[Term S] DM sur le trigonométrie

Salut !

J'ai de nouveau un petit problème. Puisque moi et la trigo, ça a plutôt tendance à tendre vers 2.

Voici le début du sujet:

sujet+Q1a a écrit:

Soit f la fonction définie sur R par: f(x)=x+cos²(x)
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i;j) (à choisir)

1) a) Démontrer que pour tout réel x, x ≤ f(x) ≤x+1

J'ai dit que -1 ≤ cosx ≤ 1. Là il faut que je passe à 0 ≤ cos²x ≤ 1, et je pense qu'il faut le justifier, donc j'ai fait:

Si -1 ≤ cosx ≤ 0, alors 0 ≤ cos² ≤ 1
Si 0 ≤ cosx ≤ 1 alors 0 ≤ cos² ≤ 1

Donc 0 ≤ cos² ≤ 1

Et ensuite il en découle que x ≤ f(x) ≤x+1 .

Q1b a écrit:

1) b) Interpréter graphiquement l'encadrement précédent

Là, j'ai besoin d'aide. Edit: j'ai mis que (C) était en dessous de la droite d'équation y=x+1 et au-dessus de celle d'équation y=x. C'est ça ?

Q2 a écrit:

2) On note (D1) et (D2) les droites d'équation y=x et y=x+1 .
Déterminer toues les points d'intersection de la courbe (C) avec:
a) la droite (D1)
b) la droite (D2)

D'une simple équation, j'ai trouvé que pour la:

a) les solutions x sont de la forme π/2 [π].
b) les solutions x sont de la forme 0 [π].

Q2suite a écrit:

Vérifier que ces droites sont tangentes à (C) en ces points de contact.

Là aussi j'ai un problème. J'ai pensé à utiliser la dérivée de la fonction f, mais le problème c'est quand dans la question suivante, ils nous demandent de calculer la dérivée. C'est donc qu'ici ils attendent une autre méthode, mais je ne trouve pas.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonsoir,

Citation :

J'ai dit que -1 ≤ cosx ≤ 1. Là il faut que je passe à 0 ≤ cos²x ≤ 1, et je pense qu'il faut le justifier, donc j'ai fait:

Si -1 ≤ cosx ≤ 0, alors 0 ≤ cos² ≤ 1
Si 0 ≤ cosx ≤ 1 alors 0 ≤ cos² ≤ 1

Donc 0 ≤ cos² ≤ 1

Et ensuite il en découle que x ≤ f(x) ≤x+1 .

C'est remarquable comme rédaction! Car rare sont les élève à penser qu'il faut séparer l'inégalité en deux pour pouvoir effectuer les calcul. Il faut ajouter peut-être le fait que la fonction carrée est décroissante sur R^- et croissante sur R₊ dans leur cas respectif poru que la rédactino soit vraiment parfaite.


Ensutie pour l'interprétation, c'est toujours la bête noire des élèves et tu n'es pas le seul dans ce cas là en Terminale ne t'inquiète pas. La question est souvent mais que dois-je interpréter exactement?

Et bien, ici on peut dire qu'on a encadrer F(x) entre deux fonctions affines. Mais après au niveau de l'interprétation concrète qu'en déduit-on pour la courbe C ? C'est ça la véritable question sous jacente.



La question suivante est tout à fait juste après je te fait confiance pour rédiger cela proprement.

Enfin pour la dernière question posé dans ton message, le problème réside donc dans le fait de ne pas utiliser la fonctino dérivée car on l'utilise à la questino suivante. Et bien je pense que la bonne interprétation à la question 1) b) te donnera la réponse à cette question en l'associant à la question 2)a) et b).

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!

Oui je pense comprendre comment faire. Puisque x ≤ f(x) ≤ x+1 et que f(x) = x pour x = ... et f(x) = x+1 pour x =... on peut en déduire que les droites (D1) et (D2) sont tangentes à (C) en ces points de contact ? Par contre, pour le rédiger proprement, je sais pas trop. Quand dit-on qu'une droite est tangente à une courbe ?

Ce qui m'a perturbé, c'est qu'il est écrit "vérifier que ces droites... etc". Et pour moi ça sous entendait un calcul. Sinon, pourquoi n'auraient-ils pas simplement demandé "En déduire que ces droits etc" ?

Car il te manque encore l'interprétation de l'inégalité pour comprendre sans doute que le fait que ses droite soit soit tangente en ces points là.

Qu'en déduit-on pour C à partir de x ≤ f(x) ≤ x+1 ?

Celà nous done donc une interprétation et ensuite grace au deux question suivante, on peut voir que ces deux droite sont bien tangente en ses points.

Définition:

T est tangente (y=a+x) à C en A(x_A,y_A) <=> Sur un intervalle ]x_A - a; x_A + a[, T est situé d'un côté de C et intersecte C en un unique point qui est A.


C'est une définition que me semble assez intéressante pour notre exercice.

