[PCSI] problème avec équivalents

Citation :

On se place Dans R² muni de sa distance euclidienne: d(A,B) = √((b1-a1)² + (b2-a2)²) où A(a1,b1) et B(b1,b2) sont deux points de R².

On appelle T_n le graphe de la fonction x -> cos(x)ⁿ et on note d(O,T_n) la distance à l'origine O(0,0) à Tn, càd

d(O,T_n)= inf(MЄT_n) d(O,M)

Dans toute la suite on note d_n=d(0,T_n)². On souhaite déterminer un équivalent de la suite (d_n) lorsque n tend vers +∞.

1.a) On note dans toute la suite g_n: x -> x² + cos(x)²ⁿ. Montrer que d_n = inf(xЄR) g_n(x)

On justifiera soigneusement que cette borne inférieure existe.

1.b) Soient n Є N* et α>0. Montrer que:

g_n(1/n^α) = 1/n^2α + exp(-1/n^2α-1 + o(1/n^2α-1))

1.c) En comparant g_n(1/n^α) et d_n puis en choisissant astucieusement α, montrer que la suite (d_n) converge vers 0.

2.a) Montrer que : d_n= inf (xЄ[0,π/2]) g_n(x)

2.b) Montrer qu'il existe x_n Є [0,π/2] tel que d_n = gn(x_n). Montrer par encadrement que la suite (x_n) tend vers 0.

2.c) Montrer que pour n assez grand, x_n Є ]0,π/2[.

2.d) En déduire que pour n assez grand, on a:

cos(x_n)²ⁿ = (x_n/sin(x_n))*(cos(x_n)/n)

3.a) Montrer que cos(x_n)²ⁿ ~ 1/n lorsque n tend vers l'infini.

3.b) Soit (u_n) et (v_n) deux suites à valeurs dans R₊* telles que u_n ~ v_n. On suppose que (v_n) converge vers 0. Montrer que ln(u_n) ~ ln(v_n)

3.c) En déduire que x_n ~ √(ln(n)/n)

3.d) Déterminer un équivalent de la suite (d_n)

J'ai un problème, je ne comprends déjà pas l'énoncé. En effet, que signifie d(O,T_n)= inf(MЄT_n) d(O,M) ?

EDIT: j'suis con. xD C'est ça d'être réveillé à 7h30 par le facteur alors qu'on s'est couché à 4h du mat'. =D
Je vais essayer d'avancer dans le problème, mais de toute façon il arrivera sans doute un moment où je serai coincé.

Bonsoir et bonne année!

Cela signifie qu'on considère l'infimum entre tous les points M appartenant à la courbe T_n pour un n fixé et l'origine O. C'est en fait la définition usuelle d'une distance d'un point à une courbe d'ailleurs.

En effet, intuitivement, si je te demande la distance entre un point et un droite tu vas tracer la perpendiculaire à la droite passant par le point puis mesurer la distance entre le point d'intersection et le point qu'on considère. C'est intuitif car c'est la plus courte c'est à dire un infimum entre tous les points d'une droite et le point hors de la droite.

Et bien cette définition intuitive pour la distance entre une droite et un point hors del a droite s'étend pour la distance entre une courbe et une droite. Par contre, comme il est précisé, il va falloir préciser l'existence d'un tel infimum dans la première question.

Bon courage!

(J'ai écrit la suite et la fin de l'énoncé)

1)a) g_n(x) est une somme de carrés, donc g_n(x) positif ou nul.
g_n(x) minorée par 0 et g_n(0)=1 Є {g_n(x),xЄR}. Donc la borne inférieure de l'ensemble existe.

De plus d(O,M)²=x²+cos(x)²ⁿ = g_n(x). (à partir de là je ne sais pas trop si ce que je fais en italique est rigoureux).

Comme d(O,T_n) = inf d(O,M), d_n = d(O,T_n)² = inf d(O,M)² = inf g_n(x).


1.b) On écrit cos(1/n^α)²ⁿ sous forme exp: exp(2n*ln(cos(1/n^α)))

Comme 1/n^α tend vers 0 quand n tend vers +∞, cos(1/n^α) tend vers 1 et on peut écrire que ln(cos(1/n^α)) ~ cos(1/n^α) - 1 ~ - 1/2n^2α

Et à partir de là je ne comprends pas comment ils arrivent à -1/n^2α-1. J'ai fait une faute quelque part ?


