Pbm de trapèze

Bonsoir, tout d'abord tous mes voeux pour l'année qui commence.
Désolée si je ne poste pas exactement là où il faudrait mais je n'ai pas trouvé de rubrique adéquate

Je prépare le crpe et je bloque sur une question de démonstration en géométrie. Pouvez vous m'aider un peu ? Merci par avance.

Je vous donne l'énoncé.

On considère un trapèze isocèle ABCD dont la petite base [AB] mesure la moitié de la grande base [CD] et dont la hauteur mesure 9 c m. On pose AB =x cm

On nomme I le point d'intersection des droites (AC) et (BD). On nomme J le 4ème sommet du parallélogramme AIBJ. On appelle (d) la médiatrice du segment [CD].

1) construire la figure à la règle graduée et au compas en prenant x = 4cm.
2) On se place dans le cas général où AB = xcm
a) Montrer que A et B sont symétriques par rapport à (d)
b) En déduire que I est un point de (d) puis que le quadrilatère AIBJ est un losange.
c) Soit H le milieu de [AB] et P le milieu de [DC], démontrer que IP = 2 IH.

3) Déterminer la valeur de x pour avoir AIBJ carré. Dans ce cas, calculer le rapport des aires de AIBJ et ABCD.

Voilà pour l'énoncé.
J'ai tracé la figure.J'ai démontré que A et B étaient symétriques par rapport à (d) en utilisant la définition du trapèze pour les 2 bases parallèles,
- la définition de la médiatrice pour le fait qu'elle coupe le segment [CD] en son milieu et perpendiculairement
- la propriété qui dit que si 2 droites sont parallèles toute perpendiculaire à l'un e est perpendiculaire à l'autre
- et enfin la propriété du trapèze isocèle qui vérifie que les 2 bases ont la même médiatrice et que celle ci est l'axe de symétrie.

Le problème est le suivant : je ne vois pas comment démontrer que I est un point de (d).

Pouvez vous m'aider à y voir plus clair ?

Je vous en remercie d'avance.

Bonsoir et bienvenue parmi nous!
Je vous transmet aussi tout mes voeux de bonheur pour cette nouvelle année qui commence.

Il va falloir que je créer une autre rubrique sans doute mais bon, pour l'instant, on va essayer de voir comment se sortir de cette exercice .

Est-ce qu'on considère comme acquis justement que la médiatrice d'une des bases est un axe de symétrie? Car si c'est le cas, il n'y a plus rien à montrer dans la première question j'ai l'impression. Où justement la question est là pour nous faire redémontrer cette propriété?

Au vue de la question suivante, nous n'avons pas le droit à cet acquis. En effet, nous allons utiliser le fait que (d) soit une médiatrice à la fois de la première et de la deuxième base pour conclure qu'il s'agit d'un axe de symétrie pour le trapèze lui-même. Et à partir de là, la question 2) est un "en déduire".
En effet, admettons qu'on ait montré que (d) était un axe de symétrie pour le trapèze, que pouvons-nous dire de l'image de la diagonale [AC] par cette symétrie d'axe (d)? Conclure sur l'appartenant de I à l'axe de symétrie.

Rappel: tout point d'un axe de symétrie est fixe par cette symétrie.

Est-ce que ma réticence sur la démonstration du 1) est claire au vu de ce qu'on cherche à montrer dans le 2)? Pour moi, nous n'avons pas le droit d'utiliser le fait que (d) est un axe de symétrie.

Le seul accès dont nous disposons est la définition d'un trapèze isocèle c'est à dire que les deux côtés non parallèles sont égaux mais nous n'avons accès à rien d'autre, j'ai l'impression.

Est-ce que la démarche de l'exercice s'avère plus clair?

Je te laisse reprendre la première question du coup.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas clair!

Donc j'ai bien compris que je ne peux pas utiliser d'emblée la propriété de la médiatrice du trapèze isocèle.

Donc je dois donc en rester au fait que la médiatrice du trapèze isocèle coupant les 2 bases en leur milieu, A est forcément le symétrique de B par rapport à (d) et donc que (d) est l'axe de symétrie du trapèze.

pour le b) puis je dire que l'image [AC] est égale à l'image de [BD] par rapport à l'axe de symétrie (d) ?

