application du produit scalaire

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice...
ABC est un triangle .I milieu de [BC] et H le projeté orthogonal de A sur [BC].
AB=4 AC=6 BC=8
1) Quel théorème permet de calculer AI? Faites ce calcul.
2) Quel théorème permet de calculer cos BAC? FaiteS ce calcul.
3) Déduisez-en sin BAC ( utiliser la formule cos²x+sin²x=1)
4)a) Calculez l'aire de ABC
b) Déduisez-en AH ( on donnera la valeur exacte)

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
J'ai trouvé AI= racine de 10 pour la première question en utilisant le théorème de la médiane mais je n'arrive pas à faire la suite...

Bonjour,

Pourrais-tu énoncer le fameux théorème de la médiane (savoir d'où il sort serait encore mieux d'ailleurs).

Pour la deuxième question, avoir accès à un cosinus est plutôt difficile en effet. Dans quel théorème as-tu accès à un cosinus? Le plus classique est la définition en fait dans un triangle rectangle.

Or ici quels triangles sont rectangles justement?

Bon courage!

Théorème de la médiane:
ABC est un triangle, I est le milieu de [BC] alors,
AB²+AC²=2AI²+1/2BC²
Pour la deuxième question, peut-on aussi utiliser le théorème d'AL Kashi ?quelle méthode est la plus judicieuse, celle du triangle rectangle ou alors celle d'Al kashi? Avec la deuxième je trouve au final, cos BAC = 1/4, c'est juste ?
Mais après, avec cette méthode je ne vois pas du tout comment en déduire le sinus de BAC... je ne me m'y retrouves plus

En effet, si tu connais la formule d'Al-Kashi c'est encore plus radicale a²=b²+c²-2bc*Cos(A). Je comptais te faire démontrer cette formule en fait. Donc on aboutit à la même chose.

Sinon, pour déduire le sinus de l'angle, on te propose une indication. Nous avons donc en notre possession, le cosinus de l'angle et nous savons que pour tout valeur de x, Cos²(x)+Sin²(x)=1.

Il y a deux valeurs possibles pour le sinus mais une seule est valable dans notre cas pourquoi? Et quelle est cette valeur bien entendu.

Bon courage!

D'accord, alors en faisant sin² = 1 - cos² je trouve racine de 15/16 mais je ne suis pas sure que ça soit juste...
ensuite pour la question 3, l'aire de ABC se calcule en faisant S= 1/2 AC x AB sin BAC, c'est ça ? par contre pour la 3. b) j'ai plus de mal...

Bonsoir,

On va revenir sur le calcul du cosinus, pourrais-tu détailler ton calcul car je ne suis pas tout à fait convaincu du résultat en fait.

Sinon, pour le sinus tu trouves+ ou - la racine carré, il restera à savoir si c'est l'un ou l'autre justement. D'ailleurs ne pouvons nous pas conclure sur le signe avant même de faire les calcul. Est-ce que le sinus est positif ou négatif d'après toi ?

Enfin, la formule pour l'aire est exacte. Sais-tu la démontrer au cas où? Pour la question, suivante, il faudrait pouvoir exprimer l'aire du triangle à l'aide de AH pour pouvoir conclure. As-tu des idées?

Bon courage!