Sommes

Bonjour,
J'ai un problème avec le premier exercice car je ne sais pas quelle formule utiliser pour calculer ces sommes et pour le deuxieme exercice c'est surtout pour le C que j'ai du mal. Merci par avance pour votre aide

Ex1 Soit n un entier naturel non nul. Calculer les sommes suivantes.
P_n= Σ_{(i=1 à n)} (3i+1)
I_n= Σ_{(i=1en à n)} (7i-5)

Ex2 Calculer les sommes suivantes.
A=1+6+11+16+...+2346
B=9+27+81+243+...+4 782 969
C= 1²-2²+3²-4²+...+2005²-2006²

Bonsoir,

Apprendre des formules ne sert en fait pas à grand chose le plus souvent. La preuve sur ton premier exercice vu que je suis persuadé que tu connais la formule mais tu ne sais pas que c'est celle-ci qu'on doit appliquer (à moins qu'il s'agit d'un exercice d'initiation mais vu le gabarit je ne pense pas).

Il s'agit donc de calculer une somme. Prenons la première P_n par exemple. Une somme est caractérisé par le nombre de termes qui la compose ainsi que par le terme générale de la somme (c'est à dire le trime qui varie en fonction de i ici).

Ici, le terme générale est 3*i+1. J'appelle ce terme u_i=3*i+3.

Que pouvons-nous dire de (u_i)?

La seconde étant sur la même démarche, essayons déjà de regarder la première.

Bon courage!

(Ui) est une suite arithmétique

En effet, c'est donc une suite arithmétique.

P_n est donc la somme d'une suite arithmétique.

Sais-tu calculer ce genre de somme?

Bon courage!

P_n=n*[(4+3n+4)/2]
....
=(3n²+8n)/2

I_n=n*[(2+7n-5)/2]
......
=(7n²-3n)/2

Il y a une légère erreur de calcul sur la première somme. En effet, le terme générale est 3*i+1 et non "+4" ce qui va donc modifier le résultat.

Mais en tout cas la démarche est bonne ce qui est excellent en soi.

En fait, au niveau des calculs de sommes, cela devient vite complexe de manipuler ce genre d'objet. On ne le sens pas très bien sans doute car tu commences à les apprivoiser ou à apprivoiser le symbole de somme (qui simplifie l'écriture mais dès fois pose des problèmes de compréhension). Il faut donc se dire qu'on sait calculer la somme et donc il n'y a pas beaucoup de somme que tu sais calculer de façon brute. Il y a la sommes des suites géométriques et la sommes des suites arithmétiques. Les autres sommes étant des combinaisons de celles-ci le plus souvent.

Pour l'exercice 2), il s'agit de retrouver l'écriture de la somme pour savoir ce qu'on calcule exactement. Le but est donc dans un premier temps d'écrire chaque sommes sous forme condensée c'est à dire à l'aide du signe somme.

As-tu des idées pour la premières par exemple?

Bon courage et n'hésite pas si quelque chose reste flou!

Pour P j'ai retrouvé =(3n²+5n)/2
et pour la premiere de l'exercice 2 ca a l'air d'aller de 5 en 5 mais je ne sais pas comment l'ecrire avec sigma

C'est nickel pour le premier exercice.

En effet, c'est bien de 5 en 5 qu'évolue la première somme. Pour l'écrire avec la symbole du signe somme, il faut réussir à explicite le terme générale de cette somme ainsi que les bornes de la sommations. C'est à dire qu'il faut dans un premier temps expliciter la suite (qui va dépendre de n pour simplifier les écriture par exemple) et ensuite, il faudra savoir comment varie n dans cette somme c'est à dire savoir quels sont les termes de la suite que nous additionnons.

Pour simplifier l'écriture, nous avons qu'à poser le nom de la suite par un classique (u_n) par exemple.

Est-ce que tu as des idées pour exprimer cette suite dans un premier temps? Quel nom porte cette suite et ce qui la caractérise en quelque sorte la question revient à cela.

Ensuite, il nous restera à savoir quel termes nous ajoutons (nous commençons à quel terme? u₀? u₁ ?... et nous finissons à quel terme u₁₀₀₀₀ ??? avant? après ?)

Bon courage!

A_n= Σ_{(i=1 à 469)} (5i+1)

J'ai trouvé ça grâce à la formule suite arithmétique Un=Uo+na Un=1+5n
et pour trouver 469 j'ai fait 2346=1+5n et n=469

Excellente démarche!

Mais à quoi je sers? Je me le demande . Ait confiance en toi, je pense que ça t'aidera sur du long terme .

Bon je vais servir à quelque chose tout de même cari l y a une légère erreur. En effet, tout est juste pour le terme générale de la suite ainsi que pour la démarche pour trouver le dernier terme. Mais attention à l'erreur classique. EN effet, ta somme commence par quel terme telle que tu l'as écrite actuellement? Alors que nous elle commence à 1.

Je te laisse donc corriger cela et effectuer la somme de cette suite arithmétique donc. Ça coule tout seul à partir du moment où on a expliciter la suite en question (en tout cas c'est plus simple).

Bon courage!

ok J'ai trouvé alors A_n= Σ_{(i=0 à 469)} (5i+1)

A_n= 470*[(1+2346)/2)]=551545

Nous sommes d'accord.

Tu constates en fait que pour cette somme, on aurait pu la calculer presque directement vu qu'il s'agissait d'une sommes de suite arithmétique. En effet, la seul difficulté résidant dans le calcul du nombre de terme (et donc dans la résolution que tu as marqué tout simplement) vu que nous avions déjà le premier terme ainsi que le dernier terme. Mais au moins la démarche s'appliquera pour toute suite arithmétiques ce qui n'est pas plus mal.

As-tu des idées pour la somme suivante?

Bon courage!

Suite geometrique Vn=Vo*b^n Vn=9*3^n
B_n= Σ_{(i=0 à 12)} (9*3^i)
B_n= 9*[(1-3^13)/(1-3)]=7174449

C'est tout à fait exacte!

Pour la rédaction, il faudrait juste que tu explicites comment tu trouves que le dernier terme c'est V₁₂.

Pour finir en beauté, des idées pour la dernière?

Bon courage!

La dernière je vois pas trop comment faire ; j'ai pensé à ça 1²-2² = (1-2)(1+2) mais

Bonjour,

L'idée n'est pas mauvais du tout bien au contraire!

En effet, on constate qu'il y a des différences de carré ce qui va nous permetre de factoriser. Mais pour pouvoir bien voir les choses essayons d'écrire la suite que nous avons sous les yeux. Elle n'est ni géométrique ni arithémtique à première vu mais est-ce que nous pourrions pas tout de même écrire cette sommes comme une somme de différence de deux termes par exemple. Que vaudrait u_n ici et n varierait entre quoi et quoi?

Une fois que tu auras le terme générale essaie d'améliorer sa forme pour te ramener à une suite que tu sais étudier par exemple.

Bon courage!

En cherchant un peu, j'ai trouvé ça
S_n= Σ_{(i=1en à 1003)} -1(4i-1) = Σ_{(i=1en à 1003)} -4i+1

Suite arithmétique de raison -4 donc en reprenant la formule pour somme de suite arithmétique
Sn=1003*[(-3-4011)/2]= -2013021

Voilà, j'espère que c'est ça!!

Bonsoir,

Alors la somme est fausse mais pourrais-tu détailler ton raisonnement car il ne doit pas manquer grand chose, je pense.

qu'as-tu fait exactement pour aboutir à cette somme avec ses bornes?

Bon courage!