produit scalaire

Salut , j'ai un DM qui me perturbe
ABC un triangle tels que AC=a , AB=2a et BAC=60°
I le milieu de [BC]
1/mq ABC est rectangle en C
2/ Déterminer et construire l’ensemble Z={M app au plan / MB.MC=a²} ( vecteurs)
soit D une droite passant par B
3/Mq D coupe Z en deux pts K et L tq BK.BL= -a² ( vecteurs )
4)soit T l'ensemble des pts M tq 2MA²-MB²+MC²=13a² et 2MA²-3MB²-MC²=3a²
a) mq M appartient à T ssi M vérifie MA²-MB²=4a² et MB²+MC²=5a²
b) en déduire que T= Z inter D' où D' est la perpendiculaire à (AB) en B .
5)on pose T={E,F} avec BE>BF
calculer BE , en déduire BF

je bloque en 3/ ( BK.BL= -a²)
et 5/ (calcul de BE)
merci

Pour la question 2), on trouve un cercle de rayon (3/2)a et de centre I
De plus, sachant que BC=a*sqrt(5) donc IB=(a/2)*sqrt(5) < (3/2)a
Du coup, D coupe bien le cercle Z en deux point K et L.

Vu que B appartient au segment [KL] par construction, j'ai forcément:
BK.BL= - BK*BL

Il faudrait montrer que BK*BL=a² mais pour l'instant je bloque aussi sur cette piste là surtout que je ne me suis pas encore servi du fait que L et K était sur le cercle.

MB.MC=a²
MI²-IB²=a²
MI²=IB²+a²=a²+1/4 BC²=a²+3a²/4 = 7a²/4 donc je trouve MI=sqrt(7/4)a !!  est ce que vous pouvez m'indiquer ma faute ?
Il me parait aussi que BC = sqrt(3)a !!
le problème aussi avec BK.BL c'est qu'on sait déjà que LB.LC=a² et que KB.KC=a² mais en essayant de les faire apparaître il y a toujours quelque chose qui cloche !
en écrivant ainsi BK.BL = (BL+LK).(BC.CL)
ou encore BK.BL=(BC+CK).(BK+KL)
on ne trouve rien de remarquable !!

Oh la vache, je suis vraiment rouillé sur le programme de lycée.

J'ai fait une erreur classique: IC=-IB et non IB, du coup, j'ai planté le signe dans la résolution de mon équation, ce qui me donnais 5 au lieu de 7 en effet.
BC est bien égale à a*sqrt(3).

Le raisonnement reste inchangé pour montrer qu'il y a bien deux points d'intersection.

Pour la suite, je continue de chercher pour ma part.

Bonjour,

Désolé mais pour ma part, je sèche sur cet question.
En revanche, si tu as la correction, je serai preneur pour pouvoir comprendre la démarche qu'il fallait prendre en compte ici car le seul moyen que je verrai serait de définir un repère et d'effectuer les calculs dans le repère en redéfinissant les coordonnées des points et donc calculer le produit scalaire de façon brute mais bon je pense qu'il y a plus accessible et plus simple que cela mais je ne vois pas quoi pour ma part.

Bonne continuation!

même mon prof , en lui montrant l'exercice , n'a pas trouvé une solution évidente et simple .
si la définition d'un repère est vraiment la solution quel doit être ce repère ?

Bonjour,

Après diverses tests, je tourne en rond sur le repère. Les vecteurs sont en gras.

J'ai pris (C, AC/||AC||, AB/||AB||) comme repère vu qu'on a démontré que ABC est rectangle en C ce repère est orthonormé avec:
C(0,0)
A(a,0)
B(0,a√3)
I(0,(a/2)√3)

Du coup, j'ai ré-exprimé les produit scalaire caractérisant les point K et L sachant que :
la droite (D) a pour équation: y=β*x + a√3 ou x=0.

Mais je tourne totalement en rond sauf pour ceci:
Vu que L et K appartiennent à l'ensemble Z, on a forcément (en faisant la différence des deux égalités et en prenant en compte que L et K appartiennent à (D) ):
x_K - x_L = 0
ou
x_K + x_L = - aβ√3 / (1 + β²)

Le premier cas donnerait le fait que x_K = x_L c'est à dire que (D) correspond à l'axe des ordonnées à savoir aurait pour équation x=0 (K, C, B et L alignés).

