Démontrer les variations d'une suite

Bonsoir !

Me voilà en Term S, on commence les réjouissances par les suites numériques. C'est un chapitre que je n'ai pas eu le temps de voir en entier avec mon prof de première, je pense donc avoir certaines lacunes..

Soit u la suite définie par :
u₀ = 8
u_n+1=(3*u_n+1)/(u_n+2)

Je dois démontrer les variations de cette suite.

J'ai tout d'abord calculé les premiers termes de la suite afin de faire une conjecture :
u₀ = 8
u₁ = 2,5
u₂ = environ 1,89

Conjecture : la suite u_n semble décroissante, et converge vers un réel proche de 1,618.

D'après mon cour, pour étudier les variations d'une suite il faut faire u_n+1-u_n, c'est donc ce que j'ai tenté de faire.

u_n+1-u_n = (3*u_n +1)/(U_n +2)) - U_n
= ((3*U_n+1 - U_n*(U_n+2)/ (U_n +2))
= ((-U_n² + U_n + 1) / (U_n + 2))

Le numérateur est donc un trinôme du second degré, du signe de a donc négatif sauf entre ses racines :

calcul du discriminant : b²-4ac = (-1)² - 4x(-1)x1 = 5 » 0 donc deux solutions

x₁ = (-1- (racine carrée de)5)/(2x(-1)) = environ 1,6180

x₂ = (- 1 + racine carrée de 5) / (-2) = environ - 0, 6180

Ensuite, je bloque.
Quand je trace la courbe du numérateur, donc ((-U_n² + U_n + 1) / (U_n + 2)), les racines du trinôme que j'ai trouvé ne correspondent pas. Or j'ai déjà refait le calcul plusieurs fois, je n'arrive pas a trouver mon erreur ?

Puis, comment continuer ensuite ?
Faut-il faire un tableau de signes ? Quelque chose comme ça ?

Quel est le lien entre la fonction et la suite ? La fonction est croissante tandis que la suite semble décroissante..
Pour étudier les variations d'une fonction, il faut calculer la dérivée. Pour calculer les variations d'une suite, la dérivée n'a alors plus aucun rôle à jouer ?

Merci beaucoup, et excusez moi si mes questions ne paraissent pas être du niveau de Terminale..
Il me manque certaines bases malheureusement.

Merci beaucoup !

Bonsoir et Bienvenue parmi nous, Mirabelle!

Alors, il n'y a pas de question d'un niveau ou d'un autre. Il y a des questions de compréhension tout simplement et pour moi peu importe le niveau du moment que tu comprennes la notion à la fin.

Ton exercice est du type: "étudier une suite récurrente définie par u_n+1=F(u_n) avec un u₀ fixé". La fonction F a donc un rôle prépondérant à jouer dans cette exercice car c'est elle qui détermine la suite.

Alors pour étudier la monotonie de cette suite, il faut d'abord avoir une idée de celle-ci et par conséquent, calculer les premiers termes permet de faire une conjecture. Bon, tu va encore plus loin en regardant s'il y a une convergence mais bon pour nous avoir la monotonie sera une bonne chose dans un premier temps.

Ensuite, pour concrétiser la conjecture, il faut passer à la démosntration mathématique et c'est là qu'on a diverse moyen d'y arriver. La plus classique est en effet d'étudier le signe de la différence de deux terme consécutif u_n+1-u_n car si c'est positif et bien ça sera croissant et si c'est négatif et bien ça sera décroissant tout simplement. D'aprèsl a conjecture, il sera préférable pour nous de trouver que cette différence est négative.

Ensuite, c'est du calcul. Les calculs sont justes et on arrive à:

u_n+1-u_n= [-u_n² + u_n +1]/[u_n+2]

Et ensuite, tu entames des calculs mais tu ne sais pas trop où cela va te mener et ça se sens bien à partir du moment où tu as considéré le polynôme du second degré. En effet, il s'agit d'un polynôme du second degré en quoi? En u_n !!!!

Par conséquent, tu as calculer les valeurs de u_n qui annulerait le polynôme en u_n. Et tu en déduis donc les intervalles dans lequelles u_n doit se situer pour que notre différence soit bien négative. Mais il y a un problème énorme et tu es bloqué à cause de cela. En effet, (u_n) est une suite fixée dont on ne connait pas les bornes de l'intervalle dans lequel cette suite se balade! Conclusion, on ne peut pas conclure.

