Point fixe (invariant)

Oki, parfait.

Sinon, pour continuer sur les p'tites techniques intéressantes sur les suites, j'avais vu que si la suite (Un) est définie par Un+1 = f(Un) où f est une fonction définie sur un intervalle inclus dans R+, on peut étudier le signe de f(x) - x pour déterminer le sens de variation de la suite.

Hum.

En fait F(x)-x lorsque x=U_n c'est fou tout ce qu'on peut retrouver. Regarde:

F(U_n)-U_n=U_n+1-U_n

Heureusement que l'étude du signe de cela te donne la variation de notre suite .

Mais c'est là qu'on voit l'intérêt de savoir étudier des fonctions!

Pas mal cette petite technique

Mais j'vois pas pourquoi il faut que la fonction soit définie sur R+ car c'est pas sur n que l'on travaille mais sur U_n et si on revient à la définition d'une suite réelle, c'est bien une application définie sur N (ou sur une section finissante de N) à valeurs dans R !!!!


PS : ya aussi cette technique :

Quand U_n+1 = f(U_n) avec f continue :

* f croissante sur un intervalle contenant tous les termes U_n, implique (U_n) monotone croissante si U_initial ≤ U_{initial + 1}, et monotone décroissante si U_initial ≥ U_{initial + 1}

* f décroissante sur un intervalle contenant tous les termes U_n, implique que (U_n) est en "dents de scie".

d'où ça sort tout ça ?

Bonjour,

Je ne comprend pas pourquoi notre fonction devrait avoir une restriction au niveau de l'ensemble de définition. Les suites sont définies en effet de N à valeur dans R. Donc si tu as sous les yeux une fonction définie sur R₊ c'est qu'il faudra préalablement démontrer que U_n est positif pour tout n.


Sinon, pour tes deux propriétés, cela vient encore de la définition par récurrence. En effet, on a U_n+1=F(U_n)

Supposons F croissante:

U_n>U_n+1 => F(U_n)>F(U_n+1) => U_n+1>U_n+2

De même,

U_n<U_n+1 => F(U_n)<F(U_n+1) => U_n+1<U_n+2

On constate donc que pour faire marcher la récurrence dans l'un des deux cas, il ne reste qu'à montrer l'initialisation vu quel e caractère héréditaire est immédiat par croissance.

Ce qui revient donc à montrer que:
Si U₀>U₁ et F croissante alors (U_n) décroissante
Si U₀<U₁ et F croissante alors (U_n) croissante

La démonstration par récurrence est immédiate.


Pour l'autre propriété, il faut connaître ses propriétés sur les fonction composées. En effet, si F est décroissante alors FoF est croissante!
Or FoF(U_n)=U_n+2
Donc la suite des termes pairs de la suite (U_n) est régie par la propriété précédente avec la fonction FoF croissante.

Mais on ne peut pas conclure sur la monotonie de la suite lorsque F est décroissante. Il faut regarder à ce moment là, la suite extraites des termes pairs et celles des termes impairs si on veut trouver des propriétés sur la suite (si les deux ne convergent pas vers la même limite alors la suite ne converge pas, par exemple).

Bonne continuation!

Ouai donc en fait la restriction n'est pas sur la fonction mais sur la suite (en fonction de la fonction)

En fait, si on te donne une restriction sur la fonction, il va falloir montrer que cela est cohérent avec la définition de la suite sinon cela n'aurait pas de sens en soit.

Et je crois que tu t'es gourré dans ton dernier message sur les termes initiaux et la monotonie de la suite : ta inversé pour croissante et décroissante

Bonne remarque!

J'ai corrigé dans le message concerné. En effet, si U₀>U₁ nous auront bien une décroissance de la suite si F est croissante.

Bonne continuation!