Ce cas est plus simple à gérer car on sait que pour tout M de Z, on a MI²= (7/2)a²
Or K, L appartiennent à Z et nous sommes dans le cas où x_K = x_L = 0

Donc on considère le cas où M(0,y) ce qui donne: [(a√3)/2-y]² = (7/4)a²
Donc: (a√3)/2-y = + ou - a√7/2

Conclusion : y = [a√3 + ou - a√7] /2

Ce qui nous donne les deux ordonnées différentes correspondant au point K et L respectivement.

Du coup: BK.BL = 0 + ( [a√3 +  a√7] /2 - a√3)*( [a√3 -  a√7] /2 - a√3)

Donc : BK.BL =  ( [-a√3 +  a√7] /2 )*( [- a√3 -  a√7] /2 )

c'est à dire BK.BL =  - [-a√3 +  a√7] *[ a√3 +  a√7] / 4

Donc : BK.BL =  - [-3a² +  7a²] / 4

Conclusion: BK.BL =  - a² lorsque B, K, L et C sont alignés (c'est à dire (D) confondue avec (BC) ).

Maintenant, il resterait le cas général avec:
y_K = βx_K + a√3 car K appartient à (D)
y_L = βx_L + a√3 car L appartient à (D)

En utilisant la différence des deux produits scalaires caractérisant Z, on arrive donc à ceci:
x_K + x_L = - aβ√3 / (1 + β²)

Et en utilisant la somme de ces deux égalités, nous arrivons à ceci:
x_K² + x_L² + y_K² + y_L² -a√3*(y_K+y_K) = 2a²

Le but étant de montrer que  BK.BL=-a², il faut donc exprimer le produit scalaire:
BK.BL = x_K*x_L + (y_K -a√3)*(y_L -a√3)

Ce qui peut être utile:
(x_K + x_L)² = x_K² + x_L² + 2*x_K*x_L
(x_K - x_L)² = x_K² + x_L² - 2*x_K*x_L

Et pour ma part à partir de là, je n'ai pas encore trouvé la combinaisons entre l'ensemble des équations permettant de conclure.

Victoire !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Donc, je reprend:

BK.BL = x_K*x_L + (y_K -a√3)*(y_L -a√3)

Or:
y_K = βx_K + a√3 car K appartient à (D)
y_L = βx_L + a√3 car L appartient à (D)

Donc:
y_K -a√3 = βx_K
y_L -a√3 = βx_L

Conclusion:
BK.BL = (1+β²)*x_K*x_L

Or: xK + xL = - aβ√3 / (1 + β²)

c'est à dire : xL = - xK - aβ√3 / (1 + β²)

Donc:
BK.BL = (1+β²)*x_K*[- xK - aβ√3 / (1 + β²)]

c'est à dire: BK.BL = - (1+β²)*x_K² - aβ√3*x_K

Or: K appartient à Z, donc on a aussi: KI²= 7a²/4
c'est à dire: x_K² + [y_K -(a√3)/2]² = 7a²/4

De plus, y_K = βx_K + a√3 car K appartient à (D)

Donc: x_K² + [x_K + (a√3)/2]² = 7a²/4

c'est à dire: (1+β²)*x_K² = - aβ√3*x_K + a²

Conclusion: BK.BL = -a² !!!!!!!!!!!!!!!!

Tu m'en auras fait baver ;-). Je t'ai laissé tous les calculs intermédiaires à justifier.

wawwwwwww !! il me semble que c'est plutôt un problème ouvert qu'une question qu'on propose dans un devoir !!!
EXCEPTIONNEL…c'est peu dire... Chapeau bas Monsieur

Bonsoir,

Il est clair qu'il faut préciser que cet exercice ne tomberait jamais en devoir ni même en devoir maison en France. Il n'y a vraiment qu'au Maroc et en Tunisie qu'on peut demander un tel niveau algébrique en 1ère S.
Cela relèverait en effet d'un problème ouvert mais bon j'avoue que je n'ai pas été très pédagogue sur le forum car je t'ai donner la totalité de la trame mais bon, il te reste tout de même toutes les manipulations algébrique pour trouver la sommes des deux abscisses et quelques calculs intermédiaires.

En revanche, j'avoue que je n'ai pas trouvé de méthode purement géométrique pour résoudre le problème. Par contre, l'avantage étant que pour les calculs restants, nous avons l'ensemble des coordonnées pour conclure sauf erreur de ma part et même calcul les dernières distances normalement.

Bonne continuation en tout cas et merci pour ce joli exercice qui m'a rappelé des souvenirs de prépa (MPSI / maths sup) pour le niveau en France en tout cas.