Trigonométrie.

Bonjour à tous,

Si je requiers votre aide, c'est parce que je suis vraiment coincée. En effet, je me retrouve avec 12 exercices sur la trigonométrie à faire pour la rentrée et j'en ai déjà fait la moitié. Mais en ce qui concerne l'autre moitié, je bloque littéralement.. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ?

"Dans cet exercice, on donne : cos (π/5) = (1+√5)/4.
Calculer la valeur exacte de cos (2π/5) puis de cos (3π/5)."

En cherchant sur internet (puisque l'on n'a rien fait de ce genre dans le cours) j'ai trouvé que cos (2π/5)= (√5-1)/4. Mais je dois avouer que la raison m'échappe complétement car si l'on fait :
2π/5 = π/5+π/5. Donc cos (π/5+π/5) = 2cos² π/5 -1. Ce qui me donne un résultat pas du tout cohérent.. /:
, quant à cos (3π/5) je sais que l'on doit se servir de 2π/5 en disant que 3π/5 = π-2π/5, mais n'ayant pas le résultat pour 2π/5 je me retrouve bloquée..

Merci d'avance. (:

Bonjour et bienvenu parmi nous!

En fait, l'idée même de ce genre d'exercice c'est qu'on ne doit se servir que de l'énoncé pour le résoudre. Ainsi, il faut essayer par tous les moyens de se ramener à l'utilisation du cosinus qu'on te propose comme connu.

Pour cela, serais-tu exprimer Cos(a+b)? De plus et dans la même idée; vois-tu un lien entre π/5 et 2π/5 pour utiliser la décomposition de la question que je te pose?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

Merci de votre aide. (:

Donc ; oui, si l'on exprime cos (a+b) on obtient : cos a . cos b - sin a . sin b.
Ensuite, selon moi 2π/5 = π/5 + π/5 .

On se retourve ainsi avec cos 2π/5 = cos (π/5 + π/5) .

Le problème c'est que j'ai besoin du sinus de π/5 mais sa valeur n'est pas donnée..
Mais dans mon cours, j'ai une formule qui dit que : cos 2a = 2cos² a - 1.

Suis-je ou non sur la bonne voie ?

Bonjour,

Alors, il s'agit bien de la bonne méthode mais hélas un sinus apparaît, en effet. Et pourtant, j'affirme que ce n'est pas un problème.

En effet, ne connais-tu pas une formule qui relie le cosinus et le sinus d'un même angle? (c'est d'ailleurs cela qui sert pour re-démontrer la formule que tu proposes)

Bon courage!

Ah d'accord, je pense voir..

Donc on se sert de cos (a+b) = cos a . cos b - sin a . sin b
Or a=b. On a donc : cos² a - sin² a
et sin² a = 1 - cos² a.

Ce qui nous donne finalement : cos² a - (1 - cos² a)
ce qui revient donc à faire : [(1+√5)/4]² - {1-[(1+√5)/4)²]}
Mais j'arrive à -4/16 au résultat final.. Je ne comprends pas..

Bonsoir,

IL y a un soucis là. Donc toute la mise en place est juste mais le résultat est assez bizarre.

Alors regardons d'un peu plus près les chose. Pourrais-tu développer le calcul de [(1+√5)/4]² pour voir où le problème intervient ?

Bon courage!

Oui, bien entendu.

Donc : [(1+√5)/4]²
= (1+√5)²/4² - (1 - (1+√5)²/4² )
= (1+2√5+5)/16 - (1 - (1+2√5+5)/16)
= (1+2√5+5)/16 - (16/16 - 1-2√5-5/16)
= (1+2√5+5)/16 - (10-2√5)/16
= (1+2√5+5-10+2√5)/16
= (-4+4√5)/16

Finalement, je ne trouve pas le même résultat, mais je ne suis toujours pas non plus sur la bonne voie.. /:

À moins que je divise par 4 au numérateur et au dénominateur.
Ce qui donnerai selon-moi :
(-4+4√5)/16
= (-1+√5)/4

Est-ce possible ? Puisque c'est ce qu'il faut que je trouve.

