Produit scalaire - Formules de la médiane.

Bonjour..
Je bloque encore sur un petit exercice..
Voici l'énoncé :

On donne deux points A et B tels que AB = 4.
1°) Existe-t-il des points M dans le plan tels que MA² + MB² = 8 ? Justifier.
2°) Déterminer l'ensemble E des points M du plan, tels que MA² + MB² = 10.
3°) Déterminer l'ensemble F des points M du plan qui vérifient MA² - MB² = -16.

Je connais pourtant mes formules, mais je n'arrive pas à les appliqués.
C'est la première fois que doit appliqués ces formules, et j'ai beau les connaitre, je n'arrive pas à les utiliser..
Merci d'avance.

Bonsoir,

De quelles formules parles-tu quand tu dis que tu connais tes formules mais ne voit pas comment les appliquer?

Avant d'aller plus loin, je souhaiterai savoir si tu as vu le produit scalaire de deux vecteurs ou pas encore? Car pour le moment, je vois un moyen assez brutale de traiter l'exercice mais passant par le produit scalaire. Donc avant de m'avancer plus en avant, je préfère demander au cas où.

Bon courage!

Oui, Je pense avoir vu cette partie du chapitre.

Je suppose que les formules sont les suivantes: (Je met entre ".", les vecteurs)

* MA² + MB² = 2MI² + 2IA² = 2MI² + 1/2 AB²
* MA² - MB² = 2"MI"."BA"
* "MA"."MB" = MI² - IA²


Dans le cas de mon exercice, on a I milieu de [AB],
MA² + MB² = 2MI² + (AB²)/2
d'où MA² + MB² = 2MI² + 8

Donc, pour la première question, Peut-on avoir 2MI² + 8 = 8 ? ; Comment s'y prendre ?

Je reste bloquée pour le reste de l'exercice..

Re-Bonjour,

Donc ici, tu utilises en effet des formules toutes faites ou tu les redémontres au choix.

On arrive donc à 2*MI² + (1/2)*AB² = 8 avec I milieu de [AB] et AB=4

Donc la première question, revient à savoir s'il est possible d'avoir des point M tel que 2*MI²=+8=8?

Or on peut encore écrire autrement cette égalité, non? Ou sinon, on peut y aller de façon brutale en remarquant que 2*MI² est toujours positif ou nul. Conclusion?

Bon courage, tu as fait quasiment tout le travail là!

Donc, voici ce que j'ai fais, mais j'ai des problèmes pour la conclusion..
Ca nous donne..



On a I milieu de [AB], MA² + MB² = 2MI² + (AB²)/2
d'où MA² + MB² = 2MI² + 8

1°) MA² + MB² = 8 ?
2MI² + 8 = 8
2MI² = 8-8
2MI² = 0
MI = 0
Donc..

2°) MA² + MB² = 10 ?
2MI² + 8 = 10
2MI² = 10-8
2MI² = 2
MI = 1
Donc..

3°) MA² - MB² = -16 ?
- (2MI² + 8) = -16
- 2MI² = -16 - 8
- 2MI² = -24
- MI² = -12
Donc..

Re-bonsoir,

Et bien allons-y par étape alors et surtout essayons d'être méthodique.

En effet, que cherchons-nous?

Réponse: un ensemble de point M vérifiant une propriété donnée.

Donc la question maintenant qui se pose à chaque étape est:

Où se situe les points M tel que par exemple MI=0? (si on prend la première question). Sachant que ici, I est fixé et est le milieu de [AB].

Bon courage!

D'accord, donc..

1°) MI = 0
Donc M est confondu avec I.
2°) MI = 1
Donc M est sur le cercle de centre I est de rayon 1.
3°) Avec H le projeté orthogonal de M sur (AB), MA² - MB² = 2"AB"."IH" = -16
d'où "AB"."IH" = -8.
-8 est négatif donc "AB" et "IH" sont colinéaires et de sens contraire.
Donc AB * IH = 8
8 * IH = 8
IH = 1
Donc M est..

Re-bonsoir,

La première et la deuxième question sont justes sans aucun soucis (mis à part le fait de détailler les calculs menant au résultat).

Pour la troisième question, je te conseille de revenir à une démarche plus classique sans introduire de projeté ni le milieu de [AB]. En effet, essaie de calculer MA²-MB² en revenant aux vecteurs et en exprimant tout en fontion de MA et AB par exemple. Il sera plus aisé de conclure à partir de là.

Bon courage!

En faite, en réalisant le schéma, je n'arrive pas à placer H, je ne sais pas trop où le mettre, ni comment le mettre... Du coup, je n'arrive pas à imaginer la situation et je n'arrive pas à voir ou pourrait être M...

Bonsoir,

Le soucis c'est justement que H dépend de M vu qu'il s'agit du projeté de M sur la droite (AB). Donc si on n'arrive pas à conclure à une position de H fixé dans un nombre de points finis, nous n'allons pas pouvoir conclure. En effet, avec ta démarche on arriverait (je n'ai pas refait les calculs) à IH=1. Donc H se situerait sur le cercle de centre I et de rayon 1. En gros, H est localisé comme un ensemble de points. En conséquence, il n'est pas du tout aisé de revenir à l'ensemble des points M.