Alors, comment faire? Et bien, il va falloir savoir dans quel intervalle se situe les termes de la suites (u_n). D'après ce que tu as dit en conjecture la suite (u_n) décroît et n'ira pas en-dessous de (1+√5)/2. Et bien, nous allons conjecturé le fait que u_n>(1+√5)/2.

Si on arrive à démontrer cette conjecture sachant que d'après tes calculs (qui sont tout à fait juste sur les racine du polynôme du second degré), nous aurons des valeurs de u_n>(1+√5)/2 donc le numérateur serait du signe de a c'est à dire négatif et le dénominateur serait positif. conclusion, nous aurons bien démontré que notre différence est négative et donc que notre suite est décroissante (nous aurons même le fait qu'elle est minorée et en conclusion sa convergence voire même sa limite!).

Est-ce que jusque là c'est clair au niveau du raisonnement et de la démarche? N'hésite pas si tu as des questions en tout cas.

A partir de là, est-ce que tu as des idées pour démontrer l'ingalité pour toutes valeurs entière de n?

Bon courage!

ps: pour mettre les indices des suites, il suffit de faire une sélection de l'indice et d'appuyé sur "autre" puis sur "indice", c'est plus pratique pour lire .

Bonjour et merci beaucoup pour votre accueil et votre réponse si rapide !
Merci également d'avoir modifié mon message, c'est vrai que les calculs sont beaucoup plus agréables à lire maintenant.

Je vais tenter de reprendre votre message point par point pour qu'on ne se perdre pas..

Oui, la fonction F détermine la suite car les termes u0, u1, u2,..., de cette suite sont des points de la fonction. Mais en quoi cette fonction a-t-elle un rôle prépondérant ? Que peut on calculer à partir de cette fonction qui ait un rapport avec cette suite ?
Je m'explique.
Avant d'étudier les variations de cette suite, nous avons d'abord "exploré graphiquement" la fonction f(u_n) : (3*u_n+1)/(u_n+2)
Nous avons étudié sa dérivée pour voir ses variations, fait un tableau de variation, calculé ses limites et ses asymptotes.

=> En quoi cela a-t-il rapport avec la suite ? Etais-ce simplement des révisions ?



La question suivante était : Démontrer que si un élément un de la suite (u_n) est dans l'intervalle [α;3] alors son suivant u_n+1 est aussi dans cet intervalle. (le nombre α étant le point commun le plus grand entre la fonction f(u_n) et la droite y=x, α=1,6180).

Effectivement nous avons vu cela en cours, et c'est donc cela qu'il me manquait dans mon raisonnement ?
Je pensais que chaque question était indépendante..
Donc, comme la suite n'ira pas en dessus de ce nombre α, elle n'ira pas dans les racines du polynome, donc elle restera toujours décroissante.
C'est bien ça ?

La question qui suit dans mon exercice est la suivante :
" Démontrer que pour tout entier n, u_n est un rationnel.
α est il un rationnel ? "

Faut-il utiliser la démonstration par récurrence ?

Bon dimanche, et encore une fois merci beaucoup !

Bonjour,

Alors en quoi la fonction F est prépondérante pour la suite? Et bien connaître ses variation et ses limites va permettre d'utiliser cela pour la suite elle-même.

D'une part cela permet de tracer la fonction sur un graphique de façon plus précise et donc d'en déduire approximativement les termes de la suite à partir du graphique de la fonction et de la droite y=x. Mais cela permet surtout de pouvoir faire des conjecture et en aucun cas de démontrer quelque chose de concret. C'est un peu comme calculer des terme à la main, cela nous donne des hypothèses sur la suite mais aucune démonstration.
Ceci est non négligeable car sans hypothèses, nous ne pourrions pas avancer.

Ensuite, l'autre utilité qui cette fois-ci est prépondérante c'est le sens de variation de la fonction F. En effet, à partir du moment où on connaît les variation de F, on peut déduire beaucoup de chose sur la suite elle-même lors de démonstration par récurrence.

Par exemple, ici, tu démontres par récurrence qu'à partir du rang 1, la suite est comprise entre [α;3] mais comment le démontre-t-on?

On initialise la récurrence au rang 1, on a bien α<u₁=2.5<3

Et pour la partie hérédité, on va supposer que la propriété est vrai pour n c'est à dire α<u_n<3 et démontrer que cela reste vrai au rang n+1.
Et là, tout prend un sens car vu que F est croissante sur [α;3] d'après le tableau de variation que tu as fait, on peut appliquer F directement sur les inégalités en sachant en plus que α est fixe pour F c'est à dire que F(α)=α. On a donc: α=F(α)<F(u_n)<F(3)
Or F(u_n)=u_n+1
Et la conclusion est immédiate!

