Bonsoir et bienvenue parmi nous Alexia!
J'espère que ce forum te sera utile et que tu aura plaisir à le parcourir.
L'avantage d'un exercice de géométrie c'est bien évidemment de pouvoir s'aider de la figure pour les démonstration (même si on ne prouve rien sur une figure cela peut tout de même donner des idées).
La première question, est juste là pour vérifier si tu connais la définition d'être coplanaire pour 4 points. Et en fait on revient directement à la caractérisation des plans par des droites.
Donc:
- Deux droites parallèles non confondues définissent un plan
- Deux droites sécantes définissent un plan
Et nous avons un autre cas qui permet à 4 points d'être coplanaires c'est d'être aligné tout simplement. Cela ne définit pas un plan mais une droite est toujours continue dans un plan et donc tous les points de la droites sont coplanaires tout simplement.
Ici, on voit vite quelque petites astuces pour s'en sortir et pour savoir vers quoi nous allons nous diriger. En effet, I et J sont définis comme des milieux de segments dans un triangle. On va donc pouvoir utiliser le théorème de la droites de milieux ou la réciproque du théorème de Thalès avec un rapport 1/2 si on veut (le premier est peut-être moins long à rédiger). Et donc déduire du parallélisme.
De plus, E et F sont défini comme barycentre de deux points, il sont donc tous les deux sur deux droites ( (AB) et (AC) respectivement d'ailleurs). ET nous allons donc pouvoir regarder s'il n'y a pas la possibilité d'utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour conclure à du parallélisme.
On constate donc qu'on s'oriente vite vers une étude de parallélisme ce que tu as fait en effet. Sinon, une remarque au niveau de la rédaction car deux choses sont assez gênantes sur le fond.
EN effet, le Théorème de Thalès donne des égalités de rapport, c'est sa réciproque qui donne le parallélisme (c'est fourbe comme remarque mais tout de même fondamentale au niveau de la logique car si je suppose A j'ai B mais dès fois l'inverse est faux donc attention).
Et l'autre remarque c'est au niveau des hypothèses car même si tu ne rédiges pas les choses ici bas, fait attention que la réciproque du théorème tout comme le théorème de Thalès s'applique dans deux triangles (c'est l'hypothèse principale) ou si on veut être plus précis, on explicte les deux droites sécantes en un point.
Ces deux remarques paraissent sans doute anecdotique (du type: "pourquoi, il m'emmerde pour des broutilles"
) mais s'avère fondamentale dans la compréhension même ou l'utilisation des mathématiques. En effet, les hypothèses d'un théorème sont assez triviaux à expliciter c'est vrai mais autant le faire car un jour ou l'autre tu tombera dans un cas compliqué ou justement, toute la difficulté sera de montrer que les deux droites sont bien sécante en un point (surtout dans l'espace). Donc attention à celà.
Enfin, vu que nous sommes dans l'espace et que le théorème de Thalès tout comme sa réciproque ne s'applique que dans un plan (il n'y a pas de théorème de Thalès dans l'espace), le nec plus ultra serait de citer au début de l'énoncer des hypothèse du théorème: "On se place dans le plan ...." et après seulement on énonce le théorème.
C'est aussi anecdotique mais cela montre un plus au niveau de la compréhension qui sera non négligeable à l'avenir (et faut mieux le travailler maintenant, je pense) que ce soit en maths, en physique-chimie ou en biologie ou même en argumentation/dissertation de français/philo, la rigueur qui est acquise le reste pour la suite et c'est vraiment un plus important je pense.
Une remarque annexe et pas obligatoire pour le coup, dans ta conclusion, tu peux réciter la proposition qui te permet de conclure (mais là c'est vraiment pas obligatoire) c'est à dire que deux droites parallèles non confondus définissent un plan.
Pour la question 2)a), la démarche est tout aussi excellente que pour la première question!
Juste une remarque, un plan est défini par trois points non aligné, donc dire que E, I et K appartiennent à (EIF) suffit pas besoin d'inclure le J.
La seule chose qui manque dans ton argumentation c'est pourquoi les deux plan exhibés ne sont pas confondus? En effet, tu as démontré que E, I et K appartenaient aux plans (ABD) et (EIF) donc à l'intersection mais il manque un argument pour dire qu'ils ne sont pas confondus car sinon, appartenir à l'intersection ne nous servirait pas à conclure.
Est-ce que tu comprends le soucis dans la démarche? C'est presque excellent jusqu'au bout sauf qu'il manque vraiment un argument qui est vraiment évident je le conçois tout à fait mais il est tout de même cruciale car sinon on ne peut pas conclure.
De même pour F, J et K dire qu'ils appartiennent à (EFI) suffit car J appartient au plan (EFI) d'après question 1). ET la conclusion, même remarque, ne pas oublier de dire que les deux plans ne sont pas confondus sinon pas de conclusion possible.
Pour ta remarque finale, tu utilises les barycentre dans ta première question pour avoir accès au rapport de longueur. Donc ce n'est pas si déconnant que cela qu'on parle de barycentres tout de même car on utilise tout de même la définition ou la relation réduite pour avoir accès aux longueurs.
Sinon, pour la dernière question c'est à dire la 2)b). Il faut déjà se mettre dans les condition de l'exercice. nous sommes à la fin d'un exercice et donc, il faut avoir utiliser un maximum des hypothèses et questions de l'exercice.
Nous avons déjà utilisé la définition des barycentres pour E et F dans la question 1). Le fait que (IJKL) forme un plan a été utilisé dans la question 2)a). Nous avons utilisé aussi la définition de I et J dans la question 1). Enfin, nous avons utilisé la définition du point K dans la question 2)a).
En conséquence, toutes les données du texte ont été utilisé au moins une fois
sauf les réponses à la question 2)a).
De plus, la question 2) est une question morcelée en deux sous questions. En conclusion, la véritable question était la question 2)b) mais le soucis c'est que de façon brute, elle n'était pas ré-solvable. Du coup, on a jouté une question intermédiaire dans l e but de pouvoir conclure à la question 2)b). Ceci nous conforte donc dans l'idée que les deux résultats démontré dans la question 2)a) sont non négligeable pour faire la question 2)b).
Maintenant qu'on a analysé l'exercice en lui-même essayons de voir ce qu'on cherche à démontrer (on a commencer par faire le bilan des hypothèse puis ensuite le bilan des questions et de la structure du texte et maintenant on passe à la question en elle même pour savoir où on doit aller). On doit donc démontrer que:
AK=(3/5)*
AD (les vecteurs sont en gras sur le forum)
Cette égalité est en fait la définition de K comme un barycentre de A et de D (c'est l'écriture réduite d'un barycentre). Maintenant, les seules relation vectorielle que nous ayant sont les relations sur les barycentre E et F. ET nous avons aussi l'alignement des point E,I,K et F,J,K.
Est-ce que tu vois une idée à l'horizon à partir de là?
Bon courage et surtout n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire dans ce que j'ai dit ou non!
Mar 30 Mar - 15:53