C'est dans cette optique là, que je te propose de ne pas du tout utiliser le point H ni le point I d'ailleurs. Juste d'essayer d'utiliser les données du texte de façon brute comme si nous ne connaissions rien sur le sujet mis à part les calculs avec le produit scalaire. L'avantage ici va venir du fait qu'il s'agit d'une différence et non d'une addition comme dans les deux premières questions. Cela va nous simplifier la vie, tu vas vite t'en apercevoir je pense.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

Après réflexion, je pense qu'on peut conclure pour la 3°) que le point H est en A et H est le projeté orthogonal de M sur (AB) ?

Bonjour,

Comment arrives-tu à conclure cela? Si tu arrives à le justifier pourquoi pas. Mais à la fin nous étions arrivés à IH=1 sachant que I est le milieu de [AB], je ne sais pas comment tu arrives à H=A sachant que AB=4 ce qui nous amène donc à dire que AI=2 et non 1.

Bon courage!

Je voudrais garder ma méthode, mais je ne trouve vraiment pas où pourrais être placer ce point !!

Bonsoir,

Alors après avoir regardé tous les calculs, je m'aperçois qu'on ne peut pas conclure à cause d'une faut de calcul par ta méthode. Mais on va y remédier:

Citation :

3°) Avec H le projeté orthogonal de M sur (AB), MA² - MB² = 2"AB"."IH" = -16
d'où "AB"."IH" = -8.
-8 est négatif donc "AB" et "IH" sont colinéaires et de sens contraire.
Donc AB * IH = 8
8 * IH = 8
IH = 1

J'ai mis en gras l'erreur qui est donc le passage de la première ligne à la deuxième. En effet que vaut AB?

Du coup, que vaut IH? Et sachant que H est sur (AB) et que I est le milieu de [AB], je te laisse reprendre le raisonnement.

Désolé, j'ai été aveuglé par une méthode plus courte et du coup, je voulais t'y forcer ce qui n'est pas du tout pédagogique de ma part. C'est pour cela que je n'avais pas regarder le calcul du 3) en détail. Avec mes excuses donc pour ce contre temps et tu as bien fait d'insister en tout cas car ta méthode aboutie bel et bien ici vu que nous sommes dans un cas particulier.

Bon courage!

Exact, petite erreur..

AB = 4
donc IH = 8-4 = 4.

Donc M est sur le cercle de centre I est de rayon 4 ?? :S

Oulà !!

AB*IH=8 ce n'est pas ce que tu as écrit? Erruer d'inattention, je pense pour la conclusion du coup.

Je te laisse reprendre tes calcul sachant donc que AB=4.

Bon courage!

Oulaaaa!! Oui, pardon..

AB*IH = 8
Soit 4*IH = 8
Donc IH = 8/4
donc IH = 2.

Donc M, est sur le cercle de centre I est de rayon 2 !

Le calcul est juste mais la conclusion est fausse!

i) Que représente H?
ii) Où se situe-t-il?
iii) Qu'est-ce que cela signifie que IH=2 sachant que ce représente I?
iv) Conclure sur l'ensemble des points M cherché.

Toujours analyse les réponses qu'on trouve avant de conclure quoi que se soit .

Bon courage!

J'ai dis précédament que pour MI = 0, M est confondu avec I.

Mais sachant que (AB) = 4, donc I le milieu de (AB) fait 2 (AI = 2 et IB = 2).
Donc, on peut dire que M est soit confondu avec A, soit confondu avec B ?

Oulà!

Il commence à se faire tard, j'ai l'impression .

MI=0 c'est la première question. Les questions sont totalement indépendantes! Attention à ne pas tomber dans ce piège là.

Donc ici nous résolvons la question 3) et nous sommes donc arrivés au conclusion suivante au niveau des calculs:

H est le projeté de M sur (AB).
I est le milieu de [AB] avec AB=4
Et on a: IH=2

Conclusion, quelles sont les emplacements possible pour H? Et à fortiori, quel est l'ensemble des points M recherché?

Bon courage!

Je pense que dans ce cas, M est confondu avec A..

Bonjour,

M=A est une solution mais ce n'est pas la seul. En effet, tu considères que M=H ce qui n'est pas toujours le cas.

Question intermédiaire: Quel est l'ensemble des points possibles pour H sachant que H est le projeté de M sur (AB) et que IH=2 ?

Bon courage!

Dans ce cas, je dirais que M est confondu avec A ou confondu avec B..

Bonsoir,

Avant de s'intéresser à M essayons déjà de savoir où se situe H vu qu'il s'agit de son projeté sur la droite (AB). A moins qu'il s'agit d'une faute de frappe et que tu souhaite mettre H au lieu de M (et cela aurait engendré un quiproquo du coup).

Bon courage!

Franchement, Je ne sais pas.. Je suis complètement perdue.