[Term S] Asymptotes

S'il est à cheval sur la démosntration (c'est que c'est un bon professeur déjà ! ) alors il faudra détailler en mettant bien en évidence ce qu'on suppose vraie à des moments et ce qu'on démontre (elle n'est pas si évidente à démontrer cette propriété, mais bon, il faut l'avoir vu une fois pour comprendre pourquoi on fait tel ou tel calcul tout de même). Ce n'est pas tant qu'elle soit hors programme c'est que depuis quelque temps, les professeurs ont tendance à plus faire cela car cela ne tombe pas au bac (le fameux piège de ne travailler que pour le bac mais bon c'est un autre soucis ça), c'est pour cela que je dis ça. Mais en fait rien est hors programme du moment qu'on boucle le programme après on fait ce qu'on veut .

Sinon, pour l'édit je n'avais pas vu mais bien sur, pour valider le résultat, il faut évidemment calculer la limite F(x)-(ax+b) pour bien montrer la cohérence des choses mais on a tout fait pour que ça marche donc il 'ny a pas de raison .

Bon courage!

Oui ok je vois, je verrais ça. ^^

J'ai un petit soucis par contre, vu l'heure c'est peut être lié à la fatigue mais il me semble que l'asymptote que je dois trouvé en -oo est y= -x - 1, c'est bien ça ?

Or les premiers calculs je peux les reprendre de ceux que nous avons fait en +oo, donc au départ pour trouver a je calcule simplement :

lim en -oo de racine carrée de (1 + (2/x) + (4/x²)
Mais ça me donne également 1 et non -1, donc du coup je trouve aussi la même chose pour le coefficient directeur.

Hmm....

Donc du coup, ton intuition est fausse .

L'asymptote est bien la même en + ou - l'infini pas de doute là-dessus car tout tes calculs sont exactement identiques et les simplifications dans les limites sont exactement les mêmes aussi .

Ah ?!

Mais quand je trace la courbe racine carrée de (x² + 2x + 4) La courbe est d'abord croissante puis décroissante, on voit bien qu'en +oo la courbe se confond avec la droite d'équation y=x+1 mais en -oo c'est pas du tout ça.. ?!

Bonjour,

Oulà je n'y étais plus hier soir, très bonne remarque!

En effet, on ne peut pas écrire x=Racine(x²) vu que x est négatif lorsqu'on prend la limite en -l'infini.

Par conséquent, Racine(x²)=-x car x<0.

Je te laisse reprendre les calculs donc avec mes excuses pour mon erreur.

Bon courage!

Bonsoir !

Me voilà de retour.
Je me suis renseignée chez mon prof, apparemment il ne voulait pas que l'on fasse de cette manière là vu que le raisonnement est comme vous l'avez dit hors programme, mais nous avons vu une autre manière de faire en cours.. Il faudrait se débrouiller pour modifier la fonction jusqu'à trouver "quelque chose + une equation de fonction affine" (c'est très vague lol, excusez moi) pour pouvoir soustraire cette équation de fonction affine et ainsi trouver l'équation d'une asymptote.
Bon, j'ai quand même passé pas mal de temps sur cet exercice jusqu'à présent donc je ne pense pas tout recommencer si finalement l'exercice est juste quand même.
Surtout que je ne pense pas du tout être au point au niveau de la manière de faire que j'ai "tenté" d'expliquer un peu plus haut, nous avons vu ça vite fait sur des exemples qui s'y prêtaient bien, mais pour cette fonction le boulot doit être bien différent. ^^

Pour en revenir à l'exercice..
Les précisions que vous avez faites, me serviraient pour quelle étape ?
Je cherche f(x)/x = a

Donc si je laisse la formule brute je ne peux rien faire, vu qu'on cherche en -oo et qu'une racine d'un nombre négatif n'existe pas.
Mais donc.. je peux utiliser les mêmes calculs que nous avons fait pour lever l'indétermination en cherchant la limite en +oo non ?

Nous étions donc arrivés à calculer lim de racine carrée de (1 + 2/x + 4/x²) en -oo
Ce qui me donne 1, en - comme en + oo..

Pouvez-vous me dire où est mon erreur s'il vous plait ?
Bonne soirée !

