fonction ln

bonjour je suis bloqué avec les deux premières questions de mon exercice les voici:

g est la fonction definie sur [0. +infini[ par g(0)= 0 et pour tout réel x>0 g(x)= x/ (x-lnx)
C est sa courbe représentative dans un repère (O,i,j) orthonormal.

1. Etude de la fonction g

1)justifier que l'ensemble de definition de g est [0.+infini[.

2)démontrez que lim g(x)=0 quand x tend vers 0

pouvez vous m'aider pour ces deux questions je suis bloqué

Mmmm sympa les fonction ln ^^
a mon avis deja fait la dérivé puis étudie son signe et comme sa tu sera G(x) ainsi tu pourra dire qu'elle est défini sur (0 +infini)

Bonjour,

La démarche de l'exercice est en fait de montrer que notre fonction G est continue en 0. Et pour celà, il va falloir pouvoir montrer que sont ensemble de définition est bien [0;+Inf[ et de plus que la limite pour x différent de 0 de G(x) est bien 0 lorsque x tend vers 0. Ainsi, on aura montré que G est bien définie sur l'ensemble en question mais qu'en plus nous avons récupéré la continuité en 0 que nous n'avions pas à priori. En effet, la fonction x|--> x/[x-Ln(x)] n'est pas défini en 0 vu que le logarithme népérien n'est pas défini en 0.

Alors, essayons maintenant de comprend ce qu'on attend de nous. Comment savoir si la fonction esst bien définie en tout point de l'intervalle [0;+Inf[? Et bien, il faut revenir à la définition même de ce qu'est l'ensemble de définition d'une fonction.

Une fonction est définie sur un intervalle I si pour toutes les valeurs x dans I, alors G(x) est existe. Alors est-ce le cas et pourquoi? C'est bien le cas car on nous le dit (pas mal la réponse, n'est-ce pas? ) mais surtout pourquoi? Et bien, nous savons déjà que la fonction G est définie en 0 vu qu'on nous donne même sa valeur. Il nous reste donc à savoir si la fonction x|--> x/[x-Ln(x)] admet ]0;+Inf[ comme ensemble de définition.

Je te laisse regarder pourquoi c'est bien le cas et le justifier surtout.

Il n'y a donc pas de dérivation à faire au contraire!! Il ne faut surtout pas dériver car on ne sais même pas l'ensemble de définition alors connaître l'ensemble de dérivation ne sera pas plus simple (le plus souvent c'est extrêment lié mais on déduit l'ensemble de dérivation à partir de l'ensemble de définition justement et non l'inverse!). En pratique, on ne dérive jamais une fonction lorsqu'on ne connaît pas son ensemble de définition et donc son ensemble de dérivation. En effet, il en viendrait pas à l'idée de tenter de conduire une voiture sans avoir mis d'essence dans le réservoir. Et bien ici c'est la même chose, tant qu'on n'a pas le réservoir d'ensemble de départ de la fonction, on ne touche pas à la fonction car on ne peut pas démarrer tout simplement.


Pour la deuxième question, il va falloir calculer la limite de G(x) pour x différent de 0 c'est à dire que G(x)=x/[x-Ln(x)] lorsque x tend vers 0 (c'est la définition de la limite en 0⁺ ou lal imite en 0 par valeur supérieur). Vu qu'on sait déjà que G(0)=0, c'estl a seule chose qu'on a a calculer pour conclure pour cette question.

Est-ce que cela te paraît plus clair ainsi?

Bon courage!

je n'ai pas trop compris

En fait, la première question est une vérification. Essaie peut-être de lal ire ainsi:

1) Quel est l'ensemble de définition de la fonction G?

On connait déjà la réponse mais le but est de justifier la réponse donnée par l'énoncer que tu as toi. Par conséquent, essaie de répondre à celle que je propose avec tes arguments sans te fier à la réponse donnée par ton exercice. Ainsi, tu auras la justification recherchée tout simplement.

Est-ce plus clair ainsi? Sinon, pourrais-tu détailler ce que tu ne comprends pas justement.

Bon courage!

oui c'est clair mais je ne comprend pas comment démontrer l'ensemble de définition je sais que le dénominateur x - ln x ne doit pas être égale à 0 mais aprés je ne sais pas comment le démontrer

alros, en effet pour qu'une fractino existe il faut et il suffit que son dénominateur ne soit pas nul. C'est une définition (on n'a pas le droit de divisier par 0 tout simplement). Par conséquent, on ne le démontre pas.

Alors maintenant, est-ce qu'il existe des valeurs de x qui annule x-Ln(x) ? Si oui lesquelles et si non pourquoi?

En d'autre temres, l'équation x-Ln(x)=0 a-t-elle des solutions dans R ? Mais avant de commencer la résolution, il faut déjà dire le domaine de validité de cette équation (en effet le logarithme n'est pas défini sur R tout entier).

Bon courage!

la fonction ln est défini sur [0, +inf[ donc je dois résoudre l'équation lnx -x =o

Je ne suis pas tout à fait d'accord sur l'ensemble de définition de la fonction logarithme népérien.

Admettons que ton ensemble de définition soit juste, que vaut le logarithme en 0 par exemple?

je me suis trompé c'est ]0; +inf[ .

pour x - ln x
x = ln x
e^x= x

En effet, c'est bien ]0;+Inf[ pour l'ensemble de définition du logarithme népérien.

Alors que constates-tu pour l'équation. Y a-t-(il des valeur de x pour lesquel Ln(x)=x ? C'est à dire est-ce quel a courbe représentative de la fonction logarithme népérien coupe la droite d'équation y=x.

En effet résoudre l'équation Ln(x)=x. Revient à chercher les abscisses des points d'intersection entre la courbe d'équation y=Ln(x) et la droite d'équation y=x.

