Etudier les variations d'une fonction

Bonjour à tous.
J'ai un exercice que je n'arrive pas trop à faire.. Merci de bien vouloir m'aider

1. Démontrer que pour tout x de [0;+∞[, on a sin x ≤ x
Indication: on pourra étudier les variations de la fonction h définie sur [0;+∞[ par
h(x)=x-sin x.

Donc moi j'ai fait :
Pour tout x Є [0;+infini[,
h'(x)= 1-cos x
Seulement après pour le mettre dans un tableau de variation j'ai du mal ..

x | 0 +infini
-----|--------------------------
h'(x)| 0 +
-----|--------------------------
| 0 (et une flèche croissante jusqu'à +∞ )
|

Je ne pense pas que ça soit ça. J'ai besoin d'aide merci !!
Mlle-maths

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Ton intuition est excellente! On te propose donc d'effectuer l'étude d'une fonction ce que tu fais avec brio d'ailleurs. Tu trouves que la dérivée est toujours positive et donc que ta fonction est croissante. Tu calcules de surcroît la valeur en 0. La limite à l'infini n'étant pas nécessaire en fait.

En effet, la solution devrait te sauter aux yeux rien qu'en lisant ton tableau de variation. Pourquoi?

Car la fonction H est croissante d'après ton étude et qu'elle vaut 0 en 0 c'est à dire que H(0)=0. Et du coup, que pouvons nous dire si je prend x≥0 en utilisant la croissance de notre fonction H?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire surtout!

Bonjour,

J'ai exactement le même exercice!

J'ai aussi trouvé que la fonction était toujours croissante.
Mais la question suivante est: En déduire que pour tout x>0, sin x<x (même question enfaite :p)
Sauf que je ne vois pas du tout comment procéder...

Re-bonsoir,

As-tu étudié la fonction auxiliaire H(x)=x-Sin(x) ?

Pourquoi étudier cette fonction auxiliaire en fait? La réponse est plutôt simple mais faut juste s'être posé la question une fois dans sa vie. EN effet, on cherche à montrer que pour tout x≥0, on a: Sin(x)≤x.

Donc en fait c'est équivalent à montrer que:

Pour tout x≥0, 0≤x-Sin(x)

Donc si je pose pour tout x≥0, H(x)=x-Sin(x). L'exercice devient donc: Montrer que pour tout x≥0, H(x)≥0. Ce qui nous amène doncà l'étude d'une fonction et là, on a tout une batterie de technique de calcul et de démarche mathématiques qu'on connaît et qu'on sait appliquer.

Est-ce que la démarche te sembles plus claire?

Bon courage!

Ok ok donc on a:
pour tout x>0:

sin x<x
x-sin x >= 0
On retrouve l'expression de H
H(x)>= 0

Or dans la question précédente, on a montré que H était croissante sur [0;+∞[ et que son minimum est 0 (atteint en 0)

Je pense avoir tout dis sur cette question...

Par contre la question suivante est:
En utilisant le résultat précédent, démontrer que pour tout x>0, cos x>1-(x²/2)

Je ne vois vraiment pas comment obtenir cette expression...

Edit:
Hum j'ai pensé a ça:
cos x>1-(x²/2)
0<1-(x²/2)+cos x
On dérive:
0<1x-sinx
0<x-sinx
On retrouve l'expression de la fonction précédente...

Bonne ou fausse route???

Re-bonjour,

Pour la première question, la route est en effet juste (je te l'ai balisé).

Maintenant pour la deuxième question. Ta démarche est assez logique jusqu'ici:

Citation :

0<1-(x²/2)+cos x

Et après, il faut faire très très attention! En effet, nous ne pouvons pas dériver une inégalité car cela n'a pas de sens mathématiquement pour toit en tout cas. Car la dérivation comme tu l'as apprise c'est la limite d'un tout d'accroissement. Et ici, si tu souhaites écrire le taux d'accroissement, cela va poser quelque soucis et en plus si tu passes à la limite, on n'est pas sûr que tout va avoir une limite finie.

En revanche ce qu'on peut faire c'est de se dire la chose suivante:

On souhaite donc démontrer une inégalité mais en fait cette inégalité est très particulière. En effet, l'inégalité en question revient à montrer qu'une quantité est positive ou négative. C'est à dire que nous sommes dans une recherche de signe d'une quantité. En conclusion, il nous suffit donc d'étudier le signe de la quantité que nous avons sous les yeux. Et pour cela, on pose une nouvelle fonction auxiliaire et le but va être de l'étudier pour montrer qu'elle est de signe constante sur l'intervalle considéré.