Bonsoir,

Nous verrons la méthode de ton prof après pas de problème mais celle-ci à le mérite d'être généraliste et sans tatonnement (c'est brut et ça se démontre la preuve ).

Sinon, nous allons bien chercher une limite en moins l'infini mais pour cela nous allons ruser. En effet, on va diviser par x et on va dire que x=-(-x) et ainsi -x>0 vu que x<0.

Donc x=-Racine[(-x)²].

Et ainsi, nous levons l'indétermination et on trouve bien -1 car ce qu'il y a sous les racines carrée tend toujorus vers 1 mais il y aura un -1 devant celle-ci grâce à l'astuce de calcul.

Est-ce que tu comprends le raisonnement?

Bon courage!

Bonsoir !

Oui je comprends votre astuce de calcul mais par contre..

Citation :

ce qu'il y a sous les racines carrée tend toujorus vers 1

En remplaçant x par cette astuce dès le début du calcul, je ne lève par l'indétermination car je trouve +oo/-oo.. J'ai du mal comprendre quelque chose ?!

Bonne fin de week end

Bonsoir,

A partir du moment, où tu as x=-(-x)=-Racine[(-x)²] tu peux avoir une racine carrée pour tout le quotient avec un "moins" devant la racine carrée et sachant que (-x)²=x², nous sommes exactement dans la même configuration que précédemment, non?

Sinon, n'hésite pas à demander si ce que je dis n'est pas évident.

Bon courage!

Ah oui ! Bien sûr.. Je n'étais pas sûre qu'on puisse étendre la racine.

Pour trouver le coefficient directeur, je pense que la démarche sera aussi a peu près la même qu'en +oo ?

lim x-> -oo f(x) - ax = b

<=> racine carrée de (x² + 2x + 4) + x

Les calculs sont donc les mêmes, il suffit juste de changer le "+x" au dénominateur par un "-x", qui était venu au moment de multiplier par l'expression conjuguée.

En fin de calcul je me retrouve donc avec :

(2+(4/x)) / ( racine carrée de (1+(2/x)+(4/x²)) - 1)

Limite du dénominateur toujours égale à 2, en -oo comme en +oo.
Par contre pour le dénominateur, ce qui se trouve sous la racine a une limite égale à 1, mais on retranche 1 ensuite.. Ce qui donne une limite égale à 0.

J'ai du me planter quelque part à nouveau ?

C'est excat pour la première partie.

Mais pour la deuxième, il y a en effet, une erreur, comment as-tu factoriser la racine carrée au dénominateur? .

L'erreur est classique mais j'espère que tu vas la voir, doncp oru le mometn, je te laisse chercher et regarder où tu as pu faire une erreur.

Bon courage!

Oh ?
J'ai pourtant suivi exactement la même démarche que précédemment..

Au dénominateur, je pars de (racine carrée de (x²+2x+4)) -x
En factorisant uniquement la racine carrée, je trouve :
(racine carrée de x²) x (racine carrée de( 1 + (2/x) + (4/x²)))
Ce qui me donne x(racine carrée de(1 + (2/x)+(4/x²)))

Et lorsque je factorise le "-x" qu'il me reste derrière,
x ((racine carrée de(1 + (2/x)+(4/x²))) - 1 )

Si j'ai fais une erreur, je l'ai faite avant aussi ?

Mais non, au premier c'est tout bon .

Mais là, il y a une erreur horrible et en plus elle est écrite . Racine(x²)= ??? N'oublionsp as qu'une racine carrée est toujours positive et qu'ici x<0 (on fait tendre x vers -infini !!).

Racine(a²)=a SI ET SEULEMENT SI a est positif !!
Racine(a²)=-a si et seulement si a est négatif

Attention à ses esseurs bêtes mais qui coûte très chère!

Je suis nouille !

Bon, alors ma factorisation est bonne sauf qu'il faut rajouter un mignon "-" devant tout ça.
En simplifiant les x, le "-" reste donc tout de même devant la racine.
En cherchant la limite ensuite je cherche la limite de -(racine carrée de (1 + (2/x) + (4/x²)) - 1) en gardant les parenthèses, ce qui me donne -2 en -oo.

