trigonométrie

ABC est un triangle et R=2 le rayon de son cercle circonscrit
AC=b ,AB=c , BC=a=2V3
B=45 C=75 A=60
-on suppose B et C sont fixes et A varie sur le grand arc [BC]
déterminer la position de A pour la quelle le produit bc est maximum

j'ai essayé de procéder de la sorte
c/sinC = 2R
c=2RsinC
b/sinB=2R
b=2RsinB
bc=4R²sinBsinC
bc est maximum lorsque sinBsinC est maximum MAIS quand sinBsinC est il maximum ?
j'ai essayé de même d'écrire bc par le théorème d'ElKashi mais ça n’emmène à rien
merci pour votre aide

Bonjour,

Ton énoncé me semble bizarre.

D'après ce que j'ai compris les trois angles sont fixés. A partir de là, tu dis que les points, B et C sont fixé sachant que BC= 2√3 cm. Le point A est donc totalement défini et non variable avec de telles hypothèses.

En effet, il y a une longueur fixé, BC, et deux angles de fixé. Il n'y a donc qu'un unique triangle respectant ces contrainte là et par conséquent A ne peut pas varier sur l'arc de cercle sans faire varier les angles ABC, et ACB. Cela est mathématiques impossible à envisager.

Admettons que les angles ne soit pas fixés ce qui rend donc l'énoncé viable à partir de là. Dans quel triangle rectangle te places-tu pour appliquer les formules de trigonométrie? Car rien ne nous dit dans l'énoncé que le triangle ABC est rectangle en A et donc que [BC] serait le diamètre du cercle (ce qui contre-dirait le faire que le rayon R soit égale à 2 vu qu'à ce moment là BC=2R=4 cm et non 2√3 cm).Il y a donc la construction d'un point interceptant l'arc AB tel que ce point soit aligné avec le entre du cercle et le point B pour construire un triangle rectangle intermédiaire et donc sortir l'utilisation de la formule du sinus.

Il faudrait reprendre ton énoncé dans sa globalité et de façon brute car là, il y a trop d'incohérence pour pouvoir entamer une réflexion sur le sujet.

Bonne continuation!

il faut dire que j'avais rapporté seulement une partie de l'exercice entier
donc j'avais pensé que certaines informations sont demandées
pour les mesures des angles je vois maintenant que c'est inutile de les mentionner
sinon je pense que vous n'avez pas lis le problème correctement
déterminer la position de A pour la quelle le produit bc est maximum pas BC le coté du triangle ABC
pour clarifier un peu : on suppose B et C sont fixes et A varie sur l'arc [BC] contenant A ( c'est la question correcte )
merci pour votre aide

Bonsoir,

Ma compréhension de la question était bonne, mon soucis résidait dans la construction de l'énoncé qui me paraissait bancale.

Donc si on ne démontre rien sur les formule intermédiaire (à savoir pourquoi la formule c/Sin(C)= 2R par exemple), on en conclut bien:

bc=4R²Sin(B)Sin(C)

Sachant que le sinus d'un angle aigu est comprise entre 0 et 1 sachant que les angles B et C sont compris entre 0° et 90° sachant que 0° et 90° sont exclus sinon, le triangle n'existerait pas (triangle plat). Donc la valeur de deux sinus est comprise entre 0 et 1 strictement.

De plus, par symétrie par rapport à la médiatrice de [BC], on peut se limiter à une étude entre 0° et 45°.

Il ne reste plus qu'à conclure sur le maximum du produit de ces deux sinus sur cet intervalle là.

Bon courage!

Ah c'est bon donc ! désolé
je ne vois pas encore comment peut on trouver le maximum de sinBsinC dans cette intervalle
lorsque a>b
sina>sinb
si a et b sont dans cette intervalle alors si B=45 C=45 donc sinBsinC est maximum mais ABC serait rectangle ce qui impossible
DONC comment ?!!

Pourquoi ABC ne pourrait pas être rectangle ? (Il serait même isocèle rectangle).

Dans l'énoncé que tu indiques, cela n'est pas exclus.

si B=45 C=45 alors ABC est rectangle en A donc BC=2R=4 or BC=2V3 !!

Ok donc les contraintes de distance existaient tout de même alors.

Il faut que je reconsidère l'exercice sous un autre angle alors.

slt ,
bc=4R²Sin(B)Sin(C)=16sinBsinC
bc est max quand sinBsinC est max comme vous avez dit
b/sinB=a/sinA alors sinB=b*sinA/a
c/sinC=a/sinA alors sinC=c*sinA/a
d'où sinBsinC=bc*sin²A/a²=bc*sin²A/12
donc
sinBsinC est max lorsque sin²A est max donc lorsque sinA est max
or on a 0=<sinBsinC=<1 donc
0=<bc*sin²A/12 =<1 donc
bc*sin²A=<12
or bc=<16 CAR bc=16sinBsinC alors
sin²A =<12/16=3/4
sinA=<V3/2
comme sinBsinC est max lorsque sinA est max alors sinA=V3/2
A=60°
qu'est ce que vous dites mr Blagu'cuicui ??

Ok donc tu connais déjà l'égalité des sinus (décidément, il faudrait vraiment que je choppe un prog correspondant au cursus tunisien et marocain car là par rapport au sujet français j'hallucine toujours ).

Bon ok pour le début de ta réflexion:

Sin(B)Sin(C)=bc*Sin²(A)/a²

Je me retrouve donc avec: bc=16*Sin(B)*Sin(C)=16*bc*Sin²(A)/a²

Et j'ai l'impression que je tourne en rond car b et c étant des longueur, je peux donc simplifier mon égalité par le produit bc ce qui donne:

1=16*Sin²(A)/a²

Du coup, on trouve directement le sinus de l'angle BAC vu qu'on sait que a²=12.

En effet, Sin²(A)=12/16 donc Sin(A)=2V3/4=V3/2

Conclusion, A=60°

En fait, tu tournes en rond car l'égalité des sinus est égal à 2R et donc on retombe sur la formule de départ à savoir:
bc=4R²*Sin(B)*Sin(C).
Tu as juste redémontré que 2R=a/Sin(A).

Par constre, vu qu'on connait a et R, on trouve directement la valeur de A alors que A est censé être variable sur l'arc BC ce qui rend toujours l'énoncé aussi illogique de mon point de vue.

En gros, soit BC est fixée et à ce moment là, A tombe à 60° et il ne reste plus qu'à calculer le produit bc (qui est donc fixe depuis le début!).
Soit BC n'est pas une longueur fixée et à ce moment là, le triangle peut être isocèle rectangle comme nous l'avions démontré.

J'avoue que je ne vois pas comment avancer plus en avant vu que dans les deux cas on tombe sur une contradiction (le premier cas ne correspond par à la valeur réelle de BC, et le deuxième cas, l'angle A serait déjà fixé alors qu'il varie sur l'arc BC).

Merciii infiniment pour vous les deux on a fait la correction et c'était comme vous avez dit
d'ailleurs je suis le seul dans la classe qui a donné une réponse juste

Bonsoir,

Je n'ai pas dit grand chose, tu as fait l'intégralité du travail c'est ce qui doit être très gratifiant pour toi vu que je n'ai fait que guider tes idées tout simplement.

Bonne continuation et @la prochaine au sein au forum!