La puissance d'une suite récurrente tient dans cette égalité: "u_n+1=F(u_n)". A partir de ça, lorsqu'on a des inégalité à démontrer par récurrence, on sait qu'il va nous falloir déterminer le sens de variation de F pour conclure ce qui rend F si prépondérante pour la suite (u_n).

Est-ce plus clair ainsi? Je ne savais pas que ton professeur avait déjà entamé la démonstration par récurrence c'est pour cela que je ne l'avais pas mentionnée dans mon premier message voulant l'amener en douceur.


Je ne sais pas comment est rédiger ton exercice mais vu les question j'ai l'impression que la recherche de la monotonie de ta suite est l'objectif de cette exercice et par conséquent la dernière question en quelque sorte et avant il y a besoin de savoir où se situe les termes de la suites (u_n) pour avancer dans la résolution du problèm. Ce qui revient donc à faire la démonstration par récurrence qui t'es proposée.


En fait, ce qu'il faut savoir c'est que peu importe l'exercice, une question est rarement anodine. C'est à dire que si on te la pose brute, elle doit servir à quelque chose et t'aider à avancer dans la résolution de l'exercice. En fait, ici sans question intermédiaire, je trouvais la question un peu brutale pour entamer une terminale S voire même brutale tout cours car on te propose le plus souvent une démarche pour avancer surtout lorsqu'il y a des réucrrence à montrer dans la question. Donc pour que tu puisses avancer avecl es outils qu'on te propose en cours, l'exercice va être scindé en question intermédiaire ce qui te permettra d'avancer tranquillement vers le but de l'exercice.

Nous verrons la question suivante après pour éviter de trop en faire en même temps car on risque de s'embrouiller (autant moi que toi je pense). D'ailleurs, un exerice a souvent une trame comme je te l'ai dit au-dessus, est-ce que tu pourrait écrire les questions de ton exercice avec la numérotation proposé pour que je puisse avoir une meilleur vu d'ensemble (car lors de la résolution d'un exercice ce qu'il faut faire dans un premier temps c'est savoir où l'on va et par où on veut y aller et sans toutes les questions ou les liens entre lesquestions, tu as une vision beaucoup plus restreinte du problème ce qui peut fausser tes raisonnements par exemple).

Et pour voir si tu as bien saisie, pourrais-tu rédiger justement la récurrence pour l'encadrement ainsi que la monotonie (il s'agit d'une synthèse en fait mais poru qu'on avance surl es mêmes bases car la question suivante change de contexte à première vu et approfondie l'exercice vers une propriété remarquable des nombres rationnelles).

Bon courage!

Merci beaucoup, je commence tout doucement à y voir un peu plus clair.
Il y a juste un point que je voudrais encore éclaircir :

Citation :

Et pour la partie hérédité, on va supposer que la propriété est vrai pour n c'est à dire α<un<3 et démontrer que cela reste vrai au rang n+1.
Et là, tout prend un sens car vu que F est croissante sur [α;3] d'après le tableau de variation que tu as fait, on peut appliquer F directement sur les inégalités en sachant en plus que α est fixe pour F c'est à dire que F(α)=α. On a donc: α=F(α)<F(un)<F(3)
Or F(un)=un+1
Et la conclusion est immédiate!

Imaginons que F était décroissante, on n'aurait dans ce cas pas pu appliquer F directement sur les inégalités ?
Il aurait fallu changer le sens des signes, simplement, non ?

Citation :

Et pour la partie hérédité, on va supposer que la propriété est vrai [...]

Qu'entendez vous par la "partie hérédité" ? La partie qui suit logiquement après la supposition α<un<3 ?

Excusez moi, c'est des petits détails.

Je vais rédiger l'exercice dans son ensemble :

_______________________________________________________________________________

I. Explorer une suite

Soit u la suite définie par u₀ = 8
Pour tout entier naturel n, u_n+1 = (3u_n + 1)/(u_n + 2)

1) Exploration numérique de la suite

Utiliser une calculatrice ou un tableur pour émettre une conjecture concernant le sens de variation et la limite de la suie (u_n).

2) Exploration graphique de la suite

Sur le graphique ci dessous, on a tracé la droite D d'équation y=x et la courbe C représentant la fonction F définie dans IR privé de (-2) par :
F(x) = (3x+1)/(x+2)

a) En utilisant la droite D et la courbe C, construire sur l'axe des abscisses, les points A1, A2, A3, et A4 d'abscisses respectives u1, u2, u3 et u4.
b) L'observation du graphique permet elle d'affiner les conjectures émises à la question 1) ?