1.c) Je ne comprends pas en quoi ça dépend de α ici (ils demandent de choisir astucieusement α).

On a 0 ≤ d_n = inf (g_n(x)) ≤ g_n(x)

Et dans l'expression de 1b, quand on fait tendre n vers l'infini, g_n(1/n^α) tend vers 0. Donc par encadrement (d_n) tend vers 0. Non ?


2. Non réussi pour l'instant.


3.a) on utilise l'expression de la 2d. Et comme on montre dans la 2b que (x_n) converge vers 0, on trouve un équivalent de cette expression.

Je n'ai pas encore vraiment réfléchi à la suite. Et faut que j'arrive à boucler cet exo ainsi qu'un autre que je posterai dans l'après midi avant ce soir.

Bonjour,

Pour la première question, il faudrait bien mettre en évidence que tu calcules l'image d'un terme pour montrer que l'ensemble est non vide. Ainsi, tu n'auras pas besoin de dire qu'une partie de R non vide et minoré admet une borne inférieure vu que cela sera bien explicite.

Pour la deuxième partie de la question par contre,i l y a un soucis car tu prends des inf d'ensemble avant d'avoir écrit l'égalité entre les ensembles.

En effet, on commence d'abord par dire que d(O,M)²=g_n pour ensuite passer à l'inf puis conclure par définition l'égalité recherchée. C'est une question de logique ici car on n'écrit rarement l'égalité entre des inf et de même pour les inégalités d'ailleurs (et je dirai même qu'il faut^être encore plus rigoureux pour les inégalités).

Pour la question suivante, le raisonnement est bien là, il faut passer sous forme exponentielle mais après, tout réside dans le fait de trouver des développement limité à l'ordre 1. En effet, on ne compose pas les équivalents, je le rappelle même si dans notre cas particulier cela peut marche en effet.

D'une manière générale, pour ce genre de question où l'on voit qu'il s'agit d'un développement limité à l'ordre 1/n^2α-1. Il faut commencer par regarder, l'ordre dont on aura besoin lorsqu'on va effectuer des développements limités.

Ici, on constate qu'on va tout multiplier par 2n, il nous faudra donc une précision à l'ordre 1/2n^2α vu que 2n*[1/2n^2α]=1/n^2α-1. Par conséquent, nous allons devoir trouver une développement limite à l'ordre 1/2n^2α de Ln[Cos(1/n^α)]. On voit que la puissance actuelle de 1/n est déjà α. Par conséquent, il nous faudra juste à un coefficient multiplicatif près avoir un développement limiter à l'ordre 2 de notre cosinus. Par conséquent, on commence d'abord par regarder le développement limité à l'ordre 2 de Cos(1/n^α).
Quel est-il?
L'avantage d'un développement limite c'est qu'on peut directement composer sans se soucier des convergences alors que pour les équivalents on ne peut pas faire ça.
Je te laisse reprendre le raisonnement.

Pour la 1)c), tu as un petit soucis dans ta démarche. En effet, ton encadrement est en fonction de x et non en fonction de 1/n^α. Donc il y a une petite justification ici à avoir pour avoir l'encadrement voulu et avec les bon quantificateurs d'ailleurs (pour pouvoir choisir le alpha par la suite!!).
Enfin, pour la deuxième partie, il y a un soucis dans ta limite par exemple prend α=1/4, tu verra que la limite est +∞ et non 0.

Nous verrons la suite lorsque nous y seront ça sera plus simples.

Bon courage!

Citation :

Pour la première question, il faudrait bien mettre en évidence que tu calcules l'image d'un terme pour montrer que l'ensemble est non vide. Ainsi, tu n'auras pas besoin de dire qu'une partie de R non vide et minoré admet une borne inférieure vu que cela sera bien explicite.

Je n'ai pas compris.

Pour la question avec les développements limités: je ne sais pas ce que veut dire par exemple "regarder le développement limité à l'ordre 2 de Cos(1/nα)". Plus généralement, le développement limité à l'ordre n, ça veut dire quoi ?

