produit scalaire

Bonjour,
je n'arrive pas à faire l'exercice suivant :
On considère le repère (I, i, j) ou I est le milieu du segment [BC], i = (1/4)*BC et j est le vecteur orthogonal à i, colinéaire au vecteur IA ; ce repère ainsi défini est un repère orthonormé du plan (et direct).
Calculer les coordonnées des points A, B et C dans ce repère, des vecteurs AB et AC.
En déduire le produit scalaire AB.AC.

Je suis bloquée au niveau des coordonnées, comment faire ? Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Bonjour,

Pour bien comprendre les choses, il faut revenir à la définition de ce que sont les cooronnées d'un point dans un repère orthonormé.

Prenons le cas standard c'est à dire le repère orthonormé (O,i,j) et un point M de coordonnée (x,y) dans ce repère.

On sait donc par définition, que le vecteur OM a pour coordonnées dans ce repère (x,y). De plus, par définition, nous avons aussi i(1,0) et j(0,1).

Ainsi, on retrouve la définition de coordonnées dans un repère en écrivant que:

OM=x*i+y*j avec O origine du repère, i premier vecteur de base et j deuxième vecteur de base.


En conséquence, dans ton exercice, on te demande de changer de repère en considérant cette fois-ci le repère (I,i,j) avec i et j définis dans ton énoncer.

Donc un point M aura pour coordonnées (x,y) dans ce repère si et seulement si IM=x*i+y*j

Par conséquent, la question qui t'est réellement poser c'est d'exprimer le vecteur IM (avec M les points correspondant aux points recherchés) en fonction de i et j.

Est-ce que celà te paraît plus clair? Dans ce repère I a pour coordonnée (0,0) vu qu'il en est le centre et les vecteurs i et j sont tous les de norme 1 vu que le repère est normé et de plus leur produit scalaire est nul vu que le repère orthogonale aussi.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

D'accord, je me représente mieux l'exercice mais je ne vois pas encore comment trouver concrètement les coordonnées de A, B, et C à partir de vecteur IA vecteur IB ou vecteur IC ? Quelles données faut-il utiliser ?

En effet, il faut bien regarder les coordonnées des vecteurs IA, IB et IC dans le repère (I;i,j) pour en déduire les coordonnées de A, B et C dans ce repère.

Maintenant, il est vrai qu'il n'y a pas beaucoup d'information sur les ponit A, B et C. Cependant, nous pouvons déduire peut-être plus facilement les coordonnées des point B et C dans le repère. Donc commençons par ceux là.

Quelles sont les coordonnées du point B dans le repère (I;i,j)? (la démarche sera presque la même pour le point C)

Pour celà, essayons de comprendre les choses et de déduire le plus possible d'informations dans l'énoncer. Par conséquent,

i) Que savons-nous du point I?
ii) Qu'en déduisons-nous pour le vecteur IB par rapport à CB?

A partir de là, il fautfiare un retour à l'énoncer vu qu'on aura déduit tout ce qu'on peut déduire du point I. Et donc:
i) Comment est défini le vecteur i?
ii) Conclure sur les coordonnées du point B.

Est-ce que la démarche te semble claire? Il faut en fait se mettre dans la peau d'un détective si tu veux. Donc tu cherches à résoudre un problème (votre mission si vous l'accepter trouver les coordonnées du point B) et pour celà il faut que tu utilises toutes les pistes de l'énoncer (tout ce qui est en lien avec le point B donc et les vecteurs définissant le repère qu'on considère). Le tout étant d'arriverà faire le lien entre les indices et ce qu'on souhaite trouver et pour cela, il n'y a pas diverce façon, il faut être méthodique et utiliser les indices les uns après les autres pour en déudire grâce à notre cours ou de façon logique des choses en lien avec notre problème.

Bon courage!

d'accord merci beaucoup ! je dois continuer cet exercice en calculant cette fois-ci
AB.AC en utilisant la formule du produit scalaire de deux vecteurs utilisant une projection, à savoir :
AB.AC = AB.C'D'
J'ai du mal à trouver le résultat, parce qu'en calculant AB.AC je trouve 0, comment procéder ?

Bonsoir,

Déjà combien trouves-tu comme résultat en utilisant la formule de produit scalaire utilisant les coordonnées des vecteurs?

Au moins nous serons combien nous devons pouvoir trouver justement.

Ensuite, pour utiliser la projection, il faut faire la figure pour pouvoir connaître explicitement les coordonnées des projetés justement.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!