DM de Maths de géométrie (trapèze, aire, équations, ...)

Bonjour j'ai un dm pour la rentrée et j'y arrive pas.
J'ai un trapeze rectangle ABCD avec AD=6cm, BC=2cm, AB=12cm et le point M de [AB] tel que AM=x
Je doit exprimer les aires de MAD et MBC en fonction de x et traduire par une equation l'inagalité des aires de ces 2 triangles et resoudre cette equation .
Si c'est possible de me donner un petit coup de pouce
Merci
Cindy

Bonsoir et bienvenue parmi nous Cindy!

Alors la première chose avec un exercice de géométrie c'est de faire un dessin. Car même si on ne prouve rien sur un dessin, cela permet de fixer les idées (et les lieux des points les uns par rapport au autres aussi).
Cela permet aussi, de pouvoir faire plusieurs dessins avec deux valeurs pour AM par exemple voire même trois si on va regarder les choses plus en profondeur.

Le but est de voir bouger le dessin en même temps qu'on fait varier la longueur AM qui est la seule longueur qu'on peut faire varier dans notre dessin.

Bon le soucis c'est que les dessin, c'est bien joli mais ça ne nous permet pas de conclure de façon théorique c'est à dire en utilisant un raisonnement mathématiques. EN effet, le fameux "ça se voit sur le dessin" est obsolète connaissant la difficulté de notre vision à bien percevoir les choses et si à cela j'ajoute la capacité pour nous de faire un dessin juste, on peut arriver à des choses très bizarre .

Alors comment faire concrètement en utilisant les choses qu'on sait?

Déjà la première chose à constater c'est qu'on doit calculer deux aires et deux triangles. La question, immédiate c'est: "Quelle est l'aire d'un triangle?"
Et avant de passer au valeurs de notre énoncer, ne pouvons-nous pas écrire l'aire de MAD par exemple en fonction juste des distances (MA, MD ou AD) et de la formule de l'aire d'un triangle?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

J'ai bien comprit pour la 1ere parti mais j'ai commencer a chercher l'aire des triangle et je trouve 2x12-* = 24-*= 12-* Pour l'aire de MBC et 6*/2 = 3* pour l'aire du triangle MAD ! Et je pence que sa ne vas pas mais j'ai beau le refaire plusieur fois je trouve pareil et je voit pas ou est mon erreur
Merci, Cindy

Alors j'imagine que les * sont les x pour toi, non?

En fait pour clarifier les choses, ici je note les multiplication * c'est à dire 2*3=6 et les inconnu je garde la notion habituelle c'est à dire x, y, .. Ainsi plus de problème de compréhension je pense.

Alors pour l'aire de MAD, il s'agit bien de AD*AM/2 (base fois hauteur divisé par deux sachant que le triangle est rectangle en A). Ce qui nous donne bien:
A_MAD=6*x/2

Maintenant pour l'aire du triangle BMC, il s'agit aussi d'un triangle rectangle en B, quant à lui. Nous avons donc en fonction des mesure: A_MBC=CB*MB/2 (j'utilse toujours le fait que l'aire d'une triangle rectangle c'est la multiplication des côtés de l'angle droit divisé par deux).

Maintenant, pourrais-tu me dire que vaut MB? Et peut-être conclure après tout pour cette exercice .

Bon courage et n'hésite pas à demander des précisions si tu ne comprends pas ce que j'ai marqué.

J'ai trés bien compris vos explications mais on ne connait pas la valeur MA , MA=x . Donc si je fais CB*MB/2 ca revient a 2* 12-x /2 Car BA=12 et MA=x . Mais j'arrive pas a calculer 2*12-x/2 et a trouver ce que vaut MB !
Merci beaucoup pour votre aide

Tiens ça c'est étonant par contre!
En effet, tu remplace MB par 12-x et tu mets à la ligne d'après que tu ne connais pas la valeur de MB.

Attention au français en fait, la notion de valeur est assez trompeuse et je pense que c'est peut-être cela ton soucis. EN effet, x est une valeur en soi car il symbolise une valeur numérique qui elle est inconnue dans le sens où on ne l'a pas écrit noir sur blanc comme le fait que AB=12cms par exemple. Par contre, x est bien une valeur mathématique. Donc lorsqu'on te demande la valeur de AM c'est x cm(s) et lorsqu'on te demande la valeur de BM c'est une valeur qui dépend de x car le point M dépend de x tout simplement.