Pour la 1c, je n'ai toujours pas compris.^^ Dans ma réponse j'ai sans doute fait une faute de copier/coller. Mon encadrement devait être 0 ≤ d_n = inf (g_n(x)) ≤ g_n(1/n^α). Et même s'il y avait du x à l'intérieur, le x est fixé non ? Je ne comprends pas très bien.

Et comment vois-tu qu'avec α=1/4 la limite est +∞ ?

Bref, je suis encore dans le flou.^^ Mais faut vraiment que je comprenne toutes ces histoires d'équivalents et de développement limité.

Alors alors allons-y doucement.

Pour la première question, il faut mettre ne évidence clairement que tu utilises la théorème suivant: "Une partie non vie de R qui est minoré admet une borne inf". Ici, tu calcules g_n(0) mais on ne sait pas pourquoi écrit comme tu l'as écrit. Je chipote mais bon, la rigueur lors des concours c'est ce que fera la différence de toute façon.

On parle de développement limite à l'ordre n lorsqu'on a une précision avec un petit o en puissance n. C'est à dire pour prendre un exemple simple:

x=x+o(1) est un développement limite de la fonction identité en 0 à l'ordre 0. Pourquoi?

x=x+o(x⁰) en 0.

Ce que tu utilise pour le logarithme népérien par exemple: Ln(1+h)=h+o(h¹) est un développement limité en 0 à l'ordre 1.

Pour le cosinus que tu utilises en 0, nous avons: Cos(h)=1+0(h⁰) qui est un développement limité en 0 à l'ordre 0. Mais nous pouvons aussi écrire:

Cos(h)=1+o(h¹) car il n'y a pas de terme en h dans le développement limité de Cos(h) en 0.

En effet, comme tu l'as écrit: Cos(h)-1~-(1/2)*h² c'est à dire si je l'écris avec des petit "o", Cos(h)-1=-(1/2)*h² + o(h²)
Ce qui s'écrit encore: Cos(h)=1-(1/2)*h² + o(h²) qui est un développement limité en 0 à l'ordre 2 de x|-->Cos(x) (et c'est aussi un développement limité à l'ordre 3 vu que le terme d'ordre 3 est nulle d'ailleurs mais l'ordre 2 nous suffit pour conclure ici).

Est-ce plus clair ainsi?

Pour la question 1)c), que vaut la limite de l'exponentielle lorsque alpha est égale à 1/4 en détaillant les calculs du préférence (surtout si tu retrouves 0 )??

Bon courage!

Citation :

Pour la première question, il faut mettre ne évidence clairement que tu utilises la théorème suivant: "Une partie non vie de R qui est minoré admet une borne inf". Ici, tu calcules gn(0) mais on ne sait pas pourquoi écrit comme tu l'as écrit. Je chipote mais bon, la rigueur lors des concours c'est ce que fera la différence de toute façon.

Ah oui d'accord, il faut que je cite le théorème ? Si c'est ça, je l'aurais fait en rédigeant ma copie au propre, t'inquiète pas. Mais t'as raison, vaut mieux mettre les choses au clair !

Et d'accord pour les développements limités, c'est tout de suite beaucoup plus clair.^^ En fait plus l'ordre est élevé, plus l'équivalent est "précis" non ? Enfin plus il rendra compte du comportement de la fonction au point donné ?

Je vais aller réfléchir à ça autre part que sur l'ordi (vu ma capacité au travail, l'ordinateur est un boss que je n'ai pas encore vaincu, si on considère que ma mise au travail est un jeu^^). Je reviens dans quelques dizaines de minutes (je réfléchissais sur un petit exo où il faut montrer qu'une fonction admet un point fixe, une fois que j'aurai bien assimilé les équivalents, je t'en ferai part)

En fait, un équivalent nous donne le premier ordre d'un développement limité de la fonction considérer. Il s'agit souvent de l'ordre 1 d'ailleurs sauf si la limite tombe juste et à ce moment là c'est de l'rodre 0 ou qu'on considère une fonction plus compliquée (pour augmenter la précision) et à ce moment là l'ordre sera sans doute plus élevé.

