produit scalaire

Bonsoir , j'ai un exercice de produit scalaire et j'espère votre aide
ABC est un triangle de centre de gravité G .
on désigne par A',B' et C' les milieux respectifs des segments [BC] , [AC] et [AB]
1) montrer que AA'²= 1/2 AB² + 1/2 AC² - 1/4 BC²
2) en déduire que GA²+GB²+GC²=1/3(AB²+AC²+BC²)
3) on donne AB=4 BC=5 et AC=7
 a) déterminer et construire l'ensemble E1 des pts M tq MA²+MB²+MC²=78
 b) mq GA.GB+GA.GC+GB.GC ( ce sont des vecteurs ) = -1/2 ( GA²+GB²+GC²)
 c) en déduire l'ensemble E2 des pts M tq MA.MB+MA.MC+MB.MC ( ce sont des vecteurs ) =60

je bloque dans 3b) et 3c)
en fait pour 3b) est ce que je dois vérifier l'égalité selon les données AB=4 BC=5 et AC=7 ?
MERCI

Bonsoir,

Pour toute la question 3) les longueurs des côtés du triangle sont données. Il est donc possible de les utiliser dans aucun problème.
Pour la question 3)b), il faut faire apparaître les carrés des longueurs en jouant sur la relation de Chasles sur les vecteurs.

En effet:
GA.GB = GA² + GA.AB

C'est une idée mais je ne sais pas si celle-ci aboutit pour ma part mais ça à le mérite de faire apparaître les sommes des carrées des longueurs GA, GB et GC.

Pour la 3)c), d'après la question 2), on a: GA²+GB²+GC²=1/3(AB²+AC²+BC²) = 1/3 * (16+25+49) 30
Donc en utilisant la question 3)b), on a:
GA.GB+GA.GC+GB.GC ( ce sont des vecteurs ) = -1/2 * 30 = -15 = -1/4 * 60

Mis cela n'aboutit pas plus ce qui me choque pour l'instant cela serait la relation négative et le en déduire qui en ressort.

Bon courage et n'hésite pas à proposer des idées peut-être que je pourrai les orienter mais là j'avoue ne pas avoir beaucoup d'idée à proposer en plus.