Présentation d'une suite

Bonjour.

Soit (U_n) la suite définie pour tout entier naturel n par :

U_n = √(3U_n-1 +4)
U₀ = 0

Soit (V_n) la suite définie pour tout entier naturel n par :

V_n+1 = √(3V_n +4)
V₀ = 0

Ces deux suites sont-elles les mêmes ou pas ?

Bonjour,

Il faudrait mettre les quantificateurs pour la première suite. En effet, l'expression de récurrence n'est pas définie en n=0 par exemple. Donc elle est valable seulement pour n>0 et on définit ensuite la valeur en n=0.

D'ailleurs dans la logique des choses, on initialise toujours la récurrence avant d'écrire l'égalité de récurrence mais bon c'est un jeu d'écriture (et certains diraient que je chipotte ).

Par contre, l'autre suite a une expression de récurrence définie pour tout entier n ce qui évite les cas particuliers.

Par contre, pour répondre à ta question, il s'agit des deux même suites en effet sauf qu'on ne les définit pas de la même façon. La première aura une fonction de N* dans R alors que la deuxième sera une fonction de N dans R.

Par contre, il doit y avoir une erreur dans la définition de la deuxième suite où sous la racine il doit y avoir V_n sinon, ça n'a pas de sens sauf si on considère la suite U_n déjà défini ce qui change les choses.

Bon courage pour la suite!

Effectivement c'est une faute de frappe : c'est bien V et pas U dans la deuxième expression. J'ai corrigé.

Donc en gros, si dans un énoncé il y a marqué :

Citation :

Soit (Un) la suite définie par U₀ = 0 et pour tout entier naturel n>0 U_n = √(3U_n-1 +4)

je peux très bien, puisque c'est la même chose, remarquer sur ma copie :

Citation :

Soit (Un) la suite définie par U₀ = 0 et pour tout entier naturel n U_n+1 = √(3U_n +4)

?

Au bac cette année j'ai vu qu'ils avaient eu ça :

Citation :

On considère la suite (w_n) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n >=1 :
nw_n = (n +1)w_n−1 +1 et w₀ = 1.

Donc là, si on voulait utiliser une récurrence pour démontrer un truc, on pouvait marquer sur sa copie :

Citation :

On considère la suite (w_n) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n :
(n+1)w_n+1 = (n +2)w_n +1 et w₀ = 1.

?

comme ça dans la récurrence on peut être plus à l'aise en passant de n à n+1 (comme on a l'habitude de faire) plutôt que de passer de n-1 à n

Oui c'esst exactement la même chose. Mais l'intérêt reste limiter de changer l'écriture en fait.

Sauf si tu souhaite réellement te mettre dans les condition de ton apprentissage mais fait attention de bien mettre ce que tu utilises concrètement dans ton exercice. La suite (W_n) était définie avec un pas de décallage en effet mais cela ne changeait rien en soi.

Par contre fait attention si n intervient autrepart que dans l'expression de la suite car lorsqu'on change l'expression cela revient à faire un changemetn d'indice partout n=n+1 et il faut faire attetnion au fait que n peut intervenir aussi dans l'expression même de ta suite.

Exemple: pour n>0, U_n=n*U_n-1 +2/n

Si je souhaite l'écrire au rang suivant pour avoir une expression pour tout n, cela devient: U_n+1=(n+1)*U_n+2/(n+1) (j'ai changé tous les indices).

Le mieux à faire étant de laisser l'expression qu'on a sous les yeux et de travailler avec tout simplement. C'est une capacité à savoir s'adapter à un problème après tout.

Oui je n'avais pas oublié de changer aussi les n en n+1 dans l'expression, mais c'est gentil de le rappeler quand même.

Sinon pour regarder ce qu'ils en avaient fait, dans un corrigé ils ont fait comme j'aurais fait : ils ont changé le W_n et le W_n-1 en W_n+1 et W_n.