Limite de 2/-2 = -1

Mon asymptote est donc comme prévu, en -oo y= -x-1.

Youuu !!
Je n'ai plus qu'à préciser la position relative de la courbe par rapport à ses asymptotes.
Je m'en vais travailler sur ça, je reviendrais quand j'aurais la réponse.


Merci et bonne soirée !

Nickel!!

Bon courage pour la dernière question!

Bonjour !

Alors, j'ai commencé par prouver que ces droites sont bien asymptotes à la courbe

en +oo :
[img=https://2img.net/r/ihimizer/img687/3739/12846213.th.jpg]

et en -oo :
[img=https://2img.net/r/ihimizer/img687/7852/70414098.th.jpg]

J'ai un petit doute sur celle en -oo, concernant la limite de la racine carrée au dénominateur..
J'éspère que ces calculs sont corrects !

Par contre pour trouver la position relative de la courbe par rapport à chaque asymptote, je pense qu'il faut étudier le signe de la soustration f(x)-(ax+b), c'est bien ça ??
C'est donc le même calcul que ce que j'ai fais pour prouver que les droites sont bien des asymptotes, mais par contre je ne vois pas comment continuer..

Je vous remercie.
Et bon mercredi férié ^^
Mirabelle

Re-bonjour,

Les rédactions sont exactes. La seule chose qui me gêne un peu c'est le calcul de la limite du dénominateur.

En effet, je trouve que tu es beaucoup trop espéditive dans le sens où tu donne directement le résultat alors qu'en fait il y a pas mal de chose à faire pour la trouver cette limite là.
Je pense qu'il faudrait détailler le calcul de cette limite autant dans le premier car que dans le deuxième. Au moins mettre les étapes comme la limite d'un polynôme, la limite d'une racine carrée qu'on puisse voir concrètement ton cheminement pour le calcul de ses deuxl imites là.

Sinon, il est vraie que ton professeur ne voulait pas que tu fasses du hors programme mais le soucis reste que du coup, tu as parachuté x-+1 et -x-1 dont ne sait où alors qu'il y a bien nue réflexion derrière pour trouver ces deux équations ce qui est dommage voire frustrant par rapport au travail que tu as effectué ici pour trouver les équation de ses deux droites.

Enfin, pour la position relative, il faut déterminer le signe des deux différence dans le cas où x>0 (pour +inf) et x<0 (pour -inf). En toute logique, on devrait trouver le même signe c'est à dire que la courbe est au-dessus de ses tangentes, non?

Bon courage!

Bonjour !

Je vais donc tenter de développer un peu plus mes limites.
Mais j'ai un petit problème au niveau de "l'agencement" de la limite de la racine carrée..

Je m'explique :

En +oo par exemple, pour la limite du dénominateur

lim x-> +oo de ( (racine carrée de (x²+2x+4) +x +1)

Je la "découpe" en plusieurs petites parties :

lim x-> +oo de (x² + 2x + 4) = +oo
lim x-> +oo de racine carrée de x = +oo

Je fais ensuite une accolade entre ces deux calculs de limite pour dire que :
lim x-> +oo de (racine carrée de (x²+2x+4) = +oo

Puis, à part

lim x-> +oo de (x+1) = +oo

Pour faire enfin une deuxième accolade avec le dénominateur entier :

lim x->+oo de ( (racine carrée de (x²+2x+4)) +x+1 ) = +oo

Pour ensuite faire l'accolade de la limite entière, numérateur + dénominateur qui est ici égale à 0.
Donc là pas de problème je pense.



Mais alors en -oo... je vais faire la même chose :
Je m'intéresse donc au dénominateur (le numérateur est réglé)

lim x-> -oo de ( (racine carrée de (x²+2x+4)) -x -1 )


Je cherche donc par petits bouts les limites :

lim x-> -oo de (x² + 2x + 4) = +oo
lim x-> -oo de racine carrée de x = ???