J'ai l'impression que je ne suis pas assez clair... Essayons un autre exemple.

Si je prend AM=2cms, là tu es capable de faire tour les calculs normalement et de me dire que MB=12-2=10cms. Mais t'es aussi capable de me faire les calculs si je te donne AM=5.6cms. En gros, à chaque fois, je peux te donner une valeur numérique de AM et tu sauras à n'en pas douter faire les calculs et conclure.

Maintenant, je dis qu'à priori je ne connais pas la valeur numérique de la distance AM mais je sais que M est sur le segment [AB] et par conséquent que la distance AM est comprise entre 0cms et 12cms (= distance AB). Donc en fait je n'écris pas la valeur numérique de AM mais je dis simplement que je vais lui donner un nom qui sera sa valeur numérique. J'appelle donc cette distance x=AM mais x représente une valeur numérique en soi.

J'espère être clair mais si ça ne l'ai pas dis-le moi, j'essaierai de trouver un autre exemple pour bien comprendre le chose et ce qu'est réellement x ici.

Donc ici, je te demandais indépendemment de notre problème d'aire d'exprimer la distance MB en fonction de la valeur x.

Bon courage!

D'accord ! . Donc l'aire de MBC c'est 2* (12-x ) / 2
Je pence avoir compris cette 1ere etape . Mais ce que je ne comprend pas c'est que cette operation on ne peut pas la calculer donc il faut que je la laisse tel quel sur ma feuille c'est sa ? C'est comme 6x/2 , Ca se calcul pas donc je laisse comme sa enfaite .
Merci

En fait mathématiquement parlant ça se calcule tout de même .

En effet, pour la première, j'effecute la multipliction de 2 par la soustraction de 12 et de x, le tout étant divisé par 2. J'effectue donc un calcul qui a une valeur naturel: 2*(12-x)/2. Ce qui est un soucis c'est que cette valeur en soit n'est pas numérique dans le sens où ça n'est pas égale à un nombre écrit ainsi.
Mais par contre, pour chaque valeur de x, j'ai une aire qui est bien en m² et il n'y a pas de problème là-dessus.

Doncp our résumer, ce que tu disais "ça ne se calcul pas" c'est plutôt, "ça n'a pas de valeur numérique autre que de garder l'inconnue x dans l'expression" et là réponse ici est oui .

Ce que tu peux faire en plus c'est simplifier au maximum les deux expressions de tes deux aires (ce qui te permettra de faire les calculs plus simplement par la suite). Simplifier une expression revient à dire rendre une fractino irréductible avec les données qu'on a sous la main ou encore réduire notre expression au maximum ou au contraire la factoriser au maximum. Le but étant de simplifierl 'écriture de nos expression pour que cela devienne plus agréable à manipuler en quelque sorte.

J'espère que ceci est plus clair maintenant et ne te posera plus de problème par la suite.

Bon courage pour la suite de ton exercice!

Bonjour ,
je vous ai fais un copier coller de mon cour de maths
Plan de resolution:

1) Choix de linconnu
2) Mise en équation
3) Résolution de l'équation
4) Conclusion


Ou doit on placer le poin M afin que la somme des quadrilatere AMIJ et IHCK soit égal a la moitié de l aire de ABCD ?

J'appel x la longueur AM

Aire (AMIJ)+aire(IHCK)=aire(ABCD)sur 2

aire(AMIJ)= AM X AM = x carré

aire (IHCK) = IH X HC =(8-x)(10-x)

xcarré+(8x-x)(10-x)=40
On a obtenu une équation du probleme

Mais je ne comprend pas pourquoi c'est egale a 40 ..
Donc moi ca reviendrais a :
aire de (MBC) + aire (MAD)= aire (ABCD)/2
aire (MBC)= 2*(12-x) /2
aire (MAD)= 6x/2
2*(12-x) + 6x/2 = ?

Je pence avoir trouver j'ai fais:
MBC= 2(12-x)/2= 12x
MAD=6x/2=3x
Mise en equation :
12-x=3x
-x=3x-12
-x-3x=-12
-4x=-12
-4x=-12/-4
x=3
Dite moi que c'est bon svp

Je pense ne pas avoir toutes les données du problème :S.

En effet, sommes nous toujours avec le trapèze rectangle du haut? Si oui, où sont situé les points I et J sur lesquels je n'ai aucune information pour ma part . Si non, quelles sont les nouvelles mesures ou le nouvel énoncer que nous avons.

