[Term S] Asymptotes

Bonjour !

Il me semble qu'une partie de l'étude des fonctions en terminale est axée sur l'étude un peu plus poussée des limites, et surtout des asymptotes ?

Nous avons vu que pour prouver qu'une droite d'équation ax+b est bien asymptote oblique a la courbe, il faut étudier la limite de la différence f(x) - (ax+b) en + ou - oo, et si elle tend vers 0, elle est bien asymptote a cette courbe.

Mais comment trouver la bonne équation au départ ?
Pour la fonction : f(x) = racine carrée de (x² + 2x + 4) sur R

D'après la calculatrice je conjecture qu'il y a deux asymptotes obliques, par contre pour trouver leurs équations..

Est-ce que j'ai loupé un épisode en première, ou bien cette partie de l'étude des fonctions est bien du programme de terminale ?
J'ai trouvé certaines explications sur le net, mais elles me semblent vraiment floues !

Merci beaucoup.
Mirabelle

Re-Bonjour,

Il faut préciser dans ta définition qu'il s'agit d'asymptote en + ou -∞. En effet, il existe d'autre sorte d'asymptote. Tu en connais d'ailleurs une autre pour la fonction inverse où nous avons une asymptote verticale en 0 cette fois-ci. Et pour les fonctions rationelles (quotient de deux polynômes) il pourra y avoir des asymptotes au point d'annulation du dénominateur par exemple.

Donc ici, nous nous limitons aux asymptotes en + ou -∞ et de type non verticale c'est à dire des asymtotes d'équation y=ax+b (une équation est une égalité, il faut donc écrire "y=" sinon cela n'a pas de sens ).

Et maintenant, on dit qu'une droite y=ax+b est asymptote en + ou -∞ à une courbe d'équation y=F(x) si et seulement si pour une même abscisse la distance des ordonnées des points entre les deux courbes tend vers 0 ce qui revient en effet à dire que: Lim_x-->+ou-∞ F(x)-(ax+b) = 0

Maintenant comment trouver a et comment trouver b?

Et bien supposons l'existence de cette asymptote en +∞ (pour -∞ cela sera le même raisonnment) d'équation y=ax+b. Et on a donc par hypothèse que:
Lim_x-->+∞ F(x)-(ax+b) = 0

Maintenant, si je considère la fonction G(x)=[F(x)-(ax+b)]/x. On constate que Lim_x-->+∞ G(x) = 0 (vu que le numérateur tend vers 0 par supposition et que x|-->1/x tend aussi vers 0 en +∞).

Mais que vaut G(x) exactement? Et bien si on regarde de plus près, on a que: G(x)=F(x)/x - (ax+b)/x (j'ai juste dit que (a+b)/c=a/c + b/c )
Or (ax+b)/x=a + b/x

Donc G(x)=F(x)/x - a - b/x
Or Lim_x-->+∞ b/x = 0

Donc Lim_x-->+∞ G(x) = Lim_x-->+∞ [F(x)/x - a]
Or on a montré que Lim_x-->+∞ G(x)=0

Donc Lim_x-->+∞ F(x)/x = a
Ainsi nous avons accès au coefficient directeur de mon asymptote en calculant la limite de la fonction x|--> F(x)/x

Comment maintenant avoir accès à l'ordonnée à l'origine de notre asymptote lorsqu'on connaît déjà a?

Et bien par définition d'une asymptote on a: Lim_x-->+∞ F(x)-(ax+b)=0
Or F(x)-(ax+b)=[F(x) - ax ]- b

Sachant qu'on connaît déjà la valeur de a par hypothèse, on en déduit donc que Lim_x-->+∞ F(x)-ax=b
Et nous avons ainsi accès à l'ordonnée à l'origine de notre asymptote oblique en +∞.