C'est pour ça que j'hésitais sur cette limite, je pensais qu'il y avait une erreur quelque part.
Comment rédiger cela alors ??
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Pour répondre au reste de votre message, je n'ai pas du tout "parachuté" mes réponses juste comme ça, j'ai uniquement scanné cette partie là du devoir car tout le reste nous l'avions fais ensemble. ^^ Enfait j'ai choisi de réécrire sur une feuille à part toute la démonstration sur la recherche d'asymptote que vous m'aviez donné, et de rédiger le DM sur une double page à côté.
Donc avant chaque feuille que je vous est photocopié, il y a les calculs détaillés en +oo et en -oo de la recherche de ces deux asymptotes, qui me prennent d'ailleurs une double page chacune tellement la rédaction est longue !
Mais je ne l'avais pas précisé c'est vrai, excusez moi.

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Ensuite pour ce qui est de la position relative, c'est ce qu'il me semblait oui en "testant" un peu le calcul je trouvais un résultat toujours positif, ce qui signifierait que la courbe se trouverait toujours au dessus de l'asymptote.
Est-ce que le fait de prouver que ce qui se trouve sous la racine est un trinôme du second degré, qui n'a aucune racine car discriminant inférieur a zéro, et toujours positif car du signe de a donc 1 (x²), suffit pour prouver cela ?!!

J'éspère que je suis claire

Bonne journée !

Merci !

Alors, il y a une méconnaissance ou un oublie du calcul de lal imite d'une fonction composée alors petit rappel:

Soit F et G tel que GoF existe (c'est à dire que l'image de l'ensemble de définition de F est contenue dans l'ensemble de définition de G).

Comment calculer la limite suivante: Lim_x-->a GoF(x) ??

Si on pose lim_x-->a F(x)=L
Alors lim_x-->a GoF(x)= lim_X-->L G(X)


Donc pour ta deuxième limite à calculer, c'est la limite en +Inf de ta racine carrée qu'il faut calculer et non en -Inf car ton polynôme tend bien vers +Inf lorsque x tend vers +Inf.

Est-ce plus clair ainsi?

Sinon, pour la position relative, dire que la racine carrée est bien définie, c'est en début d'exercice qu'il fautl e faire ça . Donc la racine carrée est donc toujours positive, et dans les deux cas précis on ajoute toujours quelque chose de positif en gros même si pour le deuxième cas, il faudra être plus précis car on ajoute -1, donc il faudra bien montrer que lorsque x<0, le dénominateur est bien négatif en calculant par exemple le minimum de ta fonction polynôme.

Bon courage!

Alors..

Soit u(x) = x² + 2x + 4 et soit v(x) = racine carrée de x

( x² + 2x + 4 ) est un trinôme du second degré, du signe de 1 donc positif sauf entre ses éventuelles racines.

Calcul du discriminant : b² - 4ac = -12
Donc le trinôme ne possède aucune racine, donc (x²+2x+4) est toujours positif.

Ainsi, uov existe, car l'ensemble de définition de u est contenue dans l'ensemble de définition de v qui est R+.

Donc,

lim x-> -oo (x²+2x+4) = +oo
Alors lim x-> -oo de (racine carrée de (x²+2x+4)) = lim x-> +oo de (racine carrée de x) = +oo

lim x-> -oo de (-x-1) = +oo

Donc le tout tend vers +oo en -oo.

Merci. ^^

Citation :

on ajoute toujours quelque chose de positif en gros

Comment ça, on ajoute quelque chose de positif ?
Pour -(-x-1) en -oo oui, mais en +oo ? -(x+1) ?
J'ai donc prouvé que la racine est positive, mais comment prouver qu'elle est supérieur à -(x+1) ?

Alors pour la première, il faut se ramener à l'expression conjuguée:

3/[Racine(x²+2x+4) + x +1] qui est lui toujours positif pour x>-1

Pour x<-1, il faut revenir à l'expression de départ. En effet, on a: Racine(x²+2x+4) - x - 1 et -x-1>0, donc notre expression est positif.

Donc pour tout réen x, on a le fait que la courbe est au-dessus de cette asymptote là.

Je te laisse regarder comment trouver le même resultat pour l'asymptote en -Inf.

Bon courage!

Merci pour vos explications.

C'est sûrement moi qui est vraiment du mal ce soir, mais je ne comprends pas..
On veut montrer que f(x)-(ax+b) est positif.

