Barycentres

Bonjour,
j'ai réussi la question 1, mais après je suis bloqué.




Merci de m'aider !
Au revoir !

Bonjour,

Alors pour la question, que signifie la relation vectoriel vérifié par le point G?

Ensuite, il va falloir utiliser le théorème d'associativité du barycentre (je te donne ici un indice pour savoir ce que donne la relation vectoriel pour le point G). Car en associant les point deux par deux, tu vas aboutir au fait que G est milieu d'un segment mais aussi de deux autres segments.

Si tu n'as pas encore vu le théorème d'associativité des barycentre n'hésite pas à me le dire, nous verrons un autre moyen de résoudre cette exercice.

Bon courage!

ça veut dire que G((A;1);(B;1);(C;1);(D;1))
Le seul théorème que j'ai est : A et B deux points du plan ou de l'espace et a et b deux réels données tels que a+b=0
Il existe un point G et un seul telq ue aGA+bGB=0
Le point G s'appelle le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b).

j'en ai un autre avec le barycentre de 2 points A et B sont situés sur la droite (AB) donc GA et GB sont colinéaires, donc G, A, B sont alignés.

Ok donc tu n'as pas encore le théorème qui nous dit que si:

G barycentre de {(A;1);(B;1);(C;1);(D;1)} et I barycentre de {(A;1);(C;1)}

Alors G est le barycentre de {(I;2);(B;1);(D;1)}.


Et bien nous allons faire sans alors, c'est nu théorème que tu vas bientôt voir et qui est très utile comme tu le remarque peut-être sur cette exemple précis. Mais qui dit théorème des moyen de le démontrer et par conséquent moyen d'éviter de l'utiliser tout simplement.

Alors comment allons-nous faire celà?

Essayons déjà de montrer que G est le milieu de [IK]. Que savons-nous?

I est le milieu de [AC] et K est le milieu de [BD].

Et nous avons la relation: GA+GB+GC+GD=0


Nous ne connaissons pas grand chose sur la manipulation des vecteur mis à part la relation de Chasles. ET bien allons-y pour l'utiliser dans l'expression qu'on nous donne.

On a donc à l'esprit qu'il va falloir aboutir à GI+GK=0 ce qui nous dira bien que G est le milieu de [IK]. Pour celà il va donc falloir introduire le point I et le point K grâce à la relation de Chasles.

Dans lesquels des 4 vecteurs vas-tu introduire le point I? Et par conséquent dans les autres vecteurs, il faudras introduire le point K par relation de Chalses.

Bon courage!

GI+IA+GK+KB=0

Citation :

GI+IA+GK+KB=0

C'est presque ça, tu as introduit le point I et le point K là où il fallait. Mais pour avoir l'égalité à 0, il manque 2 autres vecteurs GC et GD sinon nous respectons pas l'égalité vectoriel qui nous est donnée dans l'énoncer.

Du coup, qu'est-ce que celà donne si on ajoute I et K au bonne endroit dans les deux derniers vecteurs et qu'on additionne le tout ?

GI+IA+GK+KB+GI+IC+GK+KD=0
2GI+2GK+IA+KB+IC+KD=0
2GI+2GK-AI+IC-BK+KD=0
2GI+2GK-AC-BD=0

Attention à ne pas aller trop vite.

Avec les vecteurs la seule choses qu'on sais faire avec la relation de Chasles c'est la additionner et non pas les soustraire:

Citation :

2GI+2GK-AI+IC-BK+KD=0
2GI+2GK-AC-BD=0

Donc ici -AI+IC N'est PAS égale à AC. Ce qui est égale à AC c'est AI+IC

Par contre que savons nous de I pour le segment [AC] et qu'en déduit-on pour les vecteurs AI et IC ? De même pour le point K.

IC=AI=1/2AC
IA+IC=I

KB=KD=1/2BD
KB+KD=K
Je ne suis pas sûr
2GI+2GK+IA+KB+IC+KD=0
2GI+2GK+I+K=0

Tu as raison de ne pas être sûr .

Tu n'es toi même pas sûr car mettre des points dans une égalité vectoriel ça choque un peu tout de même. Et en effet, ce n'est pas possible!

Citation :

IC=AI=1/2AC
IA+IC=I

KB=KD=1/2BD
KB+KD=K

Je pense qu'il y a une erreur de recopie pour la première mais prenons la deuxième égalité. Si tu parles des distances, les égalité sont vraie, si tu parles des vecteurs à ce moment là les égalités sont fausses.

En effet, si K est le milieu de [BD], celà signifie que BK=KD! Il faut faire attention au sens de nos vecteurs. Et d'ailleurs lorsqu'on regarde les vecteurs, cela nous donne bien:

BK+KD=BD

Et dans la relation que tu trouves, tu as -BK+KD et sachant que BK=KD, on trouve -BK+KD=0

Est-ce que tu comprends ton erreur et surtout est-ce que tu suis mon raisonnement?