Sinon, en effet plus l'ordre est élever et plus la précision est bonne. D'ailleurs à la place de précision autant appeler un chat un chat et dire qu'il s'agit d'une approximation de la fonction. En effet, un développement limite n'est autre qu'une approximation de la fonction. L'approximation la plus connu étant l'approximation linéaire c'està dire l'approximation par la tangente au point tout simplement (elle correspond souvent à l'équivalent d'ailleurs).

Bon courage!

Ca me soule, on doit pas parler du même truc xD.

Avec alpha = 1/4 je trouve g_n(1/n^α) = 1/√n + exp(-√n + o(√n)) qui tend vers 0 ?

Et encore une question sur les développements limités: je croyais avoir compris, mais je te lis : "d'un développement limité à l'ordre 1/n^2α-1". Et ça je comprends pas.^^

Et aussi, comment on fait pour trouver les développements limités des différents ordre ? Par exemple le DL à l'ordre 2 de 1 - cos(h) en 0 c'est un truc que j'ai appris par coeur. De même que ln(1+h) à l'ordre 1 etc.

Alors en effet autant pour moi! J'ai mal lu.

On a "-1/n^2α-1" dans l'exponentielle et non pas n^2α-1.

Par conséquent, teste avec α=1, tu vas voir que tu ne peux pas utiliser le théorème d'encadrement avec cette valeur là car la limite n'est pas 0 mais n'est pas l'infini non plus d'ailleurs.

Sinon, pour ton autre question, j'ai fait un abus de vocabulaire en effet. C'est à la précision 1/n^2α-1 qu'il faut dire ou sinon "un développement limité en 0 à l'ordre 2α-1 en 1/n". Désolé pour la faute de rigueur pour le coup.

Comment les retrouver? En calculant des équivalents. En effet, l'équivalent de Ln(1+h) est h donc on peut avoir un développement limité en 0 à l'ordre 1 de h|-->Ln(1+h).

Tu verras sans doute par la suite que pour une fonction qui est infiniment dérivable, on peut lui associer un développement limité à tout ordre en fonction de ses dérivées par exemple. Et c'est ainsi qu'on fait pour expliciter le développement limite en 0 de Cos(h) par exemple. Mais pour l'instant, utiliser seulement les équivalents nous suffit vu qu'on cherche une précision plutôt faible.

Est-ce que c'est plus clair ou je suis toujours aussi alambiqué?

Bon courage!

C'est bien plus clair. xD Merci !

Donc pour en revenir à l'exercice... La question 1.c) il faut choisir α entre 0 et 1/2 c'est bien ça ? Pour la suite, là encore je doute de ma rigueur.

Donc pour tout α Є ]0;1/2[, (g_n(1/n^α)) converge vers 0.
Et pour tout xЄR et n≤N*, 0 ≤ d_n ≤ g_n(x).

Or (1/n^α)ЄR. Par encadrement, on en déduit que (d_n) converge vers 0.

Je ne sais pas comment très bien rédiger, si il faut parler de caractérisation séquentielle ou quoi...

PS: je suis prêt à rester jusqu'à tard, mais faut que j'ai fini et compris cet exo ce soir.

Tu as tout écrit mais tu as du mal à interpréter les choses, j'ai l'impression.

En effet, on a: pour tout xЄR et n≤N*, 0 ≤ d_n ≤ g_n(x).

Vu que c'est vrai pour tout réel x, on peut donc choisir des réels comme on le souhaite. Et on pose donc de façon brute que l'expression est vrai pour tout entier n et pour tout 0<alpha<1/2, on a: 0 ≤ d_n ≤ g_n(1/n^α).

Et là la conclusion est nickel en prenant α=1/4 tout simplement (vu que c'est vrai pour tout α donc on choisi celui qu'on veut!!)! Comme on dit souvent, tout ce qui est clair dans la tête, doit pouvoir s'écrire de façon aussi clair.

Est-ce que justement c'est plus fluide ainsi? Il faut vraimetn expliciter les chose de façon concrète.

Par contre, comment rédiges-tu la question précédente maintenant?

Bon courage!

Ouais j'suis bête, suffit de prendre un alpha qui marche...^^

Pour la 1.b) on écrit les développements limités au fur et à mesure cos(1/n^α)²ⁿ = exp(2n*ln(cos(1/n^α))) = exp(2n*(-1/2n^2α + o(1/2n^2α))) = résultat

Comme on a démontré toutes les propriétés de calcul sur les "o" en cours, je pense qu'il suffit d'écrire les égalités.