Comment peut-on prendre un coup l'expression conjuguée, un coup l'expression de départ, pour prouver cela ?

Excusez moi..

Ce n'est pas évident, donc ne pas comprendre est plutôt logique même.

En fait, le but est de trouver le signe de la différence pour toutes les valeurs réelles de x. Par conséquent, il va falloir regarder comment se comporte cette différence pour toutes les valeurs de x.

On sait à l'avance qui si on ajoute quelque chose de négatif à quelque chose de positif, on ne peut pas conclure sur le signe.

EN effet, si je fait a+b et je te dis seulement que a>0 et b<0, et bien tu seras très embêtée pour savoir si a+b est positif ou négatif.

Par conséquent, on va pouvoir conclure que dans le cas où on ajoute deux nombre positif.

Dans le première exemple pour l'asymptote en +Inf, on va soustraire x+1 c'est à dire qu'on va ajouter à l'expression F(x) -x-1.
Or -x-1 n'est pas toujours positif, donc on ne peut pas conclure pour toutes les valeurs de x.

Par contre lorsque -x-1 est positif, on peut conclure. Or -x-1>0 <=> x<-1
Donc pour x<-1, -x-1 est positif
Ainsi, lorsque x<-1, on ajoute deux termes qui sont positifs.

Conclusion, c'est encor positif. On a donc conclu lorsque x<-1.

Mais que se passe-t-il lorsque x>-1 ??

Notre expression ne nous permet pas de conclure, à ce moment là, il faut améliorer l'expression pour qu'on puisse conclure si c'est possible et si c'est pas possible il ne nous reste plus qu'à dériver et faire une étude de la fonction pour savoir si elle est positive ou non. Mais ici, avant de faire une étude de fonction, il nous reste une possibilité c'est de passer à l'expression conjuguée ce qui nous donne:

Racine(x²+2x+4) -x-1= 3/[Racine(x²+2x+4) + x +1]

Donc le signe de Racine(x²+2x+4) -x-1 est le même que le signe de Racine(x²+2x+4) + x +1 car 3>0 donc ne change rien aux signe globale.
Or Racine(x²+2x+4) + x +1 est l'addition de deux termes: Racine(x²+2x+4) et x+1
De plus, on sait que la racine carrée est positive
Donc si x+1 est positif, on ajoute deux terme positif et on pourra donc conclure
Or x+1>0 <=> x>-1 exactement ce qu'on souhaitait !!!
Donc c'est bel et bien positif lorsque x>-1.

En regroupant les deux, on trouve bien que notre asymptote est toujours au-dessous de notre courbe.


Est-ce plus clair ainsi? Il faut s'adapter à l'exercice et à ce qu'on souhaite montrer en fait.

Bon courage!

Oui c'est parfait, merci beaucoup !

Je vais tenter en -oo :

On a :
racine carrée de (x²+2x+4) - (-x-1)
Ce qui nous donne :
racine carrée de (x²+2x+4) +x+1

(+x+1) > 0 <=> x>-1

On sait donc que pour x>-1 la différence est positive, mais on ne peut pas conclure pour x < -1

Si on passe par l'expression conjuguée, on a :
3 / (racine carrée de (x²+2x+4) -x -1)

(-x-1) > 0 lorsque x<-1
Et c'est bien ce qu'on voulait prouver .. ?

Vous m'aviez dit ca auparavant :

Citation :

dans les deux cas précis on ajoute toujours quelque chose de positif en gros même si pour le deuxième cas, il faudra être plus précis car on ajoute -1, donc il faudra bien montrer que lorsque x<0, le dénominateur est bien négatif en calculant par exemple le minimum de ta fonction polynôme.

Je suppose que j'ai fait une gaffe quelque part vu qu'apparemment je n'ai pas eu besoin de calculer un minimum
Le dénominateur devrait être négatif ?! mais la courbe serait alors en dessous de l'asymptote..

En effet, c'est tout bon là!

Il n'y a pas besoin de calculer de minimum en effet. Je voulais éviter de faire deux cas différent en prenant deux expressions différentes pour conclure mais cela n'est pas utile vu qu'on peut conclure directement .

Bon courage pour la suite!