Le seule soucis de cette démonstration c'est qu'elle est vraie sous réserve d'existence. Donc si on admet que la fonction a bien une asymptote oblique ou qu'on le suppose alors tous les calculs sont faisables et donne les bons résultats. Sinon, nous ne pouvons pas conclure car nous ne savons pas si la fonction x--->F(x)/x admet une limite ou pas. Si elle admet une limite c'est bon sinon, on peut dire qu'il n'y a pas d'asymptote oblique mais qu'il y a peut-être une asymptote verticale ou pas d'asymptote du tout.

Est-ce que le raisonnement te paraît clair? Je te laisse revoir ton exercice à la lueur de ceci.

Bon courage!

ps: en terminale, il est rare (hélas?) qu'on te demande ce genre de raisonnement car on aura tendence (à tord pour moi mais bon c'est comme ça lol) de te donner la forme de l'équation soit en te faisant changer l'expression de F(x) pour faire apparaître directement l'équation d'une droite plus un terme qui tend vers 0 ou sinon on te donnera carrément l'équation. Mais pour ma part, je trouve qu'il n'est pas si difficile que cela moyennent un minimum d'effort de compréhension et d'application de comprendre comment cela fonctionne de façon brute comme je te l'ai écrit au-dessus. En tout cas si tu as des questions n'hésite pas surtout.

Bonsoir,

Merci beaucoup pour cette belle explication qui a du vous prendre du temps, j'étais sûre d'avoir droit à une explication du tonnerre en vous demandant. Encore merci !

Tout est clair oui, rien à voir avec ce que j'ai pu lire auparavant..
Mon exercice ne me donne aucune directive, il faut juste que je me débrouille pour trouver les asymptotes et ensuite préciser la position de la courbe par rapport à chaque asymptote.
Mais en cherchant des exercices de ce type rédigé pour voir la manière de faire, c'est vrai que je ne suis tombée que sur des exos qui donnaient déjà l'équation..

Pour cette courbe je pense qu'il n'y a que deux asymptotes, toutes deux obliques, l'une en +oo et l'une en -oo, c'est bien ça ?
Je reviendrais quand j'aurais trouvé tout ça.

Merci !
Bonne soirée
Mirabelle

Content de constater que mon explication ait pu débloquer la compréhension sur le sujet.

Sinon, ton raisonement est juste, il y a bien deux asymptotes vu qu'il n'y a pas de valeurs interdites qui posent problèmes à proprement parler même si n'oublions pas qu'avant de faire le moindre calcul, il faut regarder l'ensemble de définition de la fonction (si il est possible de le déterminer) pour justement savoir s'il peut y avoir des points où nous pourrions avoir des asymptotes verticales par exemple.

Je te laisse donc entamer les calculs .

Bon courage!

J'aurais du m'en douter, je suis pas arrivée bien loin. ^^

Pour le domaine de définition, la fonction f(x) = racine carrée de (x² + 2x + 4) est définie sur [2;+oo[

Alors si j'ai bien compris, je commence tout d'abord par tenter de trouver l'équation de l'asymptote à la courbe en +oo. En commençant par trouver a !
J'en suis à l'étape lim _x->+oo F(x)/x = a

Je cherche donc la limite en +oo de ((racine carrée de (x²+2x+4))/x
J'ai un infini sur un infini, donc forme indéterminée.

Donc j'étends la racine à toute la fraction, et je factorise par x² à l'interieur de cette fraction.
En simplifiant j'obtiens racine de (1+2+(4/x²))/(1/x)

Je multiplie ensuite par l'inverse de 1/x toujours dans cette même racine.
Je simplifie encore une fois, pour trouver enfin :
racine carrée de (3x + (4/x))

Et là, tadam.. la limite en +oo me donne toujours +oo, alors qu'il me faut un nombre. ^^

La semaine de vacances est mal passée chez moi apparemment

Citation :

Pour le domaine de définition, la fonction f(x) = racine carrée de (x² + 2x + 4) est définie sur [2;+∞[

Seulement? Quel le discriminant du polynôme sous la racine carrée? Qu'en déduit-on sur son signe? (je me demande comment tu as trouvé le 2 d'ailleurs).