Oui, je comprends mais je ne vois pas comment je peux simplifier KB+KD et IA+IC ?
Et ça bloque l'équation.

A moins que ça fasse -KB + KD=0 ?

C'est tout à fait ça !!!

Nous avons un avantage dans cette exercice! En effet, nous pouvons faire des dessin.

Dessine un segment [BD] et place K au milieu. Que constates-tu pour les vecteurs KB et KD (longueur/direction/sens)?

Tu vas constater que nos deux vecteurs sont de même longueurs (normal c'et un milieu), qu'ils ont la même directions (celle de [BD] vu que K est sur le segment) mais qu'ils sont de sens opposée (et oui K est au milieu donc les deux vecteur partant du même point pour arriver au extrémités du segment sont forcément de sens opposé).

Tu pouvais aussi le retrouver, en disant que K milieu de [BD] c'est aussi dire que K est le barycentre de {(B,1);(D,1)} et donc nous avons la relation KB+KB=0


Fait de même pour le point I et tu vas trouver ce qu'on cherchait.

IA+IC=0
-KB+KD=0
donc

2GI+2GK+IA+KB+IC+KD=0
2GI+2GK=0
GI+GK=0
donc G milieu de IK
OK !!!!!!!

Je vais faire pour IJ maintenant !

GI+IA+GJ+JB+GI+IC+GJ+JD=0
2GI+2GJ+IA+IC+JB+JD=0
GI+GJ=0
donc G milieu de [IJ]

Voilà c'est ça et après tu fera le dernier.

Et pour la suite, tu as fait une question 1), tu vas donc pouvoir déduire que G est aussi le milieu d'un autre segment.

Bon courage!

Il y a un problème ! JB+JD n'est pas égal à 0 !

Mais pour la 1. ils disent de montrer donc j'ai répondu d'après un dessin.
Et G milieu des diagonales [IK], [JL] et [MN] ?

Citation :

Mais pour la 1. ils disent de montrer donc j'ai répondu d'après un dessin.

Un dessin n'est jamais une preuve sauf si on te demande une section d'une figure en trois dimension sans justification. Mais nous reviendrons sur la question 1) après à ce moment là. Finissons déjà la première partie de la question 2).

Citation :

JB+JD n'est pas égal à 0 !

En effet, il y a une erreur dans ton énoncer (décidément aujourd'hui c'était la journée des énoncer faux). En effet, si on réfléchie 2 minutes, on vient de trouver que G était le milieu de [IK]. Donc G n'appartient à la face (ACD). Or le milieu de [IJ] appartient forcément à cette face vu que I et J appartienne à (ACD). Ce n'est donc pas possible.

Ce n'est donc pas montrer que G est le milieu de [IK], [IJ] et [MN]. Le véritable énoncer est:

Montrer que G est le barycentre de [IK], [LJ] et [MN]

Je te laisse reprendre les calculs avec les bons points cette fois-ci.

Pour la 3, j'ai trouvé ça:
On a alors GA+GB+GB+GC=0
Donc GA+3GA’=0 (A’ est le barycentre de (B,1)(C,1)(D,1))
donc G est sur (AA’), mais à quel niveau ?

Citation :

Donc GA+3GA’=0 (A’ est le barycentre de (B,1)(C,1)(D,1))
donc G est sur (AA’), mais à quel niveau ?

Bonne déduction! Mais l'égalité nous dit aussi que G barycentre de {(A,1);(A',3)}, Donc d'après la relation fondamentale du barycentre, on a AG = ?

Sinon, un autre moyen de le retrouver par le calcul c'est d'introduire le point A par la relation de Chasle .

J'ai trouvé ça, toujours avec la relation de chasles !
3GA'+GA=0
3GA+3AA'+GA=0
4GA=-3AA'
4AG=3AA'
AG=3/4AA'

Celà répond donc à la question 3).

La question 2 est-elle ok? Et pour la 1 veux-tu qu'on la reprenne pour la redémontrer proprement car un dessin ne montre rien hélas (et celà ne vaut pas de point ne devoir hélas).

Avant que nous passions à la questions 4.

Finalement j'ai dit que (MJ)//(BD) et (LN)//(BD) donc (MJ)//(LN) donc MJLN est un parallèlogramme et pareil pour les autres parallèlogrammes.
J'ai utilisé le dessin uniquement pour le point d'intersection. Mais je veux bien, le redémontrer. Surtout que je crois que j'ai compris la 4.

Alors allons-y pour la 1).

Alors pourquoi (MJ)// (BD) et que peux-tu dire de la longueur MJ par rapport à celle de BD?

Rappel:

Citation :

MJNL est un parallélogramme si et seulement si MJ=LN

Donc si on montre que MJ=LN (c'est à dire parallèle et de même mesure) alors on aura le fait que MJNL est un parallélogramme.

Il faut faire la même chose pour les deux autres, donc on va bien faire celui-là et on verra pour les deux autre après.

Bon courage!