Variations de l'aire

Bonjour à tous !

J'ai un DM à faire pour mardi. J'aimerais bien avoir une bonne note;;)histoire de remonter ma moyenne. Une aide me serait donc bénéfique. Merci à vous !
Le voici : ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 4cm et AC = 3cm. M est un point qui décrit le segment [AC]. On construit le rectangle AMNP où N est un point du segment [BC]et P un point du segment [AB]
Avec un logiciel de géométrie, on a placé, dans un repère, des points F d'abscisse x = AM en cm et d'ordonnée, l'aire du triangle AMNP en cm carré.

a) Lorsque x = 0.6, calculer MN puis l'aire du rectangle AMNP.
Merci d'avance de vos réponses !!!

Bonsoir,

Il est encore vrai qu'en 2nd, vous ayez un peu la carotte d'avoir nue bonne note à un DM mais bon jusqu'à mardi prochain on a largement le temps de faire un bon travail sans pour autant pensé à la note mais plutôt à ce qu'on va pouvoir apprendre ou comprendre à partir de cette exercice.

D'après l'énoncer, je suppose que tu as une figure qui a été faite et que tu peux donc visualiser. Même si, les professeurs on tendance à dire qu'il ne faut pas se fier à une figure, rien ne nous empêche de l'annoter pour que celle-ci soit la plus clair et la plus compréhensible possible.

Alors nous savons déjà que notre triangle ABC est rectangle en A. Donc nous savons rien qu'avec celà, que (AC)⊥(AB) et que le théorème de Pythagore peut s'appliquer. Pour le moment, je n'ai pas dit que tout allait servir mais la première chose à faire fasse à un exercice tout neuf c'est de relier tes connaissances à ce que te dit l'énoncer. Cela paraît évident et pourtant, si c'était réellement fait plus systématiquement, certaines réponses tomberaient d'elle-même.

Maintenant qu'est-ce qu'on connaît d'autre?

MЄ[AC] sachant qu'on nous dit que AC=3cms, on en déduit déjà que la valeur de x=AM est comprise entre 0 et 3 c'est à dire xЄ[0;3]. Ici, je n'ai encore rien fait mais j'ai déjà déduit des contraintes pour les valeurs prises par x.

NЄ[CB]. On pourrait calculer CB à l'aide du théorème de Pythagore mais pour le moment cela n'est pas nécessaire v qu'on regarde juste de quoi parle l'exercice.

PЄ[AB] sachant qu'on nous dit que AB=4cms, on en déduit que AP est comprises entre 0 et 4.

AMNP est un rectangle. On en déduit donc que AM=AN et (AM)//(PN) (c'est à dire AM=AN). De plus, MN=AP et (AP)//(MN) (c'est à dire que MN=AP). Enfin, (AM)⊥(MN), (MN)⊥(NP), (NP)⊥(AP) et (AP)⊥(AM)


Pour le moment, tu remarqueras que je n'ai pas encore lu la question qu'on me posait. Le but est de bien comprendre ce qu'on a avant de démarrer un exercice car une fois qu'on a bien en tête de quoi se compose l'exercice, celui-ci paraît déjà beaucoup moins hostile car on connaît déjà quelques propriétés en rapport avec l'exercice.


On peut maintenant faire des suppositions à partir de la figure qu'on a sous les yeux. Par exemple, on aurait bien envie de dire que (MN)//(AB) car ainsi nous serions dans le cadre de l'application du théorème de Thalès et avec un peu de chance on pourrait calculer MN en fonction de x dans un premier temps.

Et puis après, nous pourrions aussi conjecturer (supposer, faire l'hypothèse que) (NP)//(CA) et là encore nous serions dans le cadre de l'application du théorème de Thalès mais les triangles ici ne font pas intervenir MN, donc pour l'instant cela ne nous intéresse pas.

Et après cette petite analyse du tracer de la figure, nous pouvons donc constater qu'il faudrait dans un premier temps montrer que (MN)//(AB) puis après appliquer Thalès dans les triangle correspondant et enfin en déduire la longueur MN en fonction de x.


Est-ce que tu avais fait cette démarche d'analyse de l'énoncer sans lire les questions? Te rends-tu compte de la mine d'information que contient un énoncer d'un exercice géométrique comme celui-ci et aurais-tu été capable d'en déduire quelques choses dans toutes celles que j'ai citées? Ce n'est pas une démarche très évidente car en troisième, on vous habitue à appliquer toujours la même choses avec toujours le même type d'exercice mai ce changement de démarche n'est pas impossible et si difficile que cela je trouve. Dans un sens où, tu connais déjà toutes la base et qu'il suffirait donc de t'entraîner à faire cette démarche sur des exercices déjà corrigé par exemple.

Ceci étant dit, je te laisse donc démarrer ton exercice et n'hésite pas à poser tes questions!

Bon courage!

J'ai résolu d'après Thalès
On a MN/BA=MC/AC et MC=AC-AM, d'où MN = BA * MC /AC donc 4*2.4/3 = environ 3.2 cm .
C'est ca ??????