Tu n'as pas vu l'édit que j'avais mis dans mon premier message avant que tu ne postes ?

"j'ai mis que (C) était en dessous de la droite d'équation y=x+1 et au-dessus de celle d'équation y=x"

Donc d'après les résultats de 1 et de 2 et d'après cette définition de la tangente, j'en déduis que (D1) et (D2) sont tangentes à (C) en les pts de contacts trouvés dans la 2 ?

Mais pourquoi avoir mis "vérifier que..." ?

Désolé je n'avais pas vu ton édit en effet.

Après pouruqoi avoir mis "vérifier que" c'est vrai que cela est discutable en effet. Mais il n'est pas rare que dans certain exercice faute de moyen de résolution, on fini par utiliser des choses qui sont demandées par la suite.

Après, ici on ne fait pas de calcul mais on vérifie bien qu'il y a une tangente en prenant un intervalle ne comptant qu'un seul point d'intersection entre C et (D1) par exemple.

La notion de tengante en un point étant une notion locale, on peut donc voir qu'on effectue une vérification mais il estvrai qu'on ne fait pas réellemetn de calcul à proprement parler c'est un fait.

Mais c'est une bonne réflexion de ta part en tout cas.

Ok merci. Ta définition de la tangente va m'aider à bien rédiger.

J'ai encore une question qui concerne la suite de l'exercice.

Dans les questions suivantes il faut en gros étudier les variations de la fonction f en calculant sa dérivée et en étudiant son signe etc.

Donc je trouve que la dérivée ( f'(x)=1-sin(2x) ) est tout le temps positive, et qu'elle s'annule pour x=π/4 [π].

Dans le tableau de variation de f ( que je dois dresser sur l'intervalle [0;π] ), ça s'écrit comment ?

Je mets une seule flèche croissante même si à un moment la dérivée s'annule ?

Bonjour,

Attention à une erreur classique:

Citation :

F'(x)=1-sin(2x)

Ceci n'est pas la dérivée de la fonction F(x)= x + cos²(x)

Je te conseille d'ailleurs d'écrire cela comme ça si tu veux éviter cette erreur dans un premier tempx: F(x)= x + [cos(x)]²

Donc F(x)= x + [u(x)]² avec u(x)=cos(x) ce qui va changer ta dérivée ainsi que le signe de celle-ci.


Sinon pour totu de même répondre à ta question (car cela pourra servir dans d'autre exercice):

Citation :

Dans le tableau de variation de f ( que je dois dresser sur l'intervalle [0;π] ), ça s'écrit comment ?

Je mets une seule flèche croissante même si à un moment la dérivée s'annule ?

L'annulation d'une dérivée n'implique pas forcément un changement de variation de la fonction en fait. Pense par exemple à la fonction cube (F(x)=x³), la dérivée s'annule en 0 mais ne change pas de signe ce qui te donne une fonction qui reste croissante mais qui a une tangente horizontale en 0. Pour qu'il y est un changement de variation, il faut que la dérivée s'annule en un point en changeant de signe ceci te donne d'ailleurs le moyen de trouver des extrémum d'une fonction (maximum ou minimum).

En espérant avoir répondu à ton interrogation sur ce point là et je te laisse reprendre la dérivation de la fonctino de ton exercice par contre.

Bon courage!

Bin:

F(x)= x + cos²(x)

Donc f'(x) = 1 + 2(cos(x))(-sin(x)) puisque (u')² = 2uu'

f'(x) = 1 - 2(cos(x))(sin(x))

f'(x) = 1 - sin(2x) Non ?


Par contre j'ai visualisé la courbe sur le logiciel "Traceur", et je vois que tous les x=π/4 + kπ avec k élément de Z il y a une tangente plate.

Mais le truc c'est qu'en résolvant l'équation f'(x) = 0, je trouve que sin(2x) = 1 et donc que x = π/4 [2π] . Ce qui ne se traduit pas sur la courbe... Ou est l'erreur ? ^^

Et sinon pour le tableau de variations sur [o;π] c'est ok merci.

Ok tu avais fait une factorisation direct alors que je m'attendais à la forme développée .

Pas d'erreur donc mis à part ma mauvaise attente de réponse (déformation à vouloir voir les calculs intermédiaires ).

Sinon,

Citation :

f'(x) = 0, je trouve que sin(2x) = 1 et donc que x = π/4 [2π]

Attention au congruence: 2x= π/2 [2π] <=> x= π/4 [π]

Pour mieux le visualiser, il faut revenir à la définition de la congruence: 2x= π/2 [2π] <=> Pour tout entier relatif k, 2x= π/2 + 2kπ <=> Pour tout entier relatif k, x= π/4 + kπ <=> x= π/4 [π]

J'avoue la notation de congruence est assez piégeuse lorsqu'il y a des coefficients devant l'angle qu'on considère. Il faut mieux visualiser (au moins au brouillon) avec les entiers relatifs pour éviter les légères erreurs de manipulation des congruences. Il n'y a pas beaucoup de piège avec cette notation mais il faut mieux rester vigilent tout de même.