Donc est-ce possible ?

non elle ne coupe pas l'axe y=x

C'est tout à fait exacte!!

Donc il n'y a pas de solution à cette équation et par conéquent, le dénominateur ne s'annule jamais en fait. Conclusion pour l'ensemble de définition de la fonction x|-->x/[x-Ln(x)] ? Puis conclusion poru l'ensemble de définition de G.

Bon courage!

vu que le dénominateur n'est jamais nul et que x est définie sur R alors la fonction g est définie sur [0; +inf[

Oui c'est en gros l'idéem ais après, il faudrait bien l'écrire tout de même. Il faut essayer de mettre en évidence ce qui permet de conclure. Donc en effet, le dénominateur ne s'annule pas et est défini sur ]0;+Inf[ et le numérateur est défini sur R. Donc dans un premier temps, on conclut sur l'ensemble de définition du quotient.
Et ensuite seulement, on met en évidence qu'en 0, la fonction G est définie car on nous donne l'image de 0 et par conséquent, on peut conclure.

Est-ce que tu comprend la démarche? Il faut vraiment mettre tous les arguments qu'on peut avoir en notre possession pour bien montrer qu'on a compris le raisonnement.

Pour la question 2), il faut tout simplement calculer la limite lorsque x tend vers 0 par valeur positive de la fonction F(x)=x/[x-Ln(x)] (qui n'est autre que G(x) pour x>0). Est-ce que tu as des idées ?

Quelle est la limite du dénominateur par exemple? Puis du numérateur?

Bon courage!

oui je comprend la démarche.
si comme réponse j'écris x - ln x est définie sur ]0; +inf[ car la fonction ln x est défini sur ]0; +inf [ donc le dénominateur >0

de plus x est définie sur R donc la fonction g est bien définie sur [0; +inf[ dois-je rajouté des choses ou cette explication suffit?

pour la question 2a)

lim de ln x = - inf lim x =0 donc lim de x- ln x= 0
x= 0

donc par quotient lim de g(x) = 0

Citation :

x - ln x est définie sur ]0; +inf[ car la fonction ln x est défini sur ]0; +inf [ donc le dénominateur >0

Le "donc" n'a rien à voir ici. En effet c'est défini sur ]0;+Inf[ mais ce n'est pas forcément à valeur positive. C'est juste différent de 0 comme d'après une interprétation sur les courbes c'est ce qui compte. Si nous voulons être rigoureux à partir du moment où tu as exhibé l'ensemble de définition de la fonction H(x)=x-Ln(x), il faut drait démontrer que celle-ci ne s'annule pas en faisant le tableau de variation de cette fonction H. En tout rigueur c'est ce qu'il faudrait faire en tout cas. Ca ne prend pas plus de temps que d'écrire pourquoi ça s'annule pas d'après les courbes (en tant qu'intersection de deux courbes) que d'effectuer cette étude de fonction.

Sinon, pour la limite ça aurait pu être nickel. En effet, tu écris que:lim de ln x = - inf lim x =0 ce qui est otut à fait exacte lorsque x tend vers 0. Cependant, je doute de la conclusion que tu en tires juste après: "donc lim de x- ln x= 0".

En bien non vu que le logarithme tend vers l'infini, cela m'étonnerait fort que la limite soit 0 qu'en penses-tu avec du recule?

Je te laisse rectifier.

Bon courage!

donc la lim de g est + infini

Essayons de ne pas tirer à pile ou face tout de même .

Pourquoi la limite de G serait l'infini? Sahcnat quel a quesiton c'est justement de montrer que cette limite est bien égale à 0.

Donc quelle est la limtie de x-Ln(x) qui est le dénominateur de notre fonction?

Bon courage!

la limite du dénominateur est o

Et bien non justement. Tu as écrit toi même que:

Lim_x-->0 Ln(x)=-∞ et que Lim_x-->0 x=0

Donc:

i) Que vaut Lim_x-->0 -Ln(x) ?
ii) Conclure pour la valeur de Lim_x-->0 x-Ln(x).

Bon courage!

lim -ln x = +inf

donc x - ln x = FI

Ha non justement c'est une forme bien connu celle là.

La limite de x+1 lorsque x tend vers +Inf est bien égale à +Inf car 1 a une limite fini en +Inf. Autre exemple, la fonction x|--> x² -x +1 est une forme indéterminer en +Inf car x² tend vers +Inf et -x tend vers -Inf. Cependant, si je mets x² en facteur j'obtiens: x²*[1-1/x + 1/x²] et en +Inf, la limite de -1/x et 1/x² est égale à 0 donc la limite de la parenthèse est égale à 1. Et la limite de x² est égale à +Inf ce qui nous donne bien +Inf car 1 est une limite fini.

A partir du moment où il n'y a plus qu'un seul temre qui tend vers l'infini, on peut conclure quel e tout tend vers l'infini tout simplement car les autre terme sont forcément plus petit.

Essayons d'être logique ici. En effet, x va se rapprocher de plus en plus de 0 tandis que -Ln(x) va devenir de plus en plus grand. Ainsi, lorsque x se rapproche de 0 j'ajoute quelque chose de très proche de 0 à quelque chose de très grand donc l'addition est bien quelque chose de très grand. Qu'en penses-tu?

Donc ici la limite de cette soustraction est de ?
conclusion, la limite du quotient est de ?

Bon courage!

oui pour l'explication je comprend

la soustraction tend vers +inf car lim -ln x= +inf

donc le quotient tend vers 0

C'est nickel!!

En effet, vu que le numérateur tend vers 0 et qu'on divise par quelque chose de très grand, on est toujours très très proche de 0. D'où le résultat!

Bon courage pour la suite!