Trigonométrie : Formules de Trigonométrie.

Bonjour à tous! Je bloque complètement sur un exercice, j'ai besoin de votre aide..
Voici l'énoncé:

1°) Démontrer que :
a) cos(π/8) + cos(3π/8) + cos(5π/8) + cos(7π/8) = 0
b) cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²5Pi*/8 + cos²(7π/8) = 2

2°) Déterminer la valeur de :
cos⁴(π/8) + cos⁴(3π/8) + cos⁴(5π/8) + cos⁴(7π/8)

*4* = C'est comme ² mais avec un 4!


Je n'ai sû répondre qu'à la 1°)a) et au début de la b):
1°)a) cos(π/8) + cos(3π/8) + cos(5π/8) + cos(7π/8)
= cos(π/8) + cos(3π/8) + cos(π-3π/8) + cos(π-π/8)
= cos(π/8) + cos(3π/8) - cos(3π/8) - cos(π/8)
= 0
b) cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(5π/8) + cos²(7π/8)
= cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(π-3π/8) + cos²(π-π/8)
= cos²(π/8) + cos²(3π/8) - cos²(3Pi*/8) - cos²(π/8)
= 2cos²(π/8) + 2cos²(3π/8)
= (Je suis bloquée là..)


J'ai besoin de votre aide pour le reste..
Merci d'avance..

J'ai besoin d'aide s'il vous plait..

Bonsoir,

Si les ailes du moulin n'ont pas de vent, il ne tourne pas plus vite . La vitesse de réponse est quasi à son maximum durant cette fin de semaine, je ne peux pas aller plus vite pour ma part. Et après tout, se poser permet aussi pour moi de prendre le temps de donner une qualité optimale de réponse à chacun de vous en fonction du temps que je dispose . La patience est donc de mise, les réponse finissent par arriver avec le temps et après tout, l'empressement n'est pas de mise lorsqu'on travaille les mathématiques (la note ou le résultat n'est pas le plus important, je ne travaille donc pas pour un instant t mais plutôt sur la durée de l'apprentissage de la compréhension des mathématiques ).

Alors allons-y!

La première réponse est tout à fait exact!
Pour la deuxième attention à ce que tu écris:

Citation :

cos²(π/8) + cos²(3π/8) - cos²(3Pi*/8) - cos²(π/8)

Ceci n'est pas correct! En effet, il y a des carrée autour des cosinus ce qui change le résultat:

En effet: [Cos(π-a)]²= [-Cos(a)]²=+Cos²(a)
Donc attentino à l'écriture car Cos²(x)=[Cos(x)]² et c'est bien toute la valeur du cosinus qui est au carré.

Et malgré cette erreur là, tu trouvel e bon résutlat (comme quoi des erreur cumulées peuvent faire des solutions justes):

Citation :

= 2cos²(π/8) + 2cos²(3π/8)

Mais maintenant, on sait aussi que 3π/8=π/2-π/8 ce qui va nous permettre de conclure je pense! ET on ne va pas trouver 0 cette fois-ci .

Le raisonnement est quasiment le même pour la question suivante. Je te laisse entamer les calculs.

Bon courage!

ps: pour mettre un chiffre en exposante, il suffit de le sélectionner et d'appuyer sur "Autre" puis "Exposant" .

D'accord.
Donc, je continue..

b) cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(5π/8) + cos²(7π/8)
= cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(π-3π/8) + cos²(π-π/8)
= cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(3Pi*/8) + cos²(π/8)
= 2cos²(π/8) + 2cos²(3π/8)
= 2cos²(π/8) + 2cos²(π/2 - π/8)
= 2cos²(π/8) + 2cos²(π/8)
= 2.

.

Ensuite pour la question 2) avant d'attaquer le calcul, je pense tout de suite que le résultat sera égal à 4. Qu'en penses tu?

Il y a une erreur dans ton calcul:

Citation :

= 2cos²(π/8) + 2cos²(π/2 - π/8)
= 2cos²(π/8) + 2cos²(π/8)

Cos(π/2-a)=Sin(a) et non Cos(a) .