Est-ce que la démarche te semble plus claire ainsi? Le soucis c'est que tu dérivais une inégalité et que cela n'a pas de sens. En revanche dériver une fonction a un sens. Il faut donc faire les choses par étapes.

Bon courage!

Bien alors en ce cas donc on reprend la fonction de l'énoncé:
cos x >1-(x²/2)
Que je simplifie comme:
0<1-(x²/2)+cos x

Comme vous le faites remarquer, cela correspond a déterminer le signe de 1-(x²/2)+cos x

Pour étudier le signe, on dérive donc cette fonction ce qui donne: x-sin x.

Or on a démontré dans les questions précédentes que x-sin x était toujours supérieur a 0 (donc positif) et nul en 0

Ainsi on a vérifié que l'inégalité 0<1-(x²/2)+cos x était toujours vraie pour x>0

Correct?

Bonsoir,

Presque correcte. En effet, x-Sin(x) c'est le nombre dérivé de notre fonction qu'on peut appeler G(x)=1-(x²/2)+Cos x (ne pas hésitez à donner des noms aux fonctions auxiliaires cela permet une meilleur lisibilité pour toi comme pour le correcteur d'ailleurs).

Tu connais donc le signe de H'(x) d'après la question précédente. Mais en quoi cela te permet-il de conclure pour le signe de H(x) ?

Il n'y a pas grand chose à ajouter mais c'est tout de même primordiale pour conclure sinon, il n'y a pas de sens à ton écriture en fait si tu te relis.

Bon courage!

H est toujours positif car la fonction est croissante et a pour minimum 0...
Ca c'est la conclusion de la question "Etudier les variations de h"

Mais la la question porte sur G(x)...
La je me retrouve avec une dérivée d'une fonction dont je connais le signe...

Mais finalement comment je peut conclure pour cos x>1-x²/2 ???

H est toujours positive (grace a sa dérivée calculée dans le A),donc la dérivée de G(x) est toujours positive, donc G(x) est toujours croissante...

Or G(0)=0

Donc si G est toujours croissante quand x>0 et que g(0)=0 alors G(x) sera toujours > a 0 non?

Donc on a vérifié l'inégalité? non?

C'est tout à fait exact!!

Suffisait de le préciser en fait. Tu comprends ce qui pêchait dans ta première rédaction? Tu concluais sur le signe de H(x) qui certes à son importance ici mais pas pour conclure directement.

alors j'aime bien titiller un peu lorsque j'en ai l'occasion. Sais-tu quelle est l'utilité ce que tu viens de démontrer? Petit question ne passant (c'est toujours intéressant de savoir que ce qu'on fait à en fait une utilité).

Bon courage pour la suite!

Comme pour beaucoup d'exos de maths....
A par répondre a la question suivante je vois pas beaucoup l'utilité....

Maintenant sa peut être intéressant a savoir

C'est triste en effet de penser que les mathématiques du collège-lycée sont dénuées de réalités mais j'avoue que cela est assez logique de le penser et l'habitude fait qu'on fini par tous le penser en effet. Mais de temps ne temps malgré les dires, il y a tout de même quelque utilités cachées qui peut être bons de mettre en évidence pour justement montrer qu'il y a un intérêt à tout cela derrière le magma informe des connaissance mathématique de base qu'il faut acquérir pour pouvoir faire des vraie maths plus tard.

Alors qu'avons-nous montré?

On a montré que pour tout x dans [0;+∞[, on a sin x ≤ x
On a montré que pour tout x dans [0;+∞[, Cos x >1-(x²/2)

bon ça n'a pas l'air terrible vu d'ici mise à part faire des calculs de dérivée en gros. Mais regardons d'un peut plus près les choses.

Serais-tu capable sans calculatrice de ne donner une valeur approchée par défaut de Cos(0.01) et de Sin(0.01) par exemple? Et oui les calculatrice n'ont pas toujours existé et dès fois il était intéressant de savoir approcher des quantité aussi barbare que des cosinus et des sinus . Si tu trouve cette approximation là, vérifie à la calculatrice, il y a un décalage c'est sur mais pas si énorme que cela si je ne me suis pas planter dans les chiffres.

Bon courage!

Ha ouais je vois le truc!

Et donc pour la question suivante qui est:
Démontrer que pour tout x>0, x-(x^3)/6<sin x<x

J'avais pensé a faire quelque chose de similaire, vu qu'on a déjà prouvé une partie (sin x<x) il reste juste a prouver que:
x-(x^3)/6<sin x

mais la sa bloque :s
y a bien encore la possibilité de dériver mais je vois pas pour ce qui est de conclure ensuite....

Au passage juste par curiosité, ça sa correspond a quoi dans la réalité?