3) On désigne par α et β (α > β) les abscisses des points d'intersection de la courbe C et de la droite D.
a) Calculer α et β.
b) Démontrer que si un élément u_n de la suite (u_n) est dans l'intervalle [α;3], alors son suivant u_n+1 est aussi dans cet intervalle.
A partir de quel rang _n a-t-on u_n Є [α;3] ? Que peut-on en déduire ?
c) Démontrer que la suite u_n est décroissante.

4) Démontrer que pour tout entier n, u_n est un rationnel.
5) α est-il un rationnel ?

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Si j'ai bien compris vos explications, la question 1) et 2) permet de faire des conjectures et donc de savoir "où l'on va", et la question 3)b) permet d'encadrer la suite pour pouvoir démontrer qu'elle est décroissante. C'est bien ça ?

Citation :

Et pour voir si tu as bien saisie, pourrais-tu rédiger justement la récurrence pour l'encadrement ainsi que la monotonie

3)b) On veut démontrer que si un élément u_n de la suite (u_n) est dans l'intervalle [α;3], alors son suivant u_n+1 est aussi dans cet intervalle.

u0 = 8
u1 = 2,5 ===> La relation n'est donc pas vraie pour u0, mais pour u1.

α < u1 < 3

On suppose que u_n appartient à [α;3]

donc α < u_n < 3
donc f(α) < f(u_n) < f(3) car F croissante sur [α;3]
donc α < u_n+1 < 3

donc u_n+1 appartient à [α;3]

u0 n'appartient pas à cet intervalle mais u1 oui, donc également u2, u3,...

donc pour tout n > 1, u_n appartient à [α;3].

Voilà pour la démonstration par récurrence. Est-elle bonne ? Y a-t-il quelque chose à corriger ?

Citation :

Et pour voir si tu as bien saisie, pourrais-tu rédiger justement la récurrence pour l'encadrement ainsi que la monotonie

3)c) Pour tout naturel n :

u_n+1-u_n = (3*u_n +1)/(U_n +2)) - U_n
= ((3*U_n+1 - U_n*(U_n+2)/ (U_n +2))
= ((-U_n² + U_n + 1) / (U_n + 2))

Le numérateur est donc un trinôme du second degré, du signe de a donc négatif sauf entre ses racines :

calcul du discriminant : b²-4ac = (-1)² - 4x(-1)x1 = 5 » 0 donc deux solutions

x1 = (-1- (racine carrée de)5)/(2x(-1)) = environ 1,6180 correspond à α

x2 = (- 1 + racine carrée de 5) / (-2) = environ - 0, 6180 correspond à β

D'après la question précédente, u_n > α pour tout n > 1

(-U_n² + U_n + 1) < 0 puisque négatif sauf entre ses racines
(U_n + 2) > 0 donc quotient négatif

donc u_n+1-u_n < 0, donc la suite u_n est décroissante.

____

Voilà mes réponses. J'éspère que vous vous en sortirez avec tous ces messages très longs..
Merci mille fois.
A bientôt !

Citation :

Imaginons que F était décroissante, on n'aurait dans ce cas pas pu appliquer F directement sur les inégalités ?
Il aurait fallu changer le sens des signes, simplement, non ?

C'est tout à fait juste! Mais lorsque je disais "appliquer directement F au inégalité", je voulais juste dire qu'on prend l'image de l'inégalité par F sans pour autant préciser si celle-ci est croissante ou décroissante. Ensuite, il y a bien entendu ajustement des inégalité en fonction de la croissance ou de la décroissance de F, en effet.

Ce que j'appelle partie hérédité c'est la deuxième partie de la récurrence. En fait, pour faire un rappel sur le sujet un démonstration par récurrence se fait en deux temps après avoir exposer la propriété qu'on cherche à démontrer:
(pour une rédaction presque nickel, on pourrait la voir comme cela:)

Soit un entier naturel non nul n, on pose P(n): "la propriété qu'on cherche à démontrer" (j'ai mis ici non nul car on sait que pour n=0 la propriété est clairement fausse vu qe u₀=8)

(- Premier temps: on initialise la récurrence)
Pour n=1, u₁ vérifie la propriété car u₁=2.5
Donc P(1) est vraie