Je n'ai pas encore fait l'option "devin" dans mes études pour me permettre de connaître tous les énoncers à l'avance .

Merci pour les précisions!

C'est un trapeze rectzngle ABCD avec AD=6cm , BC=2cm, AB=12cm et le point M de [AB] tel que AM=x

La 1ere question c'etait faire une figure en vraie grandeur , la je n'ai pas eu de probleme

La 2eme question c'etait exprimer les aires de MAD et MBC en fonction de x et la 3 eme queston c'etait traduire par une equation l'egalité des aires de ces deux triangles et resoudre cette equation , c'est ce que je vous ai mis dans le message precedent

Alors que venait faire ceci:

Citation :

Ou doit on placer le poin M afin que la somme des quadrilatere AMIJ et IHCK soit égal a la moitié de l aire de ABCD ?

J'appel x la longueur AM

Aire (AMIJ)+aire(IHCK)=aire(ABCD)sur 2

aire(AMIJ)= AM X AM = x carré

aire (IHCK) = IH X HC =(8-x)(10-x)

xcarré+(8x-x)(10-x)=40
On a obtenu une équation du probleme

Mais je ne comprend pas pourquoi c'est egale a 40 ..

???

Sinon, pour l'égalité des aire c'est exactement ce que tu avais marqué en effet:

Citation :

Je pence avoir trouver j'ai fais:
MBC= 2(12-x)/2= 12-x
MAD=6x/2=3x
Mise en equation :
12-x=3x
-x=3x-12
-x-3x=-12
-4x=-12
-4x/-4=-12/-4
x=3

Il n'y a rien à redire sur la rédaction (j'ai juste corrigé la division par -4 qu'il manquait du côté gauche de l'équation à l'avant dernière ligne) sauf qu'au lieu de mettre "mise en équation", tu peux simplement mettre:

Chercher l'emplacement du point M sur le segment [AB] pour que l'aide de AMD et BCM soient égales revient à résoudre l'équation en x suivante:

A_MBC=A_AMD <=> 12-x=3x d'après la question 1)

Bon courage pour la suite!

Je suis contente de moi pour ces 3 premiere questions

On me demande si il existe une valeur de x pour laquelle les trois triangle MAD, MBC et CMD ont la meme aire et on me precise qu'il n'y a rien a calculer c'est simplement de la logique mais je ne comprend pas

Merci pour votre aide !

Alors maintenant, il faut sortir de l'esprit, j'applique les formules pour trouver quelque chose et essayons de regarder concrètement ce qu'on a fait.

On vient en fait de trouver que pour AM=3cms, on avait l'égalité entre les aires des triangles AMD et BMC.

Donc pour avoir l'égalité d'aire entre ses deux triangles, il faut nécessairement que AM=3cms. Maintenant, on souhaite savoir si ces deux aires là sont égale à l'aire de CMD.

En gros, on est en train de dire qu'on a découpé notre trapèze rectangle en trois triangle d'être égale. Est-ce possible?

Que vaut l'aire de notre trapèze rectangle?

Donc, il faut que je calcul l'aire de CMD ???
Je comprend pas trés bien
Comment je fais pour calculer l'aire du trapéze ?

Très bonne question ça . On ne va pas pouvoir calculer l'aire du dernier triangle car on ne connaît pas une hauteur de celui-ci.

Par contre, on constate que notre trapèze est exactement découpé en trois triangle. Par conséquent, l'aire du trapèze est égale à l'addition de l'aire des trois triangles.

Est-ce que jusque là, c'est clair?

Mais la question reste posée! Comment calculer l'aire d'un trapèze rectangle? Aucune idée?

Oui jusque la c'est clair
La formule je crois que c'est la demi somme des bases fois la heuteur
Mais a vrai dire je ne comprend pas tellement cette formule

Alors la formule est bonne mais apprendre une formule sans la comprendre n\'a aucun intérêt (mis à part se planter lorsqu\'il y aura trop de formule à connaître ).

Ca revien a faire :
1/2 (b * B) *h
1/2 ( 2cm*6cm) * 12cm
1/2 ( 12cm) * 12cm
6cm * 12 cm
72 cm ²

C'est sa je pence !

Mais il me sert a quoi ce 72 cm²?

