croissante sur -l'infini;0 et décroissante sur 0;+l'infini
et donc f'(0) = -2e^0 - 0 + 2 = 0 est le maximum f'(x).

f'(x) < 0 pour tout x app à R* et f(0) = 0. ainsi f(x) est strictement décroissante sur R.

3)Nature de la courbe C'

C' est la courbe représentative de la fonction g(x)=-x²+2x

g(x)=-x²+2x
g'(x)=-2x+2=2(-x+1)

étude du signe de g

g'(x)=0
-2x+2=0
2(-x+1)=0

donc -x+1=0
x=1

tableau de variation

signe de g'(x): positif sur -l'infini;1, s'annule en 1 et négatif sur 1;- l'infini
variation de g: croissant pui décroissant

donc g(x) est une fonction x² d'où une parabole en 1 croissante puis décroissante

Montrons que C' est une parabole asymptote à C en + l'infini

g(x)=-x²+2x
g est une fonction rationnelle
donc limite de g en + l'infini=limite de -x² en + l'infini=-l'infini
Or limite de f en +l'infini=-l'infini
Donc C' est une parabole asymptote à C en + l'infini car elles ont la même limite

Position des courbes C et C':
[b]
f(x)>g(x)
2e^-x-x²+2x>-x²+2x
2e^-x>0 comme la fonction exponentielle est strictement positive et croissante alors C est strictement au dessus de C'

Bonjour,

Les variations de F sont nickel!! (Pour faire des crochet c'est Alt Gr+5 pour écrire tes intervalles ).

Sinon, que veux-tu dire par:

Citation :

donc g(x) est une fonction x² d'où une parabole en 1 croissante puis décroissante

Cela n'a pas vraiment de sens comeem phrase. G(x) est une valeur déjà, donc je pense que tu parles de la fonction g mais ensuite, je ne comprend pas bien ce que tu souhaite conclure à partir du tableau de variation.

En tout cas le tableau de variation est juste, quant à lui.

Pour la suite:

Citation :

g est une fonction rationnelle

Ce n'est pas faux en effet mais ce que tu utilises ce n'est pas le fait qu'elle soit rationnelle cette fonction (oui on peut tujours dire quel e dénominateur est égale à 1 mais quand même un peu de bon sens ). Il s'agit d'une fonction polynôme tout simplement, cela ne sert à rien d'aller chercher plus loin.

Donc la limite est exacte aussi bien pour g(x) et pour f(x). Maisl a conclusion ne l'esst pas par contre:

Citation :

Donc C' est une parabole asymptote à C en + l'infini car elles ont la même limite

Ceci n'est pas la définition d'être asymptote. En effet, pourquoi la fonction x-->-x qui tend bien vers -infini lorsque x tend vers +infini ne serait pas asymptote à C?

Quelle est la définition de "être une courbe asymptote à une autre courbe"? Si je garde G fonction représentant la courbe asymptote et F la courbe C comme notation.

Je te laisse reprendre cela pour l'instant.

Bon courage!

donc alors pour la réponse 3

Le tableau de variation me permet de dire que la courbe C' est une parabole, donc sa nature

Si je garde G fonction représentant la courbe asymptote et F la courbe C comme notation.

Une courbe C' est asymptote à une courbe C si, M étant un point C', M’ un point de C la distance MM’ tend vers 0 quand les points M et M’ s’éloignent vers l’infini.

Nickel pour la 3) c'est tout de meêm mieux, tu ne crois pas . Un peu de rigueur tout de même.

Sinon, la définition est bonnep our l'asymptote et si on prend un cas particulier de cette définition générale pour simplifier les choses comem le fait de prendre M et M' à la même abscisses x (cela évite de faire tendre deux abscisses différent vers l'infini).
De plus, dire que MM' tend vers 0 cela implique que (MM')² tend vers 0 et la réciproque est vraie car MM' est une distance donc positive.

Et maintenant, que vaut (MM')² dans notre situation et il nous restera à montrer que cette expression tend bien vers 0 à l'infini pour conclure.

Est-ce que le raisonnement te paraît clair?

Bon courage!

Alors si je comprend bien je prend par exemple x=0

donc pour f(0)=2
g(o)=0

donc M'(0;2) et M(0;0), c'est comme cela?

Arf, ma phrase était en effet ambiguë à la relecture. Je n'ai pas été malin là.

En fait, dans ton énoncer, tu pouvais avoir M(x,g(x)) et M'(x',f(x')) et faire tendre x et x' vers l'infini. Le soucis étant qu'avec cela, il se complique la vie car faire tendre deux variables en même temps, cela n'est pas commode (déjà qu'avec une seule, ce n'est pas forcément gagné). Donc pour se faire, je pose x=x' c'està dire que je prend la même abscisse pour les deux points mais x reste une variable libre et non fixé à une valeur.

Est-ce plus clair comme ça?

oui, c'est beaucoup plus clair donc je ne donne pas de valeur à x, mais alors après je fait ne voit pas très bien comment faite pour trouver MM'

Nous avons donc M(x,g(x)) et M'(x,f(x)).

Comment calcule-t-on une distance dans un repère orthonormé?