Je te laisse reprendre tes calculs. Le résultat est juste mais attetnion, un resultat juste ne donne pas forcément tous les point (le résultat est souvent sur 0.25 au maximum, c'est le raisonnement ou les calculs qui amène le résultat qui est intéressant en soi et c'est réellemetn ce qui montre quel e résultat est juste d'ailleurs ).

Le résultat risque fort d'être égale à 4, enfin quoique je te laisse découvrir les choses .

La seule modification que j'ai à faire et donc de remplacer

= 2cos²(π/8) + 2cos²(π/2 - π/8)
= 2cos²(π/8) + 2cos²(π/8)
par
= 2cos²(π/8) + 2cos²(π/2 - π/8)
= 2cos²(π/8) + 2sin²(π/8)
??

Donc:

b) cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(5π/8) + cos²(7π/8)
= cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(π-3π/8) + cos²(π-π/8)
= cos²(π/8) + cos²(3π/8) + cos²(3Pi*/8) + cos²(π/8)
= 2cos²(π/8) + 2cos²(3π/8)
= 2cos²(π/8) + 2cos²(π/2 - π/8)
= 2cos²(π/8) + 2sin²(π/8)
= 2.

En effet u que Cos(π/2-a)=Sin(a)
Donc [Cos(π-a)]²= [Sin(a)]²=Sin²(a)

D'ailleurs, la formule que tu utilises pour conclure est exactement Cos²(x)+Sin²(x)=1 pour tout x. Donc pour utiliser cette propriété fondamentale, il faut bien qu'on puisse l'écrire .

Donc avant de mettre la résultat final (Soit 2), je met :
Sachant que Cos² + Sin² = 1
2cos²(π/8) + 2sin²(π/8) = 2.

Et si on veut être encorep lus rigoureux, on peut écrire:

2cos²(π/8) + 2sin²(π/8) = 2*[cos²(π/8) + sin²(π/8)]

Or Cos² + Sin² = 1

Donc 2cos²(π/8) + 2sin²(π/8)=2

Donc pour la question 2°)

cos⁴(π/8) + cos⁴(3π/8) + cos⁴(5π/8) + cos⁴(7π/8)
= cos⁴(π/8) + cos⁴(3π/8) + cos⁴(π-3π/8) + cos⁴(π-π/8)
= cos⁴(π/8) + cos⁴(3π/8) + cos⁴(3Pi*/8) + cos⁴(π/8)
= 2cos⁴(π/8) + 2cos⁴(3π/8)
= 2cos⁴(π/8) + 2cos⁴(π/2 - π/8)
= 2cos⁴(π/8) + 2sin⁴(π/8) = 2*[cos⁴(Pi*/8) + sin⁴(Pi*/8)]
Or Cos² + Sin² = 1
D'où Cos⁴ + Sin⁴ = 2
Donc 2cos⁴(π/8) + 2sin⁴(π/8) = 4.

Citation :

Or Cos² + Sin² = 1
D'où Cos⁴ + Sin⁴ = 2

Comment passe-tu de l'une à l'autre ???? Il y a une erreur de raisonnement là.

Il faut mettre au carré la propriété fondamentale pour retrouver des puissances 4 mais il te manque un double produit quelque par là.

Cos²(x) + Sin²(x) = 1 => [Cos²(x) + Sin²(x) ]² = 1²=1

Je te laisse refaier tes calculs et voir à quoi est égale Cos⁴(x) + Sin⁴(x) en fonction de Cos²(x) et de Sin²(x)

Bon courage!

Alors là..

.. Je ne sais pas du tout..

Essayons de prendre les choses dans l'ordre. Tu as un problème de réflexion dû à ta volonté d'anticiper les résutlats de tes calculs. Le soucis lorsqu'on fait cela c'est que si tu n'appliques que ce que tu sais et bien tu arrives à des impasses comme ici. C'est frustrant mais c'est dû simplement au fait que pour l'instant tu vois les mathématiques comme une succession de formules ou de propriétés à appliquer les unes derrières les autres avec pour seule but d'arriver au résultat.