Citation :

Donc j'étends la racine à toute la fraction, et je factorise par x² à l'interieur de cette fraction.

L'idée est excellente!! C'est son application qui te mène dans une impasse. En effet, au départ x n'est pas dans la racine carrée et donc lorsqu'on le passe à l'intérieur de la racine, nous n'avons pas le droit de changer notre fraction vu qu'on écrit une "égalité'' ce qui signifie qu'il y a la même chose à gauche et à droite du signe égale (logique, je pense ça ). Mais 1/√x est différent de 1/x, donc il y a un soucis dans l'application de ta démarche ce qui est dommage car la démarche est vraimetn excellente.

Vois-tu le soucis? Et si oui, as-tu des idées pour qu'il ne soit plus là?

Bon courage!

Oula oui, j'ai écrit une énorme bêtise.

Calcul du discriminant : b² - 4ac = 2² - 4x1x4 = 4 - 16 = -12.
Il n'y a donc pas de racines pour ce trinôme, la fonction est donc toujours du signe de a donc positif.
Donc définie sur [0;+oo[

Ah oui effectivement je vois le problème..
Mais il est quand même possible d'étendre la racine sur toute la fraction non ?
J'ai tenté en multipliant par l'inverse de x, donc 1/x tout en gardant le tout sous la racine pour pouvoir les additionner et les multiplier entre eux.
Mais ça ne me donne quand même pas grand chose..

Racine carrée de ((x² + 2x + 4)/(x))

= Racine carrée de ((x²+2x+4)*(1/x))

= Racine carrée de (x + 2 + (4/x))

Limite en +oo de (2 + (4/x)) me donne bien 2, mais lim en +oo de x reste bien +oo..

Tu dit toi même qu'elle est toujours positive donc pour tout valeur de x elle est positvue. Conclusion, elle est définie sur R ce qui rejoint ton énoncer .

Sinon, il est possible d'étendre à toute la racine en effet mais encore faut-il bien le faire . Comment écrirais-tu sous une seule racine: 2*Racine(5) ?

Je vais chercher une corde pour me pendre..

2*racine de 5 est égal à racine de 20. C'est bien ça que vous me demandiez ?

Mais.... où ?
On peut sortir le 4 de la racine et le mettre en facteur 2, puis le multiplier par 1/x et le rentrer à nouveau dans la racine.
Mais j'en reviens toujours au même point..

Alors 2*Racine(5)=Racine(20) en efet mais c'est le calcul intermédiaire qui est le plus important:

2*Racine(5)=Racine[2²*5]=Racine(20)

La réponse n'estp as ce qu'il y a de plus utilse comme je le dis souvent .

Alors maintenant, le lien entre cette exemple bidon et le passage à une racine carrée unique dans notre exercice?

Ok, je vois...
Le x du dénominateur devient x².
En multipliant par l'inverse je finis par trouver racine carrée de (1 + (2/x) + (4/x²) )

La limite en +oo de ce qu'il y a entre parenthèse est 1, racine de 1 = 1 donc limite en +oo de f(x) tend vers 1.
Donc a = 1.

Alléluia !

Je me mets ensuite en quête du petit b. ^^
A partir de cette étape : Lim en +oo de f(x) - ax = b

Ce qui me donne :

(racine carrée de (x² + 2x + 4)) - x = b

Mais soustraire un simple x à une racine.. Je peux remplacer x par racine carrée de x², mais je ne peux quand même pas les soustraire ensemble.
Que puis-je faire d'autre ?

Alors le raisonnmeent commence à être cohérent ce qui est une bonne chose. Par contre, je ne suis pas d'accord sur la conclusion:

Citation :

donc limite en +oo de f(x) tend vers 1

Quelle limite avant nous calculé?


alors pour le calcul de l'ordonnée à l'origine maintenant. Là, ça se complique car nous n'avons pas de moyen simple pour faire rentrer une soustraction dans un racine voir même qu'on a pas de moyen du tout de le faire . Et la limite ici est indéterminée car nous sommes dans le cas "inf-inf".

comment lever l'indétermination lorsqu'on a une soustration qui contient une racine carrée?

