variations - suite [1S]

Bonjour à tous !

Voici l'énoncé d'un exercice qui me pose quelques problèmes:

Soit (Un) une suite croissante
on définit la suite (Vn) par:
Vn = (U0 + U1 + ... + Un ) / (n+1)

Montrer que (Vn) est croissante et que, pour tout entier naturel n, on a Vn < Un.

Je ne vois pas comment montrer que Vn est croissante...
j'ai déjà essayé de calculer Vn+1 - Vn et j'ai aussi comparé (Un+1) / (Un) à 1 mais cela engendre des calculs interminables....

Si vous avez des pistes de calculs elles sont les bienvenues !

Merci d'avance !

Bonjour et bienvenue parmi nous Moby!

Mon 1er Mai ne m'a pas laissé beaucoup de temps mais je vais rattraper mon léger retard. Sachant qu'en moyenne, j'essaie toujours de répondre sous 2 jours au maximum (le véritable timing étant une réponse dans la journée d'ailleurs).

Les exercices sur les suites peuvent être déstabilisant au premier abord et pourtant, avec un peu de méthode on finit par conclure. En effet, ici, ta démarche est plutôt juste c'est à dire que pour démontrer qu'une suite est monotone, on calcule la différence de deux termes consécutifs. Mais manque de chance, on n'aboutit pas tout de suite à l'aide seulement de cette différence.

Et c'est là qu'il faut regarder l'énoncer de la question:

Citation :

Montrer que (V_n) est croissante et que, pour tout entier naturel n, on a V_n < U_n.

Nous devons montrer deux choses et il n'y a pas de lien entre les deux démonstration à effectuer. C'est à dire qu'on a pas écrit ceci:

Citation :

Montrer que (V_n) est croissante puis que, pour tout entier naturel n, on a V_n < U_n.

Ce qui aurait voulu dire qu'il y avait un ordre dans les choses à démontrer. Du coup, l'idée ici c'est peut-être de démontrer les deux en même temps ou le deuxième avant le premier. Car en effet, il est peut-être plus simple dans un premier temps de démontrer que tous les termes V_n sont majorés par U_n. Ensuite, nous regarderons comment démontrer la croissance de la suite (V_n).

Alors as-tu des idée pour démontrer l'inégalité?

bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Je vous remercie beaucoup pour votre réponse !

Eh bien à vrai dire j'ai quelques difficultés avec les suites que nous abordons en cours depuis la semaine dernière.

Pour exprimer Un en fonction de Vn je ne sais pas trop ....

U0 + U1 + ... + Un = [(n)(n+1)] / 2

Vn = (n)(n+1) / 2(n+1)

Mais je ne sais pas exprimer Un en fonction de Vn ....

bonjour,

Il y a en effet, un soucis de compréhension globale des suites. Lorsque tu écris ceci:

Citation :

U0 + U1 + ... + Un = [(n)(n+1)] / 2

Le signe "=" correspond à priori à une égalité c'est à dire à une comparaison de deux choses de même nature.
Or en l'occurrence, nous ne connaissons pas la nature de la suite (U_n) c'est à dire qu'on ne connaît pas l'expression de chacun des termes de cette suite.
En d'autre terme, nous ne savons pas à quoi est égale U₀ ni U₁ ni.... ni d'une manière générale U_n pour une valeur de n quelconque.

En conséquence, nous ne pouvons pas du tout calculer cette somme tout simplement parce que nous n'avons pas accès à l'expression des termes de la suite qu'on considère.

n*(n+1)/n est le résultat d'une somme de terme d'une suite c'est tout à fait exact mais cette suite sera une suite arithmétique de premier terme U₀=0 et de n^ième terme U_n=n (et donc la raison de cette suite arithmétique serait r=1). Mais ici, rien nous laisse penser que U_n est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme U₀=0.

Est-ce que tu comprends le soucis dans ton calcul, du coup?

On ne peut pas exprimer la somme d'une suite en fonction de n si on n'a pas un moyen d'avoir accès à l'expression de la dite suite tout simplement.

Ici, la seule chose que nous avons comme hypothèses c'est:

- (U_n) est une suite croissante
- (V_n) est une suite définie pour tout entier naturel n par V_n=[ U₀ + U₁ + ... + U_n ] / (n+1)

Voilà les seules hypothèses que nous ayons en notre possession et il faut réussir à démontrer que:

- (V_n) est croissante
- Pour tout entier naturel n, on a: V_n < U_n.


A partir de là, la seule chose qu'on ait le droit de faire (les règle du jeu en quelque sorte) c'est d'utiliser ce que nous savons c'est à dire les hypothèses ainsi que notre cours pour pouvoir conclure et rien d'autre.

En conséquence, nous ne pouvons pas imposer à la suite (U_n) une caractéristique autre que celle donnée par l'exercice c'est à dire que cette suite est croissante.

Est-ce que cela te paraît plus clair ainsi?

A partir de là, le mieux serait de commencer par montrer que: Pour tout entier naturel n, on a: V_n < U_n et nous n'avons que ces hypothèses là pour le faire:

- (U_n) est une suite croissante
- (V_n) est une suite définie pour tout entier naturel n par V_n=[ U₀ + U₁ + ... + U_n ] / (n+1)

As-tu des idées?

Bon courage!