Mais si tu essayais de voir les choses autrement, tu ferais sans doute moins d'erreur et tu comprendrais mieux les choses. Par exemple, si ej te donne le résultat, le but est donc de trouverl e moyen d'y arriver et non plus de trouver le résultat vu que je te le donne. ainsi, je change le point de vu de notre problème et même de ta vision des mathématiques car le but n'est plus d'arriver à tout pris à un résultat car le résutlat est connu mais de faire un raisonnement correcte qui relis l'énoncer au résultat.

Ce n'est pas un défaut de ta part en fait car on t'as appris à voir les maths comme une succession de formules à apprendre par coeur et à enchaîner les une derrière les autre pour trouver des résultats à des questions. Le soucis de voir les mathématiques que comme cela, c'est que d'une part c'est barbant (et bien oui apprendre des formule c'est comme apprendre des date en histoire c'est ennuyeux et ça ne sert pas à grand chose au finale car on ne connaître pas plus l'Histoire en connaissant les date que les mathématiques en connaissant les formules sauf que cela nous donne desrepère et onus simplifie la réflexion à outrance vu qu'il ne reste plus qu'à appliquer la formule) et d'autre part, cela ne t'apprend rien de mathématiques en soit car savoir que Cos(π-a)=-Cos(a) par coeur va te servir tant que tu entraînera ta mémoire à t'en souvenir mais dès que tu l'utilisera plus (c'est àdire après cette exercice) tu risque d'être evant une impasse le jour où tu devra l'utiliser! Pourquoi? Car si tu ne sais pas le raisonnement qui mène à se résultat et bien tu ne pourra pas retrouver cette formule tout simplement.

Ce n'est pas forcément simple à comprendre et remettre en cause l'idée des mathématiques comme tu le vois en 1ère n'estp as chose aisé mais je pense d'une par que tu en es capable et d'autre part que cela te sera plus utile que d'apprendre des formule par coeur avec pour objectif de trouver des résultat.

Alors essayons de voir celà sur cette exemple, je vais donc te donner le résultat et le but va être de faire le raisonnement rigoureux qui mène au résultat et c'est réellement cela qui est à la base des mathématiques (l'enchaînement de propriétés vraies pour aboutir à quelque choses). Le résultat sauf erreur de calcul de ma part est de 3/4.

La question n'est donc plus "calculer: cos⁴(π/8) + cos⁴(3π/8) + cos⁴(5π/8) + cos⁴(7π/8)" mais cela devient:

"Montrer que cos⁴(π/8) + cos⁴(3π/8) + cos⁴(5π/8) + cos⁴(7π/8)=3/4"

Les seules connaissances que je considère admises pour résoudre l'exercice sont celles-ci: "pour tout réel x, on a: Cos²(x)+Sin²(x)=1 et Sin(2x)=2*Cos(x)*Sin(x).

Je te laisse revoir tes calculs et voir les liens qui pourrait mener au résultat qui est donc devant tes yeux. Le but n'est pas d'arriver au résultat à tout pris mais de faire un cheminement juste qui part de notre expression de départ et qui arrive au résultat et lorsque tu bloques au lieu d'essayer de bluffer pour avancer (comme tu as essayer de le faire à ton avant dernier message ) et bien pose tes questions, je te guiderai à partir de là où ça bloque .

Bon courage! (en espérant que cela te soit plus utile que le fait que je te donne les formules le file conducteur au fur et à mesure ).

Fraanchement, ça fais 2 heures que j'essai, mais je n'y arrive pas! . Ce sont les 4 en exposant qui me bloque. Le carrée ça va encore, mais là avec 4,.. Je n'y arrive pas du tout..

Bonjour,

Alors vu qu'on ne connaît que Cos²(x)+Sin²(x)=1 pour tout réel x, le seul moyen à notre disposition pour faire apparaître une puissance 4 sera de mettre cette égalité au carré.

A ce moment là, [Cos²(x)+Sin²(x)]² ?

Bon courage!

Franchement, je suis vraiment bloquée avec cette exercice. Je ne m'en sors pas, je n'y arrive pas..

Ne pas y arriver est un fait, ne pas avoir d'idée est plus ennuyeux par contre .

Est-ce que tu as effectué le calcul que j'ai exposé dans mon dernier message? Il y a deux manières de le calculer et la réponse est soit en fonction de Cos(x) et Sin(x) soit une constante.