(- Deuxième partie: l'hérédité de la propriété. Cela signifie qu'on cherche à savoir si la propriété passe de "génération en génération" c'est à dire que si on suppose P(n) vraie alors P(n+1) est vraie)
On suppose que P(n) est vraie. Démontrons que P(n+1) est vraie c'est à dire que α<u_n+1<3

On sait par hypothèse de récurrence que: α<u_n<3
Or F est croissante sur [α;3] (il faudrait le démontrer d'ailleurs car ce n'est pas fait dans les question précédente vu qu'on a effectué que du tracer)

Donc F(α)<F(u_n)<F(3)

Or d'après 3) α est l'intersection entre C et D , donc Fα)=α (il fautl e dire tout de même sinon, on risque de te demanderd'où ça sort. Ce n'estp as parce que c'est marqué quasiment explicitement dans l'énoncer qu'on ne doit pas en remettre une couche lors de la rédaction de la solution). Dep lus, on peut calculer F(3) pour bien montrer qu'il est inférieur à 3 et ainsi conclure que:

P(n+1) est vraie

La propriété étant vraie pour n=1 et étant héréditaire, elle est vraie pour tout entier naturel, n, non nul. (ce qui conclut la résolution de cette question).

Donc en fait, ta rédaction est plutôt bonne mais par contre elle manque un peu de rigueur et il faut mieux prendre le bon pli maintenant ainsi tu n'auras pas de perte de points pour ce genre de petite bétises dira-t-on.


La question suivante par contre est nickel niveau rédaction ! En fait, je pense que tu comprends mieux pourquoi ton premier message me paraissait louche et pourquoi j'ai insisté pour savoir quand était posé la question de la décroissance de la suite car de façon brute comme tu l'as constaté par toi-même, il nous manque une donnée importante sur la suite qu'on doit démontrer (qui est la question 3)b) en fait).

Sinon, ne t'inquiète pas pour la longueur des messages, j'écris de même de très long message et ce n'est pas pour autant mal apprécier je pense (d'après l'expérience que je commence à avoir sur le forum ). Il faut mieux faire long et clair que trop concis et ne rien comprendre (que se soit toi ou moi d'ailleurs).


Alors la question n'est pas posé mais à la fin de la question 3), on sait dont que (u_n) est décroissante et qu'en plus elle est minoré par α. Conclusion, sur la convergence de la suite? Quelle est la limite de cette suite? (avec justification pour la deuxième question bien entendu).


Pour la question 4), il faut savoir ce qu'est un nombre rationel. Qu'est-ce que cela signifie qu'un nombre soit rationel par rapport à un irrationnel? Sinon, comme tu le sentais la démosntration se fait aussi par récurrence ici, je te laisse l'entamer.

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions ou si quelque chose n'est pas claire!

Okay, alors tout roule pour ce début d'exercice.
Merci beaucoup pour ces petites précisions, elles me sont très précieuses !

Par contre pour la suite de l'exo, j'avance en terre inconnue.. ce sont des choses que nous n'avons pas encore vu. Cet exercice est enfait un exo "d'approche" je pense, c'est le premier que mon prof nous a donné sur ce premier chapitre, et je pense qu'il attend de nous qu'on fasse les recherches nous-même, c'est pourquoi je me donne tellement de mal ce week end

Merci également de m'avoir corrigé et donné un exemple de rédaction "type", je le prendrais comme base pour mes prochains exercices.

Citation :

Alors la question n'est pas posé mais à la fin de la question 3), on sait dont que (un) est décroissante et qu'en plus elle est minoré par α. Conclusion, sur la convergence de la suite? Quelle est la limite de cette suite? (avec justification pour la deuxième question bien entendu).

J'ai fais quelques recherches sur le net et voici la "propriété" qui je pense est la bonne :

Citation :

cas 3 ( suite convergente )
Soit L un réel donné.
Intuitivement, dire que ( u n ) a pour limite L , signifie que lorsque n est de plus
en plus grand, les nombres u n correspondants viennent s’accumuler autour de L
C’est à dire, tout intervalle ouvert de centre L contient tous les termes de la suite
à partir d’un certain rang.
On note :
lim u_n = L
n → +∞

Mais comment le prouver ?
Chercher la convergence d'une suite, c'est bien chercher ses limites ?

Dans la première conjecture que j'ai faite en cours, nous avions abordé cela :
' la suite un semble décroissante, et converge vers un réel proche de 1,618 '

Ce réel est donc le point de convergence ?