Mais alors dans la récurrence, on dit que c'est vrai à un rang n-1, et on montre que ça implique que ce soit vrai au rang n ?? (sans oublier l'initialisation (ici ce sera à initialiser pour n=0 et n=1 alors si on veut que l'hérédité passe !?))

Pour des démonstration par récurrence si tu as bien compris comment elle fonctionnait le n est muet en fait.

C'est à dire qu'on suppose vraie au rang p et on montre qu'il est vraie au rang p+1. Tu mets p=n ou p=n-1, celà ne change rien à la récurrence en soi et heureusement.

n est ce qu'on appelle une variable muette car elle n'a pas réellement ni de nom ni de valeur en soi.

J'espère avoir éclairci ce point-ci en tout cas.

ps: je n'avais pas la fin de ton message lorsque j'ai posté ma réponse ce qui explique le doublon .

Ouai j'ai bien compris le principe de récurrence mais ce que je te demandais c'est que si on fait passer de n-1 à n, dans l'initialisation il faudra montrer non seulement que c'est vrai pour n=0 mais aussi pour n=1 si on veut que cela marche : car notre expression avec n-1 est définie pour n >= 1

Pour initialiser une récurrence, cela ne change rien, on initialise à n=0 si c'est nue récurrence simple (ce qui est le plus souvent le cas en terminale d'ailleurs).

Mais cela dépend en fait de ce que tu dois montrer concrètement. En effet, si tu dois montrer unep ropriété pour tout entier naturel n, alors on intialise à n=0 en tout logiquement. Si c'est pour tout entier naturel n>2 et bien on initialise à n=3, il faut rester logique lorsqu'on effectue une démonstration par récurrence.

Si je devais finir par une caractérisation de la démonstration par récurrence c'est qu'elle ne dépend pas de la suite mais de la propriété que tu énonce et donc que tu dois démontrer. Après la suite vient à l'intérieur de la récurrence mais pas avant si tu veux.

J'espère que c'est plus clair au niveau des jalon à poserp our effecteur une démonstration par récurrence. Sinon, n'hésite pas à poser tes questions!

Mais non, comme notre expression avec n-1 est définie pour n >= 1, l'hérédité marchera à partir de n=1. Donc pour montrer que c'est vrai pour tout n, on initialisera pour n=1 mais faudra alors montrer aussi que c'est vrai pour n=0.

Tu comprends ce que j'essaye de te dire ?

Je comprend vien qu'il y a une confusion entre définition par récurrence d'une sutie et démonstration par récurrence.

Notre suite est définie par récurrence par:
U₀=0
Pour tout n>0, U_n=F(U_n-1)


Par contre si je dois démontrer une propriété par récurrence pour tout entier naturel n., je le fais ainsi:

Soit n dans N, on pose P(n) la propriété à démontrer.
Intialisation: n=0
Hérédité: Soit un entier p non nul, je suppose que P(p) est vraie, démontrons que P(p+1) est vraie


Il ne faut pas confondre ces deux choses. Sinon, il faut me demander plus de précision sur la démonstration par récurrence car il faut bien comprendre ce qu' "est" fondamentalement une initialisation et pourquoi et comment on initialise une récurrence à tel ou tel terme. C'est vraiment fondamentale de bien comprendre cela car lorsque tu verra l'année prochaine ce qu'on appelle des récurrences double ou des récurrence forte (où là, il faut initialise pour n=0, n=1 pour la double et pour la forte, il faut initialiser pour n=0 à k par exemple).

Donc n'hésite pas à creuser tes doutes sur le sujet car c'est vriament très important. La démonstration par récurrence n'est pas du tout liée à notre définition par récurrence.