Limite _{x--> +oo} F(x) /x = 1

Voilà la rectification, excusez moi.

Alors pour lever une indétermination avec une racine, il me semble qu'on peut soit se référer a des limites de référence, soit factoriser si on arrive à quelque chose.. ?

racine carrée de (x² + 2x + 4) - x = racine carrée de (x² + 2x + 4) - (racine de x)*(racine de x)
Mais je butte si je factorise par racine de x, et je butte également si je factorise directement par x.

Y a-t-il une autre solution ?

Et si on multipliait par l'expression conjugué au numérateur et au dénominateur pour lever l'indétermination?

Qu'en penses-tu?

Bonjour,

Ah ben oui bien sûr, l'expression conjuguée..

[img=https://2img.net/r/ihimizer/img188/1043/expressconjug.th.jpg]

Je pense que le but est d'arriver à trouver une limite égale à 0 non ?
L'asymptote serait alors en +oo tout simplement y=x
Ca colle sur mon graphique quand je prends une grande fenêtre.

Il me faudrait un nombre sur un infini dans ce cas, mais le '2x' du numérateur me dérange toujours..

Bonne journée
Mirabelle

Bonjour,

Alors, en effet, ton intuition est juste et le raisonnement aussi d'ailleurs. Maintenant, comment se débloquer de cette nouvelle indétermination?

D'ailleurs a-t-on réellement gagné quelque chose en faisant notre manipulation vu qu'on avait une indétermination du type "∞-∞" et nous voilà avec une indétermination du type "∞/∞"?

Et bien oui car les indéterminations du type "∞/∞" sont beaucoup plus faciles à lever que les autres. En effet, le but est de pouvoir ne plus avoir un numérateur qui tend vers l'infini sachant que le terme qui tend vers l'infini au numérateur c'est un terme en x.

Et pour se faire, la meilleure façon de s'en sortir et de mettre le terme qui nous embête en facteur au numérateur et d'essayer de faire de même au dénominateur aussi, comme cela, l'indétermination sera levée vu qu'au numérateur il y aura quelque chose qui tend vers une limite finie vu qu'on aura mis le terme qui nous gêne en facteur.

Est-ce que tu comprends l'idée? Maintenant comment la mettre en place?

Bon courage!

Bonsoir !

Ah oui d'accord, je vois. C'est quand même souvent les mêmes opérations qui reviennent, il faut juste le faire au bon moment.

Mais factoriser ce dénominateur par x.. est-ce possible ?

C'est toujours possible après tout 1=x/x pour x différent de 0 dans le pire des cas .

Sinon, pour avoir un x en facteur devant le racine carrée, il faut mettre un x² sous la racine pour utiliser Racine(a*b)=Racine(a)*Racine(b).

Enfin, en effet, c'est souvent les mêmes calculs qui vous sont demandés (hélas? j'ai le droit de le dire? mystère lol) et c'est d'ailleurs pour cela qu'on appelle beaucoup d'exercices "exercices types" car ils reviennent de façon récurrente à mon grand regret car l'application de formule finie par lasser aussi bien les élèves que les professeurs mais bon il faut bien en faire pour vous entraîner aussi et pouvoir réfléchir par la suite à des choses plus intéressantes.

Bon courage!

Ajouter un x² sous la racine ?
Mais il y en a déjà un ?!

Je ne vois pas, excusez moi !

(Ah oui, les profs de maths sont parfois lassés de leur matière ? )

Je n'ai pas écrit "ajouter x²" mais "factoriser par x² sous la racine carrée" dansl e but justement de faire sortir un x en facteur de la racine. Exemple:

Pour x différent de 0, Racine(x²+1)=Racine[x²*(1+1/x²)]=Racine(x²)*Racine(1+1/x²)= x*Racine(1+1/x²) (car x positif)

Est-ce plus clair ainsi?