Citation :

Pour la question 4), il faut savoir ce qu'est un nombre rationel. Qu'est-ce que cela signifie qu'un nombre soit rationel par rapport à un irrationnel? Sinon, comme tu le sentais la démosntration se fait aussi par récurrence ici, je te laisse l'entamer.

Un nombre rationnel est un nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction.
J'en déduis donc qu'un nombre irrationnel est un nombre ne pouvant pas s'inscrire sous la forme d'une fraction.

Voici ce que j'ai réussi a faire mais je n'arrive malheureusement pas au bout..

Soit un entier naturel n, on pose P(n) : "pour tout entier n, u_n est un rationnel."
Pour n=0, u0 vérifie la propriété car u0=8=80/10 (j'ai ici pris le nombre rationnel le plus "bête" qui me venait à l'esprit, a-t-il une importance?)
donc P(0) est vraie.

On suppose que P(n) est vraie. Démontrons que P(n+1) est vraie, c'est à dire que u_n+1 est égal à un nombre rationnel. (ici je ne peux plus suivre votre exemple de rédaction, la mienne est-elle bonne??)

On sait par hypothèse de récurrence que u_n = nombre rationnel (pareil ici.)

Et ici, je bloque à nouveau.
Je pense qu'il faut réutiliser ce qui a été démontrer à la question 3)c), mais je ne sais pas comment l'utiliser car ce n'est pas des inégalités à faire correspondre..
Faut-il réutiliser ici la fonction F ?

Je me sens vraiment désespérante, excusez-moi !
Bon début de semaine et merci une nouvelle fois,
Mirabelle.

Oulà, la définition de la convergence est juste mais relativement peu utilisable et utilisé.

En effet, il y a un moyen d'atteindre la convergence avec un théorème plus simple vu toutes les propriétés que nous avons sur u_n. N'oublie pas que ma question venait après la question 3) et ceci n'est pas un hasard du tout (comme beaucoup d'exercice l'ordre des questions à sont importance).

La propriété que j'utilisais mais que tu n'as peut-être pas encore revu ou tout simplement vu c'est:

"Toute suite décroissante et minorée est convergente" (il y a son analogue bien entendu "toute suite croissante et majorée est convergente")

Donc dans la question 3), on a montrer que tous les u_n était dans [α;8] (je vais jusqu'à 8 pour avoir le premier terme mais 3 suffit si on oublie le premier terme) et de plus que la suite (u_n) était décroissante. Donc (u_n) est décroissante et minorée par α, elle converge donc. Et sa limite est dans l'intervalle [α;8] (plutôt logique vu que tous les termes sont coincé là-dedans)

Pour la question suivante que je te posais en plus, il s'agissait de dire que notre fonction F est continue sur [α;8] et si on appelle L la limite de (u_n), on a donc par passage à la limite dans l'égalité u_n+1=F(u_n): L=F(L). Par conséquent, la limite de cette suite ne peut être que α tout simplement d'après les questions précédentes.
Bon c'est un peu complexe pour une reprise mais cela te donne une idée de la question la plus difficile en gros qu'on pourra te poser sur ce genre d'exercice.


Sinon, pour la suite de notre exercice, la fraction la plus simple pour u₀? Essaie 8/1 ça suffira . Il n'y a pas unicité de l'écriture fractionnaire bien entendu. C'est d'ailleurs pour cela qu'on vous fait voir au collège comment rendre irréductible une fraction pour justement avoir une certaine unicité dans l'écriture d'une fraction (c'est idiot mais au moins ça sert à quelque chose ). Donc l'initialisation de notre récurrence est tout à fait exact!

Alors, vu comment tu avais écrit l'hypothèse de récurrence, je me doutais que tu bloquerait à un moment. L'avantage de l'écriture mathématiques c'est qu'elle permet d'écrire concrètement ce que le français ne dit pas. Comment écris-tu concrètement un nombre rationnel? Si je te dit que u_n est un nombre rationnel c'est à dire une fraction, comment peux-tu de façon formelle (c'est à dire avec des lettres) écrire u_n?

