Calcul de l'aire; barycentres...

Bonjour,
J'ai quelques difficultés a démarrrer sur cet exercice en maths.
La leçon porte sur les barycentres, j'ai bien une solution (partielle) aux question a et b mais cela n'utilise pas les barycentres.

Voila l'énoncé:

On a vu que les médianes d'un triangle sont concourantes en l'isobarycentre des trois sommets. Ce probléme a pour objectif de démontrer le concours des bissectrices intérieures et des hauteurs d'un triangle.
On pose A' pied de la hauteur issue de A, A1 pied de la bissectrice intérieures de l'angle BAC et a=BC, b=AC, c= AB

a) Donner deux expressions de l'aire du triangle AA1B
b) Donner deux expressions de l'aire du triangle AA1C
c) En déduire l'égalité A1B/A1C=c/b

Pour la a, j'avais pensé a calculer l'aire d'un triangle rectangle comme ceci:
(AA'*A'B)/2-(AA'*A'A1)/2

En procédant pareil pour la question b, on obtient:
(AA'*A'C)/2+(AA'*A'A1)/2

Mais il me manque la seconde expression demandée, et comme celle-ci ne met pas en scéne les barycentres, je doute qu'elle m'éclaire pour la suite...
Je donne la question c mais j'espére ne pas avoir besoin d'aide pour y répondre un fois que je saurais commenht proceder pour la a et b...

Bonsoir,

Désoler pour le léger contre temps.

En fait pour cette exercice, il n'y a pas du tout besoin de calculer des barycentres. En effet, il ne s'agit que de calcul d'air tout simplement.

Et nous allons même essayer de faire très simple pour calculer ces deux aires c'est àdire qu'on va essayer tout bêtement d'appliquer le cours qui est (base*hauteur)/2

Essayons dans le premier triangle c'est à dire AA₁B. Commetn calculer son aire de deux manières différentes?

Et bien, il nous faudrait trouver une base avec sa hauteur pour faire le premier calcul puis une autre base avec son hauteur pour effecteur le deuxième calcul.

Est-ce qu'à partir de là, tu as des idées?

Bon courage!

Bonjour,
Je pense avoir trouvé!
L'aire a de AA1B est soit égale a AB*d/2 ou a BA1*A'A/2
Celle de AA1C est égale a CA1*A'A/2 mais elle est aussi égale a AC*d/2 car, comme le rappelle l'énoncé, Tout point de AA1 est équidistant des droites AB et AC

Pour la question c, pas trop de problémes:
A1B/A1C -> (A1B*A'A/2)/(A1C*A'A/2) -> (AB*d/2)/(AC*d/2) -> AB/AC -> c/b
L'égalitée est verifiée...

Par cotnre, j'ai des problemes pour la question suivante:
Démontrer que A1 est la barycentre de (B;b) et (C;c).

J'ai tenté quelque chose avec la formule du barycentre (bA1B+cA1C=0)mais je ne vois pas comment démontrer cette affirmation....

Bonjour,

La première question est exacte! Et la deuxième aussi de part la propriété des points d'une bissectrice:

"Tous les points de la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés formant l'angle"

Donc la hauteur issue de A₁ dans le triangle A₁AC mesure bien d.

Par contrep ourl a conclusion sur l'équalité des longueurs:

Citation :

A1B/A1C -> (A1B*A'A/2)/(A1C*A'A/2) -> (AB*d/2)/(AC*d/2) -> AB/AC -> c/b

Que signifie les flèche??? Car mathématiquement parlant cette suite de flèche n'a pas trop de sens. A des moment, il y a des équalité et à d'autre il s'agit d'équivalence ou d'implication tout dépend. Je te laisse revoir la rédaction de ceci.

Maintenant, pour la question suivante (et donc le lien avec les barycentre), tu rappelles donc ce qu'il faut montrer:

bA₁B+cA₁C=0 (les vecteurs sont en gras sur le forum)

Qu'on peut aussi écrire ainsi:

bA₁B=-cA₁C

Et sous cette forme la question change de forme, non? En effet, elle devient:

"A quelles condition deux vecteurs sont égaux?" ou "Comment montrer que deux vecteurs sont égaux?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si cela n'est pas clair!

Pour les flèches, c'est simplement pour exprimer l'ordre de ma démarche.
Pour respecter la notation du prof, il faudrait mettre (=) car l'égalité n'est pas affirmée, on la déduit avec des calculs...
Dans ce cas en tous cas je pense que la démarche est bonne.

Pour la suite, avec la seconde formule:

Citation :

bA1B=-cA1C

J'ai tenté de remplacer les deux vecteurs grâce a la relation de chasles par d'autres vecteurs de façon a simplifier mais en pratique je n'ai strictement aucune idée sur quoi je dois arriver!
Deux vecteurs sont égaux si ils on la même direction, le même sens (pour ça c'est le cas) et la même norme (alors la sa se complique....)
J'avais pensé a la calculer puis a simplifier (relation de chasles ainsi que les infos de l'énoncé AB=c e AC=b) mais je ne tombe sur rien de concluant.
Totalement fausse piste ou alors je rate quelque chose?

Bonsoir,

Je retrouve un rythme de croisière, désolé pour les léger contre temps des derniers jours, j'avais du mal à tout gérer en même temps.

Bon revenons à notre sujet. La rédactino avec flèche (->) est bonne au brouillon pour te montrer à la rigueur dans quel sens tu réfléchis mais pour une rédaction écrite l'égalité s'impose en effet et il faudrait en plus la scinder en plusieurs partie pour mettre en évidence quand tu utilises les deux premières questions.