Donc si l'aire du triangle c'est 72cm²
Ca veut dire que si on fais 72cm²/2 les triangles MAD, MBC et CMD seront egales
Donc la valeur de x que je cherche est x=24cm²
Car 72cm²/3

J'espere que je me trompe pas

Alors essayons de comprendre la formule pour avoir la bonne à utiliser au moins :



Alors essayons de comprendre les choses. H est le pied de la hauteur issue de A et H' est le pied de la hauteur issue de B. On a donc (AH) et (BH') perpendiculaire à (CD).
Or deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre-elles. (j'admets la démonstration de cette propriété)
Par conséquent, (AH)//(BH')

De plus, (AB)//(DC). Donc la distance entre ses deux droites est constante ce qui nous donne AH=BH' (plutôt logique que la hauteur ne varie pas ).

Enfin, HЄ(CD) et H\'Є(CD) et (CD)//(AB). Donc (HH')//(AB)
Vu que H est le projeté de A sur (CD) et H' le projeté de B sur (CD), on a donc [HH'] qui est le projeté de [AB] sur (CD) (jadmets la démonstration de cette propriété). Donc HH'=AB

En conclusion, on a:
AH=BH' et (AH)//(BH')
AB=HH' et (AB)//(HH')

Donc ABH'H est un parallèlogramme
Or (AH)⊥(CD) et HЄ(CD) et H'Є(CD). Donc (AH)⊥(H'H)
Donc ABH'H est un rectangle !!!! (Tout ça pour ça mais bon au moins on connaît la nature de notre quadrilatère maintenant ).

De plus, AHD est un triangle rectangle en H (car (AH)⊥(CH)) et- BH'C est un triangle rectangle en H' (car (BH)⊥(DH'))

Maintenant passons à l\'aire de notre trapèze ABCD:

A_ABCD= A_AHD + A_ABH'H + A_BH'C

J'ai donc découpé l'aire de mon trapèze en l'addition de trois aires que je sais calculer!!! En effet:

i)A_AHD= AH*DH/2
ii)A_ABH'H= AB*AH
iii)A_BH'C= BH'*H'C/2

Maintenant, il faut faire les calculs alors allons-y:

i) On sait que AH=h
De plus DC=DH+HH'+H\'C
Donc DH=DC-HH'-H'C
Or HH\'=AB=b (car ABHH' est un rectangle) et CD=B
Donc DH=B-b-H'C
Et H'C je ne connais pas donc je le laisse

Conclusion: A_AHD= h*(B-b-H'C)/2
En mettant à part le terme qu'on connaît pas cela donne: A_AHD= h*(B-b)/2 - h*H'C/2

ii)
AB=b et AH=h
Donc A_ABH'H= b*h

iii)
BH'=AH=h (car ABHH' est un rectangle)
Et je laisse H'C car je l'ai laissé dans un autre calcul d'aire, donc cela ne me gêne pas.
Ce qui nous donne: A_BH'C= h*H'C/2


Et maintenant, on additionne tout le monde ce qui nous donne:

A_ABCD= [h*(B-b)/2 - h*H'C/2 ] + b*h + h*H'C/2

On constate que -h*H'C/2+h*H'C/2=0 nickel, il n'y a plus d'inconnue dans mon expression!
De plus, h*(B-b)/2= h*B/2 - h*b/2 et -h*b/2+h*b= [2*b*h - b*h]/2= h*b/2

Ce qui nous donne au final si je refactorise par h:

A_ABCD= [h*(B+b)]/2 !!!!!!

Magnifique, non? .

J'ai compris la formule
Maintenant es-ce que le calcul que j'ai fais sur le message precedent est correct ?
La question étée :
Existe t-il une valeur de x pour lasquelles les 3 triangles MAD, MBC et CMD ont la meme aire ?
Donc je doit diviser l'aire du trapeze par 3 ce qui fais 24 cm² non?

Ofaite je tien a presciser , Je suis blonde lol

J'ai bien peur que l'aire ne soit pas égale à 78 si tu as bien compris la formule .

Je te laisse reprendre ton calculs mais l'idée n'est pas mauvaise en soi en effet! Par contre, on ne met pas d'unité dans les calculs (à la fin du calcul si tu veux mais pas pendant ça ne veut pas dire grand chose sinon ).

Bon courage!

Alors je reprend
1/2 ( B*b) * h
1/2 ( 6*2 ) * h
1/2 ( 12 ) * 12
6 * 12
72 cm²

Donc 72 / 3 = 24

Donc la valeur de x que l'on cherche est x=24 ???