La question 4) est en-dehors de la recherche précédente en fait. En effet les questions 4 et 5 ont pour but de te montrer une propriété assez hallucinante des irrationnelles dans l'ensemble des réelles. Je te rappelle que les irrationnelles sont les racines carrée par exemple ou encore Pi et j'en passe. Ici, on sait déjà répondre à la question 5), je pense vu qu'il y a une racine carrée dans l'écriture, il sera peut probable que notre α soit un rationnel. Par conséquent, si on montre que les u_n sont des rationnel, on va pouvoir conclure qu'un irrationnel dont on ne connaît pas l'écriture ni la valeur exacte peut être approcher par une suite de rationnels dont on sait calculer les termes!!!! C'est ce qui permet par exemple de calculer des valeurs approché de racine carrée. Ici, le nombre α est en fait le nombre d'or, le fameux Phi: [1+Racine(5)]/2 et on va pouvoir calculer une valeur approché de celui-ci aussi proche qu'on veut car on aura une suite qui tend vers celui par des valeurs rationnelles dont on sait dont expliciter des valeurs à la main . C'est en fait l'ultime but de cette exercice (la question 3) permet de conclure sur la convergence et les questions 4 et 5 permettent de mettre en évidence une propriété très intéressante des nombre irrationnel). De façon générale d'ailleurs (mais tu ne le démontrera sans doute pas en cours), on peut montrer que tous les irrationnels peuvent être approché par des suites de rationnels. Voilà pour la petit histoire.

Bon courage pour la conclusion de cette récurrence mais si tu arrive à explicité u_n de manière formelle, tu vas débloquer grandement la situation tu va voir. N'hésite pas à poser tes questions si ce quelque chose n'est pas clair ou si j'ai été trop vite sur certains points.

Merci !

L'exercice a été corrigé en cours aujourd'hui, j'ai donc eu la réponse à mes petits problèmes pour les deux dernières questions. J'ai compris mon erreur, c'est vrai qu'il était beaucoup plus évident pour continuer d'utiliser des lettres.

Comment faites-vous pour "sentir" ce genre de choses ? ma question peut paraître sûrement un peu bête, mais souvent en tant qu'élève notre problème est de savoir comment continuer, comment arriver là où l'on veut. Or quand j'ai posté sur ce forum, même si vous n'aviez pas l'exo en entier, vous avez su me guider là ou il fallait, ça paraissait tellement évident..

Bref, je vais quand même mettre la correction (je continue là où je m'étais arrêtée)

On sait par hypothèse de récurrence que u_n est un nombre rationnel, donc il existe deux entiers a et b différents de zéro tels que : u_n = a/b

Donc u_n+1 = (3x (a/b) + 1) / ((a/b) + 2) = (3a+b)/(a+2b)
Dénominateur est un entier, numérateur est un entier aussi. Donc u_n+1 est un rationnel.

_______

Voilà, cet exercice est résolu. Merci beaucoup pour votre aide, ce que j'ai compris ici me fera gagner un temps précieux en cours certainement, car nous n'avons pas un "suivi" aussi détaillé en cours, loin de là..
Je trouve votre boulot vraiment super, beaucoup de gens se font un fric monstre "sur le dos" des élèves qui auraient besoin d'un prof particulier, mais malheureusement toutes les familles n'ont pas les moyens d'en payer un pour leurs enfants. Vous faites ça bénévolement, vos réponses sont vraiment de qualité, vous prenez le temps qu'il faut pour nous aider et surtout vos réponses sont extrêmement rapides, j'ai vraiment été impressionnée !
Un énorme merci à vous, et puis, a très bientôt je pense. ^^

Une dernière question, si je rencontre une difficulté sur un exercice de ce chapitre, je le posterai à la suite de ce sujet ?

Bonne semaine !

Bonsoir,

Alors la question primordiale pour une lecture du forum: "de préférence ne pas poser des exercices les uns à la suites des autres mais dans des sujets différents". Un memebre à déjà testé en fait mais le soucis est que c'est épuisant de lire deux réponses pour deux exercices en même temps (lorsqu'ils sont résolue de front dans un même message) pour moi (alors j'imagine lire deux rédaction de ma part dans le même message xD). De plus, je me suis apperçu que même si cela ne semble pas évident, il est beaucoup plus facile pour vous de faire deux exercices en même temps dans deux messages séparés. Car chaque sujet conditionne l'exercice avec son thème et ses difficulté et il est donc plus aisé pour vous de vous adapté à la résolutions lorsqu'ils sont réellement distinct les uns des autres. Par conséquent, même si celui-là est fini, les questions resteront sur l'exercice en question pour ne pas sortir de sa structure. Car des exercices d'un même chapitre ne se résolvent pas forcément de la même manière (ça sera tellement facile mais hélas beaucoup moins intéressant ).

Sinon, pour revenir à ton exercice, la rédaction de l'avant dernière question est en effet juste ainsi et l'idée était bien d'expliciter concrètement ce qu'il se cachait derrière un nombre rationnel. Et la dernière question est immédiate avec la conclusion que vous avez dû voir en cours sur le fait qu'on puisse approcher les irrationnels par des suites de rationnel.

