asymptotes

Bonjour !
J'ai deux exercices à faire pour un dm, l'enoncé est le même :
On donne le tableau de variation de la fonction f (ci dessous)
Precisez alors une equation des eventuelles asymptotes.

Pour le 22, j'ai trouvé :

x = 0

et le 23 :

x = -1

Je ne trouve pas les autres.
Merci d'avance

Bonsoir,

Ce un devoir maison plutôt ouvert je dirai vu qu'il n'y a pas de ligne directrice dans l'énoncer. Il est donc brute et c'est à nous d'avancer.

Déjà qu'elle est la définition d'une asymptote en a par exemple avec a un réel fini?

Car j'ai l'impression qu'il y a un petit soucis dans la définition vu que dans le numéro 23, x=-1 n'est pas une asymptote. Alors essayons déjà de revenir aux sources pour la définition d'une asymptote verticale d'équation x=a pour une fonction F quelconque.

Ensuite, nous verrons s'il y a des asymptotes obliques ou pas (d'ailleurs si tu redonnes la définition en même temps pourquoi pas cela fera quelque révision et permettre d'anticiper la suite au cas où).

Bon courage!

la définition est si lim f(x) = + l'infini ou - l'infini, alors la droite d'équation x = a est asymptote à C

je viens de comprendre comment trouver les asymptotes !! par contre j'ai du mal au numero 23, lorque x = - l'infini et f(x) = + l'infini, quel type d'asymptote est-ce si il y en a une ??. Ensuite lorque à la valeur interdite, lorque f(x) = 0, je susspose que c'est une asymptote oblique mais je ne sais pas comment la démontrer ?

Nickel!!

Donc si on la réécrit un peu:

Citation :

Soit un réel a,
On dira que la droite d'équation x=a est asymptote à la courbe représentant F si: Lim_x-->a F(x)=+ou-∞

Si on veut être un peu plus précis, on pourra dire par exemple:

Citation :

La droite d'équation x=a est asymptote à droite si Lim_{x-->a avec x<a} F(x)=+ou-∞ (on parle aussi de limite en a^-

En effet, on tend vers la droite d'équation x=a vers la gauche et donc la droite en question est bien à droite de la courbe.

Il y a bien entendu la même définition pour une droite asymptote à gauche. Et si une droite est asymptote à gauche et à droite, on dira simplement asymptote à la courbe.

Donc c'est le cas pour la fonction F du n°22, où la droite d'équation x=0 est asymptote à la courbe.

Du coup, est-ce que tu as compris pourquoi dans le n°23, la droite d'équation x=-1 n'est pas asymptote à la courbe? En fait, il y a juste la valeur 0 qui manque pour x=-1 mais il n'y a pas d'asymptote si on suit la définition. Essaie de représenter une courbe ayant les caractéristique de la fonction, je pense que tu vas sans doute mieux visualiser les choses.

En revanche pour le n°23 toujours vois-tu une asymptote verticale tout de même à la courbe représentant F?

Pour la suite, connais-tu la définition d'asymptote oblique ou plutôt d'asymptote horizontale pour commencer?

Bon courage!

la définition d'une asymptote horizontale :

si lim f(x) = b (quand x tend vers + l'infini, cela peut etre - l'infini???), la droite d'équation y = b est une asymptote à C en + l'infini

définition asymptote oblique :
si f(x) s'écrit sous la forme ax + b +g(x avec lim g(x) = 0 quans x tend vers + l'infini) alors la droite d'aquation y = ax+b est une asymptote oblique à C en + l'infini.

pour le numero 22 :
il y a une asymptote horizontale en y = 2 et une verticale en x = 0

pour le numero 23 :
une asymptote oblique en - 1 et une verticale en 2

Est ce que c'est juste ? et pourriez vous m'aider à démontrer l'asymptote oblique ?

Merci.

Les asymptotes obliques qui contiennent en fait les asymptotes horizontales. Il faut s'en convaincre deux minutes:

Lorsque a=0, la définition est la même tout simplement. Donc l'asymptote horizontale n'est qu'une asymptote oblique particulière.

Mais ce s deux définitions sont incomplètes comme tu l'as toi-même remarqué. Si on considère les limite lorsque x tend vers moins l'infini la définition reste identique en fait et on parlera d'asymptote oblique en moins l'infini tout simplement.

donc pour l'exercice n°22 c'est bouclé car la limite en 2 est fini et égale à 2, donc pas d'asymptote.

Et pour le n°23, il y a un cas de conscience de ta part. En effet:

i) quelle est la limite en -1^- et -1⁺?
ii) ces limites sont-elles finies et/ou infinies?
iii) Y a-t-il une asymptote en -1?

Il faut toujours revenir à la définition en fait. Pour moins l'infini, on n'a pas assez d'élément pour conclure à une asymptote oblique vu qu'on ne connaît pas la forme de F(x) pour le coup.

Bon courage!

la limites en -1(-) est 0(-) et la limite en -1(+) est 0(+)
c'est limite sont finies, donc pas d'asymptote ???
pour le numero 23, il n'y aurait q'une seul asymptote ?
ou il y en a une oblique mais qu'on ne peut pas déterminer, si oui, laquelle ?
Merci pour vos reponses

Donc il n'y a pas d'asymptote en -1 en effet. Essaie de faire un dessin autour de -1, tu pourras voir que tout converge bien vers 0 sauf qu'on n'a pas le droit de prendre cette valeur, tout simplement.

Donc pour le n°23, d'après la tableau de variation c'est tout ce qu'on peut déduire. Il faut savoir qu'une fonction qui a l'infini tend vers l'infini (plus ou moins) n'admet pas forcément de droite asymptote. En effet, dès fois il y a des courbes asymptotes qui ne sont pas au programme mais dont la définition est là même c'est à dire que la courbe représentant la fonction G est asymptote à la courbe représentant F à l'infini si la limite de la différence F(x)-G(x) tend vers 0.

Donc, on ne peut rien conclure d'après la définition d'une asymptote lorsqu'il y a une limite infini en l'infini.

Est-ce que tout ceci te paraît plus claire au niveau des définition et de leur application? En fait dans le n°23 le but est bien de dire qu'on ne peut pas conclure pour moins l'infini.

Bon courage pour la suite!

mes definitions me paraissent plus claires, merci beaucoup