Bon courage!


ps: Lasser de la matière certainement pas, il y a trop à faire et à décourvrir pour cela (humainement pour l'enseignement et culturellement mathématiquement parlant ) mais lasser de certaines façons de faire cela peut être possible je pense après pour ma part, cela ne me lasse pas encore (heureusement et puis j'aime trop ça après tout sinon je ne serai pas là tout simplement ).

Aah oui d'accord, merci pour votre exemple.

Je trouve au dénominateur x ( racine carrée de (1 + (2/x) + (4/x²) ) + 1 )
Je simplifie en enlevant les x facteurs, puis je calcule la limite de ce que j'ai trouvé.

lim en +oo de 2 + (4/x) = 2
lim en +oo de racine carrée de (1 + (2/x) + (4/x²) ) + 1 = 2

J'ai (enfin !) réussi a lever l'indetermination, et je trouve donc que ma limite en +oo de tout ça me donne 1.
J'en déduis donc que b=1

Mon asymptote en +oo est donc y=x+1 (et non y=x comme je l'avais pensé qqs posts auparavant)
Et sur ma calculatrice, le résultat semble être bon.

J'attends votre verdict lol, j'éspère que je n'ai pas fait de bourde au passage..
Je me lance dans le calcul de la seconde, en -oo.

Nickel!!

Rien à redire pour ma part aussi bien au niveau rédaction ou autre.

Bon courage pour la suite!

Simple question de rédaction, pour justifier mes calculs pour trouver a et b, je rédige ça comment ?
Je devrais écrire les "démonstrations" que vous m'avez faite en début de post ou bien c'est inutile ?

Edit : et puis, faudrait il que je passe aussi par le calcul de la limite de f(x)-(ax+b) pour montrer qu'elle est bien asymptote a la courbe en +oo ?

Ton prof serait au anges mais ne comprendrais pas comment tu as trouvé les démosntrations car elles ne sont plus aux programmes.

Donc autant éviter l'effet de zèle et modestement marquer:

"Cherchons le coefficient directeur de l'asymptote à la courbe"

[...]

"Cherchons l'ordonnée à l'origine de l'asymptote à la courbe"

Ainsi, tu structures ton raisonnement et tu montres accessoirement que tu as compris d'où venaient les étapes. Après si ton professeur te demande comment tu justifies les choses, là tu pourras toujours lui dire comment tu fais en refaisant la démonstration ou en donnant les grandes lignes ce qui lui montrera que tu as compris (et donc que je n'ai pas été si mauvais que ça par la même occasion xD). Mais de là à refaire la démonstration ça serait, je pense mal vu dans le sens où il prendrait ça pour quelque chose de pomper sans comprendre alors qu'en structurant bien les choses tu peux lui fairesentir que tu appliques quelque chose que tu as compris.

Après, tu restes seul maître à bord opur ta rédaction, ça sera ton choix après tout .

Bon courage!

Mais pour faire l'exercice, ces formules étaient nécessaires, toute ma classe devra donc les trouver ?
Mais si elles sont hors programme, à moins d'aller sur un forum comme je le fais et de se faire aider.. comment s'en sortir ?!
Hum hum.

A moins que.. Y avait-il d'autres manières de faire ? ^^

Mon prof est très pointilleux sur les démonstrations, donc j'aurais eu tendance à les mettre avec mais si vous me dites qu'elles sont hors programme,...
Bon, je vais pas me compliquer la vie, la rentrée c'est jeudi, je lui poserais directement la question. ^^ Il comprendra que j'ai compris, et si il me demande d'où elles sortent je ne pense pas qu'il prendra mal le fait que je me sois faite aidée, encore faut il que j'arrive à lui prouver que j'ai compris lol.

( J'ai posté un petit edit en vitesse sur mon dernier post, je crois que vous n'avez pas eu le temps de le voir ? Je me permet de le réécrire ici.
Est-il nécessaire après avoir fait tous ces calculs de repasser par le calcul de la limite de f(x)-(ax+b) pour être bien sûre du résultat trouvé ? )