Je suis désolé si mon aide à paru évidente, j'avoue essayer de ne pas vous démotiver lorsque j'apporte mon aide en essayant justement de bien amener le problème de façon étudier pour bien vous montrer que rien ne sort du châpeau comme on dit. A première vue, il y a encore quelque petite chose qui sorte du chapeau alors je vais essayer de t'expliquer ma démarche:

Le but en fait concrètement est de pouvoir en lisant l'énoncer d'un exercice en déduire les questions. Dit comme cela, cela parait assez halucinant voire même hors de portée. Et bien non c'est tout à fait faisable et c'est ce qui te permettra de gagner un temps précieux car tu feras des choses en les comprenant et non en les subissant.
Par exemple, dans cette exercice, la première chose que je vois ce sont des suites. La question essentielle des suites, c'est: Admet-elle une limite?. Ensuite, c'estl a partie connaissance du cours et surtout habitude des exercices qui me permet de déduire quelque question intermédiaire. En effet, pour chercher la limite d'une suite si elle existe, il y a plusieurs moyen:

Déjà, on cehrche si elle existe en utilisant une approche graphique ou une approche numérique. Cela permet de savoir vers quoi je vais m'engager et si ça sertà quelque chose que je creuse dans la direction de l'existence d'une limite ou si la limite est infinie ou encore s'il n'y a carrément pas de limite.

Bon après nos test, admettons qu'on peut faire l'hypothèse qu'il y ait une limite fini. Maintenant, c'est la démonstration mathématique à l'appuie qu'il faut trouver pour confirmer nos dire:

- Il s'agit d'une suite arithémtique ou d'une suite géométrique => je connais les résultat sur les limites directement
- Une suite croissante et majorée est convergente
- Une suite décroissante et minorée est convergente

Je constate qu'il y a apparition de la monotonie de la suite. Conclusion, vu qu'il ne s'agit pas d'une suite dont on connait déjà la limite, il va falloire étudier la monotonie de celle-ci:

- Le grand classique: Recherche du signe de u_n+1-u_n

Bon jusque là j'ai la trame de ton exercice dans ces grande ligne. Après, il y a des choses qui lui sont propre. Le fait que la limite est le nombre d'or, je ne peux pas le voir d'entrée sauf si j'avais déjà fait l'exercice en question. Par contre, ton exercice rentre dans un autre registre:

- Les suite récurrente! C'està dire qu'ici, il s'agit d'une suite définie par u₀ et u_n+1=F(u_n).

Les suites récurrentes forment la grande base des questions du type "montrer par récurrence que". Les mots sont identique et ce n'est pas anodin du tout. Car les termes de la suite sont bel et bien définis par récurrence (dès qu'on a l'initialisation, on a une propriété hériditaire qu'on suppose vraie par définition cette fois). Et dès qu'on parle de suites récurrente, il y a la notion de fonction qui vient ainsi que la notion de sens de variation de la fonction.

Tu vois qu'en fait tout est liés dans un exercice et que je n'invente rien. Ensuite dans les récurrence elle-même ou dans les questions interne à l'exerccie. Il y a un principe simple à connaître qui se résume en trois questions:

- Qu'est-ce que je veux démontrer?
- Quelles sont mes connaissances pour arriver à ce résultat?
- Qu'est-ce que j'ai dans l'énoncer et dans les questions précédentes pour arriver à appliquer mes connaissance?

Le chemin est déconstructif mais c'est celui qu'il faut faire et non se lancer dans les calculs tête baisser avec l'espoir de terminer. Donc la question que tu avais oublié dans ta dernière récurrence était: "quelles sont mes connaissance pour arriver à ce résultat?". En effet, tu as penser à la récurrencem ais tu à oubleir d'explicité tes connaissance sur les nombres rationnels.

En tout cas je te souhaite bon courage et @bientôt au sein du forum!

Ok, mes futurs exercices se feront dans un sujet bien à part dans ce cas. ^^
D'ailleurs je me rends compte que je m'étais plantée dans l'intitulé du message, j'avais mis "étudier les variations d'une fonction" et non d'une suite.. mais c'est bon, c'est réglé.

Je prends tout ça en note, je tenterai de voir où je vais au prochain exercice

Les maths me paraissent beaucoup moins hostiles depuis que je suis sur ce forum, je suis peut être sur la bonne voie lol.
Bref, trêve de plaisanteries, encore une fois un grand merci, et à bientôt !

Mirabelle