Sinon, pour l'égalité de deux vecteurs, il faut en effet:

- même direction
- même norme
- même sens

Pour la direction c'est régler car les trois point sont alignés (encore faut-il l'écrire ). Pour le sens il s'agit d'une simple lecture del a figure (même si normalement il y a une façon de démontrer que A₁ est bien entre les deux autres points).

Et reste donc la norme mais là, ce qu'il ne faut surtout pas oublié c'est que nous avons fait une question précédente . Alors du coup, l'égalité des longeurs ne vient-elle pas toute seule?

Bon courage!

Donc pour la norme:
bA1B=cCA1
Je remplace A1B par c puis A1C par b grâce a l'égalité A1B/A1C=c/b
Comme il s'agit de norme, l'ordre des vecteurs (A1C ou CA1, n'a aucune importance)
J'obtiens donc b*c=c*b
La multiplication est commutative, l'égalité est donc vérifiée, quel que sois b ou c.
Cela me parait ok non?
Je vais tenter cet aprem' de m'en sortir pour la suite...

Au fait, ne vous en faites pas pour votre "retard", c'est normal de ne pas passer son temps sur internet, il y a des choses plus importantes parfois

Bonjour,

On ne peut pas faire comme tu l'as fait en fait. Petit contre exemple:

25/10=5/2

Donc si je pose A1B=25 et A1C=10, c=5 et b=2,
J'ai bien A1B/A1C=5/2

Mais je n'ai pas A1B=c comme tu le constates. L'égalité de rapport ne nous donne pas les valeurs des longueurs mais seulement le fait que le rapport de longueur est égale à c/b.

Mais, nous n'avons pas besoin de cela. Nous souhaitons, montrer que b*A1B=c*A1C (il n'y a pas de vecteur ici vu qu'il s'agit de norme et il n'y a pas de "-" car on ne considère pas d'orientation pour les longueurs ici).

Mais n'avons-nous exactement cela d'après le rapport des longueurs?

Bon courage, la réponse est quasi écrite en fait mais il faut juste en avoir conscience qu'on ne demande pas plus!

Désolé mais le je ne vois vraiment pas du tout comment procéder...
D'un coté j'ai b*A1B=c*A1C et de l'autre A1B/A1C=c/b
Je suis censé faire quoi la?

Bonsoir,

Ce qu'il y a à gauche c'est ce que tu cherches à montrer: b*A1B=c*A1C (il faut faire attention que ceci est bien ce qu'on cherche et non ce qu'on a en notre possession).

Et ce qu'il y a à droite c'est ce que tu as d'après la question précédente: A1B/A1C=c/b

Le but est donc de savoir comment on passe de ce qu'on a à ce qu'on cherche.

Est-ce plus clair ainsi?

On a déjà la direction égale et le sens pour l'égalité des deux vecteurs et on cherche à montrer l'égalité des distances àpartir de ce qu'on connaît. Il n'y a quasiment rien à faire mais il faut juste l'écrire en fait.

Bon courage!

Haa ok, je vois,

Je part donc de ce que j'ai: A1B/A1C=c/b
Multiplie des deux coté par b, j'obtiens
A1B/A1C*b=c
Je fais pareil avec A1C:
A1B*b=A1C*c
Je retrouve ce que je cherche, tout va bien...

Correct?

Bonjour,

C'est tout à fait exact! Et ainsi, tu as donc l'égalité des normes.

Sachant que tu avais déjà l'alignement des trois points par construction, l'égalité vectoriel devrait suivre très rapidement .

Bon courage pour la suite!

Re-bonjour,

J'ai quelques difficultés pour une des questions suivantes:
On pose I comme etant le barycentre de (A,a) (B,b) et (C,c)
On m'a demandé de prouver que I appartient bien a la droite AA1.
Grâce a l'associativité des barycentres, c'est chose faite.

Maintenant il faut démontrer que les bissectrices du triangle ABC sont concourantes en I, le centre du cercle inscrit au triangle ABC.

J'avais pensé a répéter la même opération que dans les exercices précédents, c'est a dire imaginer la bissectrice de l'angle B, puis en déduire que B1A/B1C=c/a.
Ensuite en déduire que B1 est le barycentre de (A,a) et (C,c) et enfin a partir de la, montrer que I appartient a la droite B1B.
Pour finir, vu que I est sur les droites A1A et B1B, I est situé a l'intersection de ces 2 droites...
Les bissectrices se coupant toujours en un même point, le calcul de la 3éme bissectrice est inutile...

Et normalement on a bien démontré que les bissectrices sont concourantes en I, le barycentre et le centre du cercle inscrit au triangle...

C'est méthode est elle correcte ou y a t'il un meilleur procédé?

Bonsoir,

La méthode n'est pas correcte... elle est excellente !!! C'est en effet le procédé le plus simple aplicable ici et la construction de la première partie de la démonstration de donne la trame pour faire de même avec la seconde.

Cependant, il y a un soucis car tu ne conclus pas. En effet, dans ton raisonnement tout à la fin tu supposes que les trois bissectrice sont concourantes en un point. Or c'est exactement ce qu'on souhaite montrer! Donc là, tu as montrer que I était bien sur la deuxième bissectrice mais il reste encore à montrer que I est bien sur la troisième et donc qu'il s'agit bien d'une point de concoure des trois bissectrices.

Est-ce que tu compris le soucis pour la conclusion?

Sinon, je ne sais pas ce qu'attend ton exercice au niveau de la difficulté mais ne doit-on pas démontrer que ce point est justement le centre du cercle inscrit au triangle ou on le considère comme un acquis? Cela n'est pas bien difficile à montrer de par la caractérisation d'es point d'une bissectrice mais j'ai l'impression qu'il faille le faire aussi dans cette question.

Bon courage!