Vu que I est le point d'intersection des 2 diagonales [AC] et [BD], il est forcément symétrique à lui meme donc il appartient à la (d) axe de symétrie

Bonsoir,

Pour la b) ça découle tout seul en effet. Totu ceci étant dû à la propriété de symétrie.

Cependant, pour la première quastion, je reste toujours ceptique surl e fait de pouvoir utiliser le fait que les médiatrices des deux côtés parallèles sont confondues dans un trapèze isocèle. Car en supposant cela, la première question devient quasiment sans intérêt.
Car tu dis juste que le trapèze est isocèle donc c'est bon. Cela m'étonne beaucoup vu que la définition d'un trapèze isocèle c'esst juste dire que les^côté non parallèles sont égaux. Mais peut-être que ce que tu dis suffit après tout mais bon cela me paraît bizarre tout de même.

sinon, la deuxième partie de la question b), as-tu des idées? Nous venons donc de montrer que I était sur (d), que savons-nous de J du coup? Et que pouvons-nous conclure?

Bon courage!

je reviens sur que tu dis au sujet du trapèze :

en fait je m'appuie sur 2 notions :

la définition du trapèze qui dit que c'est un quadrilatère qui a 2 cotés parallèles et donc que lorsque d'une droite est perpendiculaire à l'une, elle est forcément perpendiculaire à l'autre

la définition du trapèze isocèle qui a 2 cotés égaux.

Pour la 2ème partie de la question b) soit : en déduire que AIBJ est un losange, j'ai écrit :

on sait par énoncé que AIBJ est parallélogramme
on sait par b) que I appartient à (d)
on sait que (d) est médiatrice et axe de symétrie de [AB]
on sait que I est équidistant de A et B

vu que AIBJ est parallélogramme donc [IB] = [AJ] et [JB] = [BI]

si (d) axe de symétrie de [AB] alors réciproquement [AB] axe de symétrie de (d)
donc J image de I par rapport à [AB]

=> [AJ] = [JB] = [BI] = [AI]

On rappelle que (d) et [AB] sont perpendiculaires

vu que AIBJ est parallélogramme
que 2 cotés consécutifs de ce parallélogramme sont égaux
que (d) est perpendiculaire à [AB]

on peut donc en déduire que AIBJ est un losange.

Est ce que ce genre de démonstration convient ?

En fait c'est cette propriété là qui me gêne, c'est ça:

Citation :

et donc que lorsque d'une droite est perpendiculaire à l'une, elle est forcément perpendiculaire à l'autre

Pour moi c'est exactement ce qu'on souhaite démontrer dans cette première question. Donc on ne pourrait pas le prendre comme un acquis mais plutôt comme une démonstration à faire. Sinon, la première question est sans objet mis à part de vérifier la connaissance de cette propriété à la rigueur ce qui serait bizarre pour une première question mais bon pourquoi pas après tout .

Pour la deuxième partie, nous avons déjà montrer dans le 2)a) que (d) était l'axe de symétrie de [AB] et par conséquent, la partie sur la réciproque n'est pas utile.
CE que tu avais commencer à dire te suffit pour conclure. En effet, tu dis donc que I est sur la médiatrice de [AB], par conséquent, IB=IA (attention pas de crochet pour les distance, les crochet servent seulement pour les segments, d'ailleurs en passant pour les droites ce sont des parenthèses aussi).
Vu que AIBJ est un parallélogramme par construction, on a en effet:

AI=IB=BJ=AJ

C'est à dire que BJ=AJ en particulier. Qu'en déduit-on sur l'emplacement du pont J?

De plus, AIBJ étant un parallélogramme on sait que [IJ] et [AB] se coupent en leur milieux (caractérisation des parallélogramme apr leurs diagonales).

Du coup, on conclut directement par la caractérisation des losange via leur diagonale et la longueur de leur côté.

Est-ce que la démarche paraît claire? Le soucis pour ce que tu disais réside dans ce que tu appelais "réciproquement" car il 'n'y a pas de réciproque mais une continuité d'une part mais en plus, la symétrie dans l'autre sens ne nous sert pas à posteriori comme tu le constate.
La difficulté est de suivre le raisonnement directement proposé par l'exercice lui-même. C'est à dire qu'on (d) qui est médiatrice de [AB] et on a déduit que I était sur la droite (d). Par conséquent, si on montre que J est aussi sur la droite (d) c'est quasiment fini vu que AIBJ est un parallélogramme et la difficulté réside là dedans en fait.