Le résultat m'a l'air tout à fait juste, en effet!

Mais pour celà, il faut pouvoir appliquer Thalès. Quelles les hypothèses et quel argument utilises-tu pour avoir l'hypothèse de parallèlisme?

MN parralèle à PA car MNPA est un rectangle non ?

Oui c'est la première partie, nous c'est (MN)//(AB) que nous voulons.

Donc il ne faut pas oublier de préciser que P appartient bien au segment [AB] sinon, nous ne savons pas à priori que A,P et B sont alignés.

En tout cas, une fois l'énoncer débroussaillé, tu t'en sors très bien je trouve alors peut-être qu'il faudrait que tu accentues un peu la démarche d'analyse d'un énoncer pour voir ce qui va te servir ou non dans l'exercice.

Bon courage pour la suite en tout cas!

Merci
Mais comment calculer l'aire du rectangle AMNP

Bonjour,

Alors à mon tour de poser des questions . Comment calcule-t-on l'aire d'un rectangle?

A partir de là, tu dois avoir connaître toutes les données qu'il te faut, je pense .

Bon courage!

Aire du rectangle AMNP = 0.6 * 3.2 = 1.92 cm² c'est ca ?

C'est tout à fait exact !!

Tu vois quand on se pose les bonnes questions au bon moment, ça avance tout de suite mieux .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Merci pour ton aide !
Mais j'ai une autre question : b) De façon plus générale, démontrer que l'aire du rectangle AMNP est égale à 4x - 4/3x²
Je sais que 4x = coté AB mais je ne sais rien de plus

Le côté AB vaut 4cms et non 4x cms. Attenttion à ne pas confondre les notation.

Relis mon premier post, tu vas pouvoir savoir ce qui va te servir exactement ici. En effet, la question a), te donne un exemple simple vu qu'on donne une valeur à x qui est 0.6cms mais pour la question b), on laisse tout simplement AM=x cms et on effectue les mêmes remarques et déduction pour retrouver l'aire du rectangle AMNP mais ne gardant cette fois-ci x comme paramètre.

Bon courage!

Je vois vraiment pas ce que je dois utiliser...

En attendant que quelqu'un mé réponde, j'entame la c) :
il s'agit de compléter un tableau :
x= AM (en cm) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Aire de AMNP (en cm²) 0 1.6 3.2 4.8 6.4 8 9.6

Je ne sais pas si c'est bien clair... c'est juste ???

Bonsoir,

Ce qui est bizarre c'est que tu arrive à faire les application pour remplir ton tableau mais la formule générale pour éviter de refaire tous les calcul qu'on te demande en b), tu n'arrives pas à l'expliciter.

Alors essayons de décomposer ce qu'on veut:

Aire de AMNP= AM*MN

On sait déjà que AM=x et d'après ce qu'on a fait à la question a), on sait comment déduire MN à l'aide du théorème de Thalès comme tu l'avais fait lorsqu'on avait fixé x sauf que là on va garder x comme paramètre.

Bon courage!

Je sais pas si c'est ça mais j'essaye...
4x = 4 * 0.6 = 2.4 cm * (-4/3)*0.6² = 1.92 cm² ! C'est ça ?

Ce ne m'a pas l'air bon pour la simple et bonne raison que dans tous les cas à la fin l'aire dépendra de x pour cette question b).

Il faut donc calculer de façon la plus simple possible l'aire de notre rectangle. On sait que l'aire d'un rectangle quelconque c'est longueur*largeur=MN*AM

AM=x donc on sait que l'aire de notre rectangle sera égale à MN*x

Maintenant la question suivante se pose: Que vaut MN en fonction de x?

Et pour répondre à cette question, inspire toi de la démarche utilisé dans le a) avec le théorème de Thalès.

Bon courage!

On a MN/BA=MC/AC et MC=AC-AM, d'où MN = BA * MC /AC donc 4*2.4/3 = environ 3.2 cm . Il faut que j'utilise ça afin de répondre à la question

En mathématique, l'important n'est pas la réponse mais plutôt comment on arrive à celle-ci.

Ici ce qui est important c'est la démarche que tu utilises pour arriver au résultat qui va te servir pour répondre à la question. En effet, tu as toujours le droit d'appliquer le théorème de Thalès dans les deux triangles considérés mais cette fois-ci, AM=x cms et non pas 0.6cms.

Ce qui est le plus important à retenir lorsque tu fais un exercice ce n'est pas le résultat mais comment tu arrive au résultat car c'est cela qui te servira concrètement dans d'autres exercices similaires.

Bon, je reviendrai à cette question plus tard car je coince complètement
Je fais la question suivante :
A partir du graphique, proposer des réponses aux questions suivantes :
a) Comment l'aire semble-t-elle varier lorsque le point M décrit le segment [AC]?
Comment il faut que je m'y prenne ???