Citation :

Soit n dans N, on pose P(n) la propriété à démontrer.
Intialisation: n=0
Hérédité: Soit un entier p non nul, je suppose que P(p) est vraie, démontrons que P(p+1) est vraie

Si tu montres que le fait qu'elle soit vraie à un rang p implique qu'elle est vrai au rang p+1 et que ton premier rang p pour lequel il y a hérédité c'est p=1 (puisque tu précise que p est non-nul), alors ton hérédité ne marchera que si tu prouve que c'est vrai pour n=1 !! car si tu dis que c'est vrai à un rang p et ça implique le suivant (pour p non nul), pour que la "machine infinie" commence (qu'elle file la propriété d'une génération à une autre), faut bien que le p=1 soit vraie. Donc ton initialisation est fausse ou alors faudrait préciser dans l'hérédité : pour un entier naturel p quelconque.

Regarde par exemple : soit la proposition P(n) : "7ⁿ + 1 est un multiple de 6"

On peut montrer facilement que le fait quelle soit vraie à un rang n implique qu'elle soit vraie à un rang n+1. Pourtant cette proposition n'est jamais vraie ! Donc il aurait bien fallu faire une initialisation pour que la "machine infinie" commence et on se serait rendu compte que ça marche pas

Donc pour revenir au truc que j'essayais de te dire : si on dit que c'est vrai au rang n-1, un rang c'est forcément positif, donc un rang n-1 n'a de sens que pour n>= 1 !!! donc quand on montrera que c'est vrai au rang n-1, comme ce qu'on fait on le fait pour n>=1, l'initialisation se fait avec n=1, et on rajoute en plus n=0 pour que ça reste valable pour tout n !!

En effet, j'ai fauté dans mon hérédité, c'est pour p entier naturel, il faut enlever le "non nul" qui n'a pas de sens (je voulais mettre un rang quelconque à la base et j'ai changé d'avis je ne sais encore pourquoi d'ailleurs).

Pour ton exemple, le problème est l'initialise, la propriété est fausse car fausse au rang n=0 tout simplement 7₀+1=2 qui n'est pas un multiple de 6 donc c'est plié. Je ne comprend pas ton exemple.

Si ta propriété a montrer est pour tout n, alors tu initialises à n=0 et ton hérédité c'est p vers p+1 tout simplement ou n vers n+1 si tu veux pourquoi démarrer au rang n-1 ça n'a pas de sens en soi.

Citation :

on montrera que c'est vrai au rang n-1

Pour l'hérédité, on ne montre pas que c'est vrai au rang n-1, on le suppose vrai au rang n-1 et on montre que c'est vraie en rang n. Si la propriété est a vérifié pour tout n et que tu initialises à n=0, pourquoi s'amuser à faire une hérédité pour n-1 vraie??? Même si tu as tout à fait le droit après tout si tu souhaite absolument te compliquer la vie mais ça n'a aucune logique, je l'avoue pour le coup.

Mon exemple avec le 7ⁿ + 1 était là pour essayer de te montrer que tu avait fauté sur l'initialisation : c'est pas parce qu'en supposant la propriété vraie à un certain rang et en montrant que cela implique qu'elle soit vraie au rang suivant, que la propriété est vraie pour tout n>= n₀. Comme j'essayais désespérément de me faire comprendre, pour que la fameuse "machine infinie" commence son travail, il faut bien que la propriété soit vraie pour le fameux n₀, sinon elle va "tourner dans le vide" la machine ^^ (je sais pas si mes métaphores ont un sens pour toi ^^).

Et quand tu dis

Citation :

Pour l'hérédité, on ne montre pas que c'est vrai au rang n-1, on le suppose vrai au rang n-1 et on montre que c'est vraie en rang n. Si la propriété est a vérifié pour tout n et que tu initialises à n=0, pourquoi s'amuser à faire une hérédité pour n-1 vraie??? Même si tu as tout à fait le droit après tout si tu souhaite absolument te compliquer la vie mais ça n'a aucune logique, je l'avoue pour le coup.

ben justement c'était le sujet de mon topic : je change l'expression qu'ils nous donnent en (n+1) et n pour pouvoir travailler dans l'hérédité avec une génération n et sa suivante.