C'est possible et même très fortement conseillé de simplifier une expression au maximum.

On a le droit de simplifier par 4 car tu peux mettre 4 en facteur à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction tout simplement. En tout cas, je constate que lorsque tu prends le temps d'écrire tes calculs ceux-ci en deviennent que plus juste. Je te conseille donc de prendre ton temps lorsque tu fais tes calculs pour bien les écrire quitte à en mettre de trop au départ mais cela évitera de perdre des points bêtement dans un devoir par exemple.

Bon courage pour la question suivante qui est dans le même ordre d'idée sauf que maintenant, on connaît deux valeurs de cosinus qu'on va pouvoir utiliser.

Bonjour,

Oui, c'est vrai qu'en détaillant davantage mes calculs, j'évite les erreurs..

En ce qui concerne le cosinus de 3π/5, je pense qu'il faut se servir du fait que ce soit égal à π/5+2π/5.
Ainsi, cos (3π/5) = cos (π/5+2π/5) = cos π/5 . cos 2π/5 - sin π/5 . sin 2π/5
Le problème qui se pose une nouvelle fois à moi, c'est qu'il faille utiliser les sinus..

Quant à cos π/5 . cos 2π/5, je pense que c'est égal à 1/4.
En effet, si l'on fait : cos π/5 . cos 2π/5 = ((1+√5)/4) * ((√5-1)/4)
= (√5-1+5-√5)/16
= 4/16
= 1/4.

Est-ce exact ?

Bonjour,

D'accord pour la multiplication des cosinus. D'ailleurs tu aurais pu gagner du temps en reconnaissant (a+b)*(a-b)=a²-b² mais bon les calculs sont justes donc pas de soucis.

Pour les sinus, hier tu as eu accès au sinus de π/5 au carré, avoir le sinus dans le carré ne devrait pas poser de problème je pense. De même pour l'autre sinus maintenant qu'on cosinus son cosinus.

Bon courage!

Bonsoir,

D'accord, je vois. Merci. (:
Donc si je comprends bien, je dois faire :
cos 3π/5 = cos (π/5+2π/5) = cos π/5 . cos 2π/5 - sin π/5 . sin 2π/5
Ainsi = 1/4 (calculé précédemment) - √(1-cos² π/5) * √(1-cos² 2π/5)
= 1/4 - √(10-2√5)/4 * √(10+2√5)/4

Si ici que je bloque ; comment multiplie-t-on des racines carrée entre elles ?
(si mes résultats sont cohérents..)

C'est ici. *

Bonjour,

Vu la tête un peu bizarer que cela tire, je comprend que tu y perds ton latin mais pourtant, je suis sûr que tu connais parfaitement la formule suviante:

√a*√b=√(a*b)

Je te laisse donc effectuer les calculs, cela va se simplifier ne t'inquiète pas.

Bon courage!

Bonsoir,

Ah d'accord ! Il est vrai que dit ainsi, cela parraît plutôt simple.

Donc, si j'ai bien compris l'on fait : √(1-cos² π/5) * √(1-cos² 2π/5)
= √[(10-2√5) * (10+2√5)]/16
= √(100+20√5-20√5-20)/16
= √(80/16)
= (4√5)/4.

Ainsi, il suffit de faire : 1/4 - 4√5/4
= (1-4√5)/4 = cos 3π/5.

Est-ce cohérent ?

Bonsoir,

C'est exact!

Tu aurais encore pu gagner du temps en remarquant que (10-2√5) * (10+2√5) = 10² - (2*√5)² (car nous sommes dans le cas de figure (a-b)*(a+b) tout simplement)

Bon courage pour la suite!

Oui, c'est vrai.

En tout cas, merci beaucoup pour tout. Je sais vers qui je peux me tourner maintenant en cas de souci.

Bonne soirée, et encore merci.