J'avais réfléchi à la question 2) ce matin, mais je n'arrive toujours pas la 2a. J'ai essayé de tirer des renseignements de la dérivée de g_n(x) mais je n'ai pas abouti.

Pour la 2b) si j'ai bien compris il faut montrer que pour x=x_n, la borne inférieure est en fait un minimum. Et je n'ai pas compris comment montrer que (x_n) tend vers 0. On sait que (g_n(x_n)) tend vers 0, mais ensuite ?

On avait déjà fait un exercice sur les suites implicites, mais de ce que je me souviens on avait utilisé des théorèmes comme le théorème de la bijection, du TVI etc (pour montrer l'existence du truc).

Pour la question précédente, il faut commencer par prendre des développement à l'ordre 2 du cosinus puis ensuite le faire avec le logarithme et non l'inverse que tu avais proposé avec tes équivalents. Car on commence le plus souvent par ce qu'il y a de plus intérieur à l'expression lorsqu'on traite des développement avec des ordres précis justement pour adapter l'ordre du dernier à ce qu'on souhaite avoir justement.

Pour la question 2)a), on peut déjà constater une inégalité trivial entre les deux inf qu'on calcule (l'un sur R et l'autre sur [0;π/2]). Bon ça permet de marquer quelque chose au pire si tu es bloqué.

Sinon, on peut bien sûr mieux faire, on essaynat d'analyser la fonction. Que peut-on dire de la parité de g_n? Du coup que peut-on en déduire de l'inf sur R et de l'inf sur R₊? Faire une étude de fonction pour montrer que la limitation à [0;π/2] ne change pas la valeur de l'inf de notre fonction.

Bon courage!

Ok je comprends.

Et pour la 2a), j'avais déjà remarqué la parité de g_n, mais je ne vois pas quoi en tirer à part qu'il suffit de chercher x sur R+ (j'ai une dérivée compliquée -ou alors je me suis trompé- et je n'arrive pas à étudier son signe: en fait il faudrait que je montre que g_n change de monotonie entre 0 et pi/2, non?).

Et je ne comprends pas ce que tu veux dire par "une inégalité trivial entre les deux inf qu'on calcule (l'un sur R et l'autre sur [0;π/2])" ?

[0;π/2] est inclus dans R.

Par conséquent, l'inf sur [0;π/2] est supérieur à l'inf sur R (on peut prendre plus de valeur sur R que dans [0;π/2]).

Seul le signe de la dérivée nous intéresse de toute façon. Qu'as-tu comme dérivée même si elle te paraît compliquée peut-être que sur R₊ son signe est constant.

Bon courage!

Ah oui d'accord. Oui c'est logique.

Ensuite comme dérivée (la dérivée en soit n'est pas très compliquée en fait) j'ai: 2x - 2n*sin(x)*cos(x)^2n-1.

Elle s'annule pour x = 0 mais ça ne nous intéresse pas. Je ne vois pas comment voir le signe ici. J'ai essayé de dériver une seconde fois mais c'est là qu'elle devient compliquée.

Elle s'anulle poru tous les multiples de Pi/2 en fait. Car pour k pair, p*Pi annule le sinus et si k impaire, c'est le cosinus qui s'annule.

Il y a donc changement de variation pour tous les k*Pi/2 et seulement pour ses valeurs là d'ailleurs. Il nous reste donc à calculer la valeur de la fonction en ses points particulier vu que de toute façon c'est de signe constante sur tout intervalle modulo Pi/2 sauf erreur. Je te laisse ocnstater que la réduction à l'intervalle peut donc se faire sans soucis.

Bon courage!

Oui mais il y a un terme en 2x dans la dérivée... Celui-là ne s'annule que pour 0...

EDIT: bon laisse tomber je peux pas passez 24h sur cet exo, faut que je voie autre chose.

Ha oui en effet, je l'avais oublié celui-là!

bon je chercherai mais là je ne vois plus l'astuce de calcul.

Pour la question suivante, la fontion est continue sur un compact [0;Pi/2] pour tout n, donc l'inf est atteint pour toutes les valeurs de n. Donc pour chaque valeur de n, il existe bien x_n dans [0;Pi/2] vérifiant g_n(x_n)=d_n.