Mais sinon tu m'as dit qu'il fallait aussi savoir s'adapter à un problème : c'est pourquoi j'essayais de comprend pourquoi tu disais que j'avais faux. Donc final ais-je raison quand je dis :

"si on dit que c'est vrai au rang n-1, un rang c'est forcément positif, donc un rang n-1 n'a de sens que pour n>= 1 !!! donc quand on montrera que c'est vrai au rang n-1, comme ce qu'on fait on le fait pour n>=1, l'initialisation se fait avec n=1, et on rajoute en plus n=0 pour que ça reste valable pour tout n !!" ??

je pense que oui vu tout ce que je viens de t'expliquer, et tu m'a accusé de confondre "récurrence de la suite" et "raisonnement par récurrence" mais je pense ne jamais avoir confondu ces deux choses, c'est juste que je me suis mal fait comprendre en essayant d'expliquer ce que je voulais dire.

Maintenant je suis tout embrouillé


Edit : arf, et maintenant je ne parle même plus français :s

Essayons de faire le point calmement. Je persiste à dire qu'il y a un os dans ton raisonnement qui est peu clair certe mais que j'ai compris dès ton premier message en fait aussi bizarre que cela puisse parraître et je maintiens que tu te trompe de raisonnement.

Le but n'est pas de commencer l'hérédité mais:

- d'abord de savoir ce qu'on doit montrer et donc enoncer la propriété pour un n fixé dans un ensemble (et c'est cette ensemble qui engrange la machine!!)
- ensuite on initialise
- et seulement à la fin on se pose des questions sur l'hérédité.

On ne commence jamais dans une démonstration par récurrence par se dire: "Si je suppose que je démarre l'hérédité par n-1 alors il faut que....": NON !!!

On commence par se dire "je dois démontrer par récurrence que la propriété est vrai pour tout n≥n₀". Alors:

Soit n≥n₀, on pose P(n).

Initialisation: P(n₀) est vraie

Hérédité: soit k≥n₀, je suppose que P(k) vraie. Démontrons que P(k+1) est vrai.

Cette némarche est valable INDÉPENDEMMENT de la définition de la suite (U_n). Je n'ai même pas encore regarder sa forme à la rigueur.

Maintenant, pour montrer l'hérédité, j'ADAPTE la forme de Un à la forme de P(k) et de P(k+1).

Pour moi, en tout logique, le raisonnement, ne doit JAMAIS se faire dans l'autre sens (d'ailleurs je l'écrirai pas pour pas donner de confusion ).

Est-ce plus clair ainis?

Ok, donc lorsque l'on va adapter la forme de U_n à notre proposition, on va bien sûr changer sa forme de U_n = f(U_n-1) à U_n+1 = f(U_n)

C'était là le sujet de mon tout premier message : est-ce alors la même suite ?

Je pense que c'est clair maintenant.

j'ai édité mon message, donc si t'étais déjà en train de répondre, regarde le début

C'est exactement la même suite car on change juste l'indiçage ce qui ne change ni l'ordre des termes ni la valeur de ces termes.

La conclusion part rapport à ton message c'est que oui, il faut adapter la suite à la récurrence. ET par conséquent, oui, on a le droit de le faire car c'est la même suite à la base.

Est-ce que là c'est bon ou j'ai encore rien compris à ce que tu me demandes?

Nan nan là c'est bon.

Excuse moi encore pour tout ce bordel.

Aucun problème ne t'inquiète pas.

Bien au contraire, je dirais car ça m'oblige à être précis dans mes explicatino et toi aussi (la rigueur s'apprend en maths et s'utilise dans le débat en français/philosophie aussi ).

Mon but ultime est que tu comprennes les choses et que la rigueur du raisonnement soi respecté (autant que faire se peut si je peux dire). Donc si tu as compris où étiat le soucis (qui n'ai pas si gros en fait mais qui reste fondamentale) c'est le principale pour moi et sinon, je suis pret à ré-expliquer autrement encore (je pense avoir encore quelque ressource ou je l'espère même à cette heure lol).

Bon courage pour la suite et n'hésite surtout à poser tes questions (c'est à moi de m'adapter à la compréhension et non l'inverse ).