Bonjour,

En fait le soucis de ce genre d'exercice c'est qu'on ne comprend pas l'intérêt ou l'implication entre les questions si on arrive pas à la faire dans l'ordre. C'est très frustrant mais si une question pèche, du coup on ne sait pas pourquoi il y a tel ou tel déduction à faire par rapport à telle ou telle question.

Tu marquais concrètement pour la question a) ceci:

Citation :

On a MN/BA=MC/AC et MC=AC-AM, d'où MN = BA * MC /AC

Jusqu'ici on a une forme théorique en considérant de manière non explicite les distance BA, MC et AC. Dans la question a), tu as utiliser le fait que MC=AC-AM qui est aussi une égalité sur des longueurs mais dont on a pas encore remplacé par leur valeur respective.

Dans la question a), tu utilise le fait que x=0.6 cms c'est à dire que AM=0.6cms. Ce qui te permet de déduire MC vu qu'on sait que AC=3cms et enfin on déduit la valeur de MN car on connais BA=4cms.


Maintenant à la question b), qu'est-ce qui change par rapport à la question a)?

La partie théorique ne change pas vu qu'on a pas changé le dessin donc on a toujours:

Citation :

On a MN/BA=MC/AC et MC=AC-AM, d'où MN = BA * MC /AC

Par contre ce qui change c'est qu'on ne donne plus de valeur pour x. Et bien ce n'est pas grave, on garde le fait que AM=x cms et on effectue les calculs comme si x était une valeur concrète.

Du coup, on a MC=AC-AM nous donne MC= 3 - x cms vu que AC=3cms et AM=x cms

Et il nous reste donc plus qu'à conclure pour la valeur de MN= BA*MC/AC vu qu'on connais maintenant AC et qu'on connaissait déjà BA=4cms et AC=3cms.


Et dès que tu auras la valeur de MN en fonction de x, tu obtiendras la valeur de l'aire AMNP vu que cette aire est égale à AM*MN.


Je voulais que tu trouve le raisonnement en solo pour que tu te rendes mieux compte qu'il s'agissait de faire exactement la même chose que dans la question a). Cependant, maintenant est-ce que tu vois qu'il n'y a aucune différence entre la a) et la b) mis à part qu'on ne donne plus de valeur précise à x dans la question b)?


Quel est l'intérêt de la question b)?

On sait calculer pour une valeur de x donnée et on l'a montré dans la question a) pourquoi prendre un x quelconque après? Cette question est souvent posée car on ne comprend pas trop l'intérêt de la mise en équation sous forme de fonction.

En effet, ici on sait calculer pour une valeur de x mais imagine qu'on te donne 100 valeurs de x et qu'on te dit de calculer l'aire de AMNP à chaque fois. Je pense que tu te lasseras très vite de recalculer MC=AC-AM puis d'en déduire la valeur de MN et enfin la valeur de l'aire de notre rectangle. Et bien pour éviter cette aspect énervant et fastidieux, on va essayer de trouver une formule car va nous donner l'aire de AMNP en fonction de la valeur de AM qu'on note x. Ainsi, on a devant les yeux une relation entre l'aire du rectangle et la valeur que prend AM. Donc dès qu'on aura à calculer l'aire de notre rectangle on aura juste à remplacer x par la valeur que nous voulons et le tour est joué pour trouver l'aire de notre rectangle. C'est d'ailleurs ce que tu as dû faire pour la question suivante (remplir le tableau).

C'est un aspect qu'on appelle fonctionnelle de notre problème car on a écrit l'aire du triangle AMNP comme une fonction qui dépend de x. C'est pour celà qu'on dit que AMNP s'écrit en fonction de x.

L'autre intérêt de cette mise en forme, c'est à partir d'une valeur de l'aire AMNP qu'on nous donnerait pouvoir retrouver la valeur de x=AM. Si on imagine que notre rectangle est en fait un bac à sable qu'on doit mettre dans une aire de jeux triangulaire et qu'on nous donne l'aire de notre bac à sable, il faudra bien savoir si nous allons pouvoir le mettre à l'intérieur de notre triangle ou si ce n'est pas possible avant de commencer la construction.

En espérant que cette question et que l'intérêt surtout de ce genre de question soit plus clair maintenant.

Bon courage!

Merci pour toutes ces explications
Donc MN = 4*3 - x/3 ? J'arrive pas à conclure ...

Tu n'arrives pas à conclure car tu as oublié des parenthèses .

En effet MC=3-x donc lorsque tu fais le calcul, il faut mettre des parenthèses sinon, tu ne parles plus de la même distance.

Quelle erreur
donc 4(3-x)/3
12-4x/3
et j'suis coincé...

Attention au quotient aussi, 3 divise tout ce qu'il y a au-dessus vu qu'on a fait (BA*MC)/AC.

Mais à quoi correspond ton résultat? Nous ce qu'on cherche c'est l'aire de AMNP, donc après avoir fait ton calcul regarde ce que tu as calculer et ce qu'il te manque pour finir ton calcul d'aire.

Bon courage, on y est presque là!