Les équivalents (fonctions)

Bonjour,

j'aurais besoin d'un petit éclaircissement: est-il possible de trouver des équivalents "simples" de fonctions contenant des exponentielles ?

Par exemple est-ce qu'on peut trouver un équivalent de (e^x+1 - e)/xs'exprimant sans exponentielle ?

Voilà, j'ai un peu de mal avec les équivalents, donc attends-toi à des questions futures.

Bonne journée.

Bonsoir,

La première question qui se pose lorsqu'on parle d'équivalent et ceci est primordiale (au pire pose toi toujours la question avant même de commencer à réfléchir sur le sujet): "Nous cherchons un équivalent en quoi".

Pour prendre des termes pompeux mais assez indissociable des mathématiques, la notion d'équivalent est une notion locale. C'est à dire que nous travaillons sur des voisinages de point (on parle aussi de voisinage à l'infini mais bon, on ne va pas faire de théorie là-dessus pour l'instant essayons juste d'être pragmatique sur le sujet pour éviter les écueils plus tard).

Pourquoi, je joue le chieur sur le sujet? Car la notion d'équivalent est une notion avant tout désignant en fait une limite. Et en conséquent, il ne te viendrait même pas à l'idée de parler de limite sans parler de "limite de quoi" lorsque "la variable tend vers quoi".

Alors, le "limite de quoi", le plus souvent, il n'y a aucun soucis majeur là-dessus vu qu'il est très facile de dire "machin est équivalent à truc". Mais le soucis réside dans la rigueur sur la deuxième partie "la variable tend vers quoi". En effet, il faudrait dire ou écrire "Machin est équivalent à Truc en a" ce qui est une abréviation de:

La limite de Machin/truc tend vers 1 lorsque x tend vers a

Maintenant qu'est-ce que cela dit concrètement? Et bien, on constate que lorsque x tend vers a, Machin et Truc se comporte sensiblement de la même manière. Ce qui nous permet donc une meilleur étude locale des courbes (tangente, asymptote, ...) mais toujours de façon locale.

Au vu de ton exemple, vu que les termes qui explosent sont -∞, 0, 4 et +∞ et qu'en -∞, 0 et 4 il n'y a pas de soucis avec le numérateur qui a une limite fini, j'imagine qu'on cherche un équivalent en +∞. A ce moment là, il faut réfléchir 30seconde sur le sujet.

Lorsque x tend vers l'infini, l'exponentielle tend aussi vers l'infini. Et dans l'échelle des fonction, le comportement de l'exponentielle est unique. Il n'y a donc que lui-même qui est capable de se représenter à l'infini. En conséquence, la seule fonction qui permet d'égaler l'exponentielle à l'infini c'est elle-même. Et donc son équivalent à l'infini ne peut être qu'elle-même.

On trouve donc comme équivalent à ta fonction à l'infini: e^x+1*G(x) avec G a déterminer en fonction du dénominateur.

Je pense que ce serait une grave erreur de vouloir apprendre des équivalent par coeur pour deux raisons:

- Il y a déjà assez de chose à savoir (définition, théorème, ...)
- Il ne s'agit que de calcul de limite en conséquence, il suffit de les faire ses calculs

Donc ici, si je prend le dénominateur, j'ai U(x)=e^x+1-1=e^x+1*[1 - 1/e^x+1]. En conclusion, j'ai U(x)/e^x+1=1 - 1/e^x+1

Or Lim_x-->+∞1 - 1/e^x+1=1

Donc U(x) est équivalent à e^x+1 en +∞


Est-ce que tout ceci te semble plus abordable maintenant? Le truc chiant c'est qu'il faut être rigoureux pour le coup et bien avoir en temps (et se l'ancrer à coup de barre à mine) qu'un équivalent, c'est du locale et ce n'est qu'une limite tout simplement.

Bon courage!

Oui pardon j'ai oublié de précisé en 0. Sinon la limite est pas une forme indéterminée et c'est pas drôle. =D

EDIT: OUUUUPS toutes mes excuses je n'ai pas mis le bon exemple.^^ J'édite le premier message.

Alors ça change tout en effet mais c'est plus simple sans doute.

En effet, pourquoi cherches-tu un équivalent alors que la limite est fini ? Si j'appelle ta fonction F, on a:

F(x)=[e^1+x - e¹]/[(x+1)-1]

Que vaut sa limite en 0?

Bon courage!

Ah oui je l'avais pas vu ça.

La limite est donc e ?

La limite est en effet la dériver de la fonction x|--> e^1+x évaluée en 0 c'est à dire e.

Mais revenons à nos moutons. Quel est donc l'équivalent de cette fonction en 0 d'après ce qu'on vient de trouver??

(il faut répondre en 2s maximum pour le coup en tout cas lorsqu'on a bien assimilé ce qu'était un équivalent c'est à peut près le temps qu'il te faudra pour ce genre d'exemple).

Bon courage!

e + o(1) en 0 ?^^

Je suis pas très sur de moi pour les équivalents. En fait les applications directes ou il s'agissait de trouver des équivalents d'expression avec du ln du cos des puissances etc j'arrivais en général assez bien, suffisait d'être rigoureux.

Mais au dernier DS je me suis rendus compte que j'avais pas pigé ce qu'était vraiment un équivalent. Il fallait faire le lien entre limite et équivalent et j'y suis pas arrivé. Je te montrerai certaines des questions cette après midi.

Bonsoir,

C'est pour cela que j'ai insisté fortement dans mon premier message en te disant qu'un équivalent en un point n'est autre que la limite du quotient des deux quantité en ce point. Et s'il y a équivalence, la limite vaut 1 tout simplement.

En conséquence, ce que tu proposes comme équivalent ne peut pas être juste. En effet, que signifie o(1) ?

Bon courage!

Ah euh oui pardon. o(1) c'est une fonction qui tend vers 0 nan ?

Ca sera équivalent à e dans ce cas ? Puisque lim(f(x)) en 0 c'est e, lim(f(x)/e)=1 en 0 ? Donc f(x) ~ e ?

Bonjour!

C'est nickel ça !!! En effet, le petit o est encore un moen abrégé d'écrire des limites, donc un équivalent ne s'écrit pas en fonction de petit o vu qu'on prend déjà une limite .

Je pense que ça commence à rentrer .

Bon courage!

Yep je crois aussi. Je comprends mieux les questions que je n'avais pas réussi dans le dernier DS.

Merci.