Bon courage pour la suite et n'hésite pas si quelque chose n'est pas clair surtout!

Blagu'cuicui a écrit:

AI=IB=BJ=AJ

C'est à dire que BJ=AJ en particulier. Qu'en déduit-on sur l'emplacement du pont J?

On peut donc en déduire que J est sur (d).

Le souci avec mes démonstrations c 'est que j'ai peur d'oublier une définition ou une propriété alors j'ai souvent tendance à mettre toutes celles que je connais

Pour ce qui est du c), je l'ai résolu mais là encore ce que j'ai fait j'ai peur de ne pas en avoir le droit.

Je t'explique :

j'ai mis (d) axe de symétrie et médiatrice donc P et H appartiennent à (d).

d'après b) on sait que I et J sont équidistants de A et B donc H milieu de [IJ].

C'est là après où je me pose la question de savoir si j'ai le droit de faire ce qui suit :

Traçons le cercle C de centre I et de rayon IJ.
On note que P appartient à C.

donc IJ = IP

or on sait que H milieu de [IJ]

donc IJ = 2 x IH

=> IP = 2 IH

Je m'arrête là pour ce soir, je dois rejoindre mon lit, on reprend demain pour ta confirmation si tu le veux bien

Pour la b) c'est ok!

Pour la c), tu n'as pas montré que P appartient au cercle. Tu l'as observé. Et c'est là le soucis des mathématiques en quelque sorte. L'observation sur une figure ne sera en aucun cas une preuve mathématique. Par conséquent, que tu observe que P appartient au cercle et que tu dises que cela te permet de conclrue c'est ok. Mais par contre tu as admis de façon délibérée ("on observe sur le dessin que")la propriété cruciale qu'on faut démontrer en fait si tu souhaite utiliser cette démonstration là.

Il y a plus simple je pense. En effet qu'avons nous montré jusqu'à présent qui serait susceptible de nous servir?

Énoncer: (d) médiatrice de [CD]
Donc P partient à (d) par définition d'une médiatrice

d'après 2)a), (d) axe de symétrie de [AB]. Donc (d) médiatrice de [AB]. D'où H appartient à la médiatrice par définition de celle-ci.

D'après 2)b), on a montrer que I est sur (d).

i)Que pouvons-nous déduire pour les point H, I et P du coup?
ii) ABCD est un trapèze dont (AB)//(CD) et AB=(1/2)*CD d'après les hypothèse, que peut-on déduire sur (AH) et (DP)?
iii) De plus, quel lien lie AH et DP ?
iv) Conclure pour la question seulement avec ces donner là.

Il faut éviter le plus possible d'introduire des propriétés qu'on ne peut démontrer sauf si on nous les donnes où si on considère quelles sont acquise dans l'énoncer où la question. En géométrie, tout ce "voit" ce qui est vraie comme ce qui est faux hélas. Donc le dessin aide à avoir des intuition mais ne démontrera rien en soi sauf si la question c'est "déduire du dessin que...".

Est-ce que tu commences à comprendre les soucis de ta démarhce? Et à mieux visualiser (c'est le cas de le dire), la façon de raisonner lorsqu'on est fasseà un problème de géométrie de ce type là?

Je te laisse reprendre celà.

Bon courage!

bonsoir,
Pour trouver IP = 2 x IH, pourquoi ne pas utiliser Thalès dans les triangles AHI et ACI?

Bonsoir,

Le plus dur dans un exercice de géométrie réside dans le fait de trouver la démarche. C'est ce que je m'engage à faire ici bas d'ailleurs en ne donnant justement pas les réponses mais comment trouver une démarche ou un raisonnement à partir d'un énoncer ou de la structure d'un exercice.

Pour cette question, le plus dur était de justifier les hypothèses du théorème de Thalès pour pouvoir l'appliquer en effet. Nous pouvons donc l'utiliser à partir du moment où nous sommes dans les condition d'application. C'est la démarche que je proposais dans mon message précédent. L'application de celui-ci est l'aboutissement du raisonnement et donnera en effet la réponse de façon quasi brute.

Bonne continuation!