Je te conseille de reposer tes calculs (voire même de les ré-écrire sur le forum) pour poser les idées et voir où cela bloque et surtout pouruqoi. Qu'est-ce qui t'empèche d'avancer? (pas forcément de trouverl e résultat mais d'avancer seulement). Pourquoi cela t'empèche d'avancer? Quels seraient les moyens pour pouvoir débloquer la situation d'après les hypothèses que nous avons?

Ce sont toutes ses questions qu'il faut que tu te poses en fait et rien qu'en te les posant cela aidel e plus souvent à voir pourquoi l'engrenage est grippé et où trouver l'huile pour fluidifier le rouage .

Bon courage!

J'ai une petite idée!
Bon alors après le calcule et tout, je me retrouve avec 2cos⁴(π/8) + 2cos⁴(3π/8)
Donc:
= 2cos⁴(π/8) + 2cos⁴(π/2 - π/8)
= 2cos⁴(π/8) + 2cos⁴(π/2 - π/8)
= 2(cosπ/8)⁴ + 2(sinπ/8)⁴
= 2 [(cosπ/8)⁴ + (sinπ/8)⁴]
Après je peux utiliser une identitée remarquable??

a⁴ + b⁴ = (a²+b²)² - 2a²b²

??

En effet, tu peux tout à fait utiliser cette identité remarquable qui n'est autre que (c+d)² avec c=a² et d=b².
Il faut la rappeler dans lorsque tu l'utilises avec des carré par contre car elle n'est pas immédiate tout de même .

Sinon, l'idée est excellente (comme quoi, on trouve rien mais bon à force, on fini par au moins avoir des idée quitte à ne pas trouver cela permet d'avancer ).

Je te laisse donc continuer dans ta démarche.

Bon courage!

Maais encore une fois, je suis bloquée dans mon calcul..

= 2 [(cosπ/8)4 + (sinπ/8)4]
Or a4 + b4 = (a²+b²)² - 2a²b²
D'où [(cosπ/8)² + (sinπ/8)²]² - 2[(cosπ/8)² x (sinπ/8)²]
Et cos² + sin² = 1
Donc: ...
Je suis bloquée là..

Alors tout ceci est nickel!!

Continuons continuons . Tu as oublié de multiplier par 2 ton expression d'ailleurs vu que tu avais 2*[....].

Et maintenant, en utilisant la formule que tu marques: Cos²(x)+Sin²(x)=1, on doit pouvoir encore simplifier normalement.

Après regarde l'aure terme à quoi il ressemble, n'oublie pas que dans l'hypothèse de départ, j'ai supposé connu le développement de Son(2x).

Bon courage!

Ok, je continue:

= 2 [(cosπ/8)⁴ + (sinπ/8)⁴]
Or a4 + b4 = (a²+b²)² - 2a²b²
D'où 2*[(cos(π/8))² + (sin(π/8))²]² - 2[(cos(π/8))² x (sin(π/8))²]
Et cos² + sin² = 1
Donc 2 (1) - 4(cosπ/8)² x (sinπ/8)²
= 2-4 (cosπ/8 x sinπ/8)²
Comme sin2a = 2sin a * cos a
Alors (cosπ/8 * sinπ/8) = 1/2 sin π/4
= 1/2 x (√2)/2
= (√2)/4 = 3/2

??

Alors jusqu'à l'avant dernière égalité toutes les justifications et calculs annexes étaient logique et bons.

Mais d'où sort:

Citation :

(√2)/4 = 3/2

Et pourquoi ne pas revenir au calcul pour conclure? Le but est de trouver toutes les étapes vers la conclusion, donc autant les écrire toutes .

Bon courage!

Ok donc:

Comme sin2a = 2sin a * cos a
Alors (cosπ/8 * sinπ/8) = 1/2 sin π/4
= 1/2 x (√2)/2 = (√2)/4
D'où 2-4 ((√2)/4)
= -2 x (√2)/2
= ...

?

Un peu de concentration .

La réponse te paraît-elle juste? Si non, quel est le moyen de montrer de façon irréfutable que cette solution est fausse?

Pour la corriger relis tes calculs, tu va constater un tout petit oubli de recopie qui te coûte très cher à la fin .

Bon courage nous y sommes presque!