On conclut pour la deuxième partie grâce à la question 1)c) vu que d_n tend vers 0 et vu que g est continue on obtient donc que: g(Lim_n->∞x_n)=0
Or par unicité de la limite pour quelle valeur de x a-t-on g(x)=0 ??

Conclure!

Bon c'était cadeau car là j'avoue avoir du mal et du coup, on a perdu du temps mais bon on s'y habitue pas .

Est-ce plus clair car là j'ai détaillé du coup donc si quelque chose n'est pas claire n'hésite pas surtout.

Je te laisse continuer la suite.

Bon courage!

Cool merci. Demain après midi je rejoins des camarades de classe, on va mettre nos recherches en commun et voir ce qu'on trouve. Donc je te poserai sans doute des questions demain soir.

Là je m'attelle à un autre exercice qui est assez différent de celui-ci.

Bon aller on s'avoue pas vaincu si facilement.

Je dérive une nouvelle fois pour le fun: On avait: pour x positif et n>0, G'_n(x)=2x-2n*Sin(x)*Cos^2n-1(x)

Donc pour x positif et n>1, G''_n(x)=2 + 2n*(2n-1)*Sin²(x)*Cos^2n-2(x) - 2n*Cos(x)*Cos^2n-1(x)

Or Si²(x)=1-Cos²(x)

Donc pour tout x positif et n>1, on a: G''_n(x)= 2 + 2n*(2n-1)*Cos^2n-2(x) - 2n*(2n-1)*Cos²ⁿ(x)- 2n*Cos²ⁿ(x)

En conclusion, on a: pour tout x positif et n>1, G''_n(x)= 2 + 2n*(2n-1)*Cos^2n-2(x) - 2n*(2n)*Cos²ⁿ(x)

Or -1≤Cos(x)≤1 et n>1, donc que pouvons nous dire de Cos²ⁿ(x) et Cos^2n-2(x)?
Conclure sur le signe de G''_n(x).
En déduire le signe de G'(x).
Conclure sur le sens de variation de G (assez prévisible d'ailleurs vu que x-->x² est strictement positif sur R₊ et qu'on lui ajoute quelque chose de positif mais bon on ne peut pas le justifier comme cela).

Voilà ce qui concluera cette question. La restriction est donc bonne pour [0;Pi/2] qui est un coix judicieux pour avoir un sinus positif par la suite.

Bon courage!

Je n'arrive toujours pas à trouver le signe de G''_n(x)... J'ai cherché mais mes idées me paraissent vraiment trop tirées par les cheveux.

On peut dire que 0<cos(x)²ⁿ<cos(x)^2n-2<1 mais ensuite ? Les coefficients devant les cos ne nous arrangent pas...

Bonsoir,

Ca marche pour l'inégalité. Et en effet, ça passe pas à cause du "-" (je n'étais vraiment plus très bien réveillé hier).

En plus ce qu'on essaie de montrer est faux. Enfin la piste que je te donnais est fausse. Carl a fonction G oscille en croissant autour du graph de la parabole (c'est ce que nous dit son expression). Mais globalement on la voit croissante mais elle oscille tout le temps autour de cet axe. Donc cherche la monotonie de cette fonction est quasi peine perdu tout compte fait.

Bon changeons d'idée mais j'avoue qu'on n'a même pas besoin de cela pour continuer en fait il suffit d'avoir un compact et le compact on y a accès de façon plus simple. En effet, lim_x->+∞G_n(x)=+∞ et lim_x->-∞G_n(x)=+∞.

Par conséquent, il existe un réel A>0, tel que G_n admet un inf sur [-A;A]. La fonction étant paire, G_n admet donc un inf sur [0;A].

J'avoue que je sèche pour avoir mieux. Pour la question suivante ça suffisait d'avoir celà en tout cas vu qu'un simple compact permet de conclure à l'inxistence d'un min pour toutes les valeurs de n.

Et on peut donc continuer ainsi.

Alors pour en revenir à l'exercice, la réponse de la 2a était plutôt (très) simple.^^

En fait, on a g_n(x)>pi²/4=g_n(pi/2) si |x|>pi/2. D'où le résultat puisque g_n est paire.