C'est ok si tu as compris pour la tangente horizontale.

Tu te poses vraiments de très bonnes questions lorsque tu résouts un exercice et c'est très prometteur pour la suite en tout cas car c'est une démarche qui est très formatrice et qui te permettra de voir des choses plus rapidement que d'autres c'est indégniable.

Bon courage pour la suite!

Ah mais oui ! Super merci.

Encore une (dernière ?) petite question:

Dans ce cas-là (si la courbe admet des tangentes horizontales en un point), on dit toujours que la fonction est strictement croissante ? Ou qu'elle est simplement croissante ?

Ce sont des détails mais ma prof est assez sévère sur les détails justement.^^

Elle a raison d'être sévère sur les détails avec des élèves qui m'ont l'air plutôt doués tout de même je trouve ou qui ont du potentiel si tu préfères que je le dise comme cela .

Alors une fonction est dite strictement croissante à partir du moment où on a:

Pour tout x,y dans l'intervalle de définition de F tels que x>y, alors F(x)>F(y) (avec des inégalité stricte donc).


Donc le fait qu'il y est des tangentes horizontales, ne gène aucunement cette définition là.

Alors la question serait peut-être dans l'autre sens, quand pouvons-nous avoir des fonctions qui ne sont pas strictement croissante mais seulement croissante?

Et bien cela signifie juste qu'il y a un palier à un moment. En effet, l'inégalité large permet de considérer des images qui sont égales ce qui n'empêche donc pas la fonction d'être constante sur un intervalle (ce que j'appelle un palier).

Je n'ai pas d'expression précise mais le plus belle exemple dans la vie courante (wahou les maths c'est du concret, on nous aurait menti? ):

Un escalier montant à un étage avec un retour de marche légèrement incliné dans le sens de la monté (pour qu'on est bien une fonction comme on te l'a défini en cours). La fonction est bien croissante mais pas strictement car chaque "marche" est constante.


Un autre exemple serait une rampe pour personne handicapée qu'on voit par exemple au bureau de poste ou à la banque (si ils en sont équipés car c'est loin d'être le cas pour tous). Là c'est aussi une fonction croissante avec une palier en haut ce qui nous donne bien une fonction croissante et non strictement croissante.

En résumer, une fonction croissante est une fonction qui sur des intervalles est constante et sur le reste est strictement croissante.

Dans les exercices sauf si on en a besoin ou si c'est stipulé, il n'est pas réellement nécessaire de dire qu'une fonction est strictement croissante si on a un doute sur ce fait là.

Bon courage pour la suite et n'hésite pas à poser tes questions, nous sommes là pour y répondre .

Ok j'ai compris merci.

Dernière question (j'espère^^), qui porte plutôt sur le français de la question:

On me demande "Justifiez le sens de variation de f", après qu'ils m'aient demandé de résoudre f'(x)=0.

Ca veut dire quoi "justifiez", que dois-je faire ? Me suffit-il simplement de déduire du signe de la dérivée le sens de variations ? Là encore l'emploi de ce verbe me perturbe (et oui, je suis un perturbé...). Pour moi "justifier", ça sous-entend qu'il faut expliquer pourquoi c'est comme ça, non ?

Donc quand je lis cette question après avoir remarqué que la dérivée était positive ou nulle, je me dis "il faut que j'explique pourquoi la fonction est croissante, pourquoi c'est logique qu'elle est croissante". Mais ça me parait un peu tordu pour être ça, alors je n'hésite pas à demander.

Alors le terme "Justifier le sens de variation de la fonction" ça veut dire qu'on attend que tu mettes en évidence le signe de la dérivée de cette fonction qui va justifier l'emploi du théorème correspondant.

C'est comme-ci on te demandais de mettre en évidence les hypothèse qui permettent d'appliquer le théorème que tu veux utiliser. En quelque sorte, tu justifie le fait que tu as le droit d'utiliser un théorème.

C'est peut-être plus clair ainsi, non ?

Ouais ouais j'ai pigé je pense (poulala ce français...^^).

Comme dans les questions d'avant j'ai pas parlé du signe de la dérivée, je le cherche dans cette question-ci. Trouvant que la dérivée est positive ou nulle (-1 ≤ sin(2x) ≤ 1 => 0 ≤ 1-sin(2x) ≤ 2), ça justifie que f est croissante. (Dis moi si je me trompe.)

C'est tout à fait ça.

On te décortique l'exercice un maximum là. Tangente puis dérivation, puis anulation de la dérivée, puis signe de la dérivée et enfin sens de variation.

Un schéma classique mais sur lequel on se pose toujorus des questions car les énoncer sont jamais écrit de la même manières ce qui peut perturber un candidat c'est évident.

Bon courage pour la suite en tout cas!