L'encadrement de fonction dans l'optique de trouver une valeur approchée des dites fonctions n'a pas vraiment de correspondance dans la réalité. On va dire que c'est plutôt une utilité au sein même des mathématiques.

A une époque en fait, on faisait des calculs de multiplication via les table de logarithme par exemple (qui est une fonction que tu étudiera l'année prochaine d'ailleurs) mais on apprenait cela dans les petit classe car c'était beaucoup plus facile que l'algorithme de multiplication car on arrivait à transformer des multiplication en addition. Bon pour les fonction cosinus et sinus connaître des approximation a son utilité lorsqu'on cherche une valeur très précise et que la calculatrice n'est pas à disposition par exemple ou même que l'ordinateur ne peut pas répondre ne un temps raisonnable (ce qui arrive bien plus souvent qu'on le crois d'ailleurs mais bon je ne rentrerai pas dans les détails) mais il n'y a pas d'application dans la réalité tel que tu l'entends ou tout du moins je n'en connais pas. Cela sert juste à pouvoir définir des table de cosinus et de sinus par exemple (ce qui peut être intéressant pour un plombier qui doit effectuer un coude bizarre et qu'il cherche le sinus d'un angle connaissant l'angle en question pour effectuer le raccord par exemple mais c'est un exemple un peu créé de toute pièce pour le coup je te l'accorde). Ce qui est marrant à poser comme question aussi c'est as-tu conscience qu'on ne t'as jamais défini ce qu'était la fonction cosinus ou sinus sauf comme les deux fonction vérifiant la relation fondamentale Sin²(x)+Cos²(x)=1. Donc ce que tu es en train dee faire actuellement avec tes propres moyen c'est d'encadrer ces deux fonction par des fonctions connues dites de références qui sont les fonctions polynômes.

Sinon, pour revenir à ton interrogation: comment déterminer l'inégalité x-(x^3)/6<sin x pour x>0 ?

Et bien n'aurais-tu pas une démarche à proposer au moins? On ne sait pas si elle aboutit certes mais bon, lorsqu'on a déjà une démarche sous la main autant voir ce qu'elle donne et ne pas avoir peur des calculs pour le coup .

Bon courage!

J'avais pensé que x-(x^3)/6 ressemble étrangement a la fonction qui a pour dérivée la fonction H donnée hier...

Mais ce qui me géne c'est la <sin x car ici on n'est pas vraiment dans une configuration ou on étudie le signe...

Mais d'un coté ramener le sin x de l'autre coté fait perdre cette histoire de dérivée...

Je dois manquer quelque chose?

Edit:
x-(x^3)/6<sin x
sin x-x-(x^3)/6>0

mais dans ce cas en dérivant....
cos x-1-(3x²/6)

Je pense pas que sa apporte quelque chose?

Attention aux erreurs de signe, ce n'est pas pardonnable face au correcteur ça:

Citation :

x-(x^3)/6<sin x
sin x-x-(x^3)/6>0

Sinon, ton idée de poser une autre fonction annexe qu'on dérive est une bonne idée. Persévère, tu vas constater que cela va passer.

Bon courage!

J'ai sorti ça:
ça me paraitbizarre car c'est un peu du bidouillage mais bon...
sin x-x-(x^3)/6>0

On dérive donc cette fonction (on va dire j(x)=sin x-x-(x^3)/6>0)

Donc j'(x)=-cos x -1-3x²/6
j'(x)=-cos x -1-x²/2

Aprés on le remet e inégalité:
-cos x -1-x²/2>0
cos x > 1-(x²/2)

Or, on a calculé et vérrifié cette inégalité précédement...

Sa se tient bien je trouve mais sa peut poser un probléme au niveau de l'explication et peut etre de la rigueur parceque c'est du bricolage un peu la....

Il y a un problème logique ici:

Citation :

Aprés on le remet e inégalité:

9a n'a pas de sens vu qu'on ne dérive pas des inégalités comme je te l'ai expliqué plus haut car le taux d'accroissement n'est pas obligé d'avoir un signe constant et donc le signe de la limite n'est pas forcément évident à calculer.

On en est donc à cela: j'(x)=-Cos(x)- 1 - x²/2 pour x>0

Et c'est directement là que tu t'exclames: "Mais c'est vrai on connait le signe de cette quantité d'après la question précédente".

Cet exercice est un vrai exercice dominos pour le coup car chaque question sert à la suivante et ainsi de suite. C'est donc peut-être bizarre mais c'est en fait la structure de beaucoup (énormément?) d'exercice. Donc c'est une idée tout à fait lumineuse et qui en plus abouti sans problème.

Bon courage!