Valeur absolue

Bonsoir, alors j'ai un exercice à traiter qui parle de valeur absolue... Je dois determiner toutes les fonctions affines telles que |f(x)|=f(|x|). Cela signifie pour moi que f(x)=f(x) ou f(-x) ou que -f(x)=f(x) ou f(-x). Je pense en voyant ceci à la parité d'une fonction. Peux tu m'aider à pourquivre ? Merci.

Bonsoir,

Ce genre de question est très intéressant en soi car elle oblige à raisonner en deux temps. En effet, on va d'abord supposer qu'il existe une fonction F vérifiant:

Pour tout réel x, |F(x)|=F(|x|)

Cela va nous permettre de travailler hypothétiquement sur une fonction dont on est pas sûr de l'existence mais au moins on pourra en déduire des propriétés si elle existe. Ensuite, lorsqu'on aura une fonction possible ou plusieurs fonctions possibles, il nous suffira de vérifier qu'elles vérifient bien les hypothèses tout simplement.

Nous savons peu de chose en fait mais nous savons tout de même que la fonction valeur absolue pour les réels en tout cas se traite en deux temps. En effet, il y a deux cas pour étudier la valeur absolue soit x est positif, soit x est négatif. Le but serait donc de commencer par étudier les choses avec cette idée en tête c'est à dire étudions notre fonction pour les valeurs positives de x puis on regardera les valeurs négative de x.

Qu'est-ce que cela t'inspire pour les valeur positives par exemple? Que déduis-tu?

Bon courage!

Merci. Pour les valeurs positives, |x|=x donc f(|x|)=f(x) donc on va voir soitf(x)=f(x) soit f(x)=f(-x). f est paire non?

Bonjour,

Lorsqu'on résout un problème de mathématiques, il faut essayer de ne pas avoir de préjugé sur le résultat avant d'avoir démontré le dit résultat. En effet, tu pars tête baissé sur l'idée de parité qui est une bonne idée en soi mais le but ce n'est pas de déduire directement la parité c'est plutôt de démontrer que ce qu'on peut faire avec les hypothèses a un lien avec la parité et c'est plutôt là qu'est le soucis en l'occurrence.

En effet, si x est positif, on a |x|=x ce qui nous amène donc à pouvoir écrire qu'une unique chose qui est ceci: Pour des valeurs réelles positives x, on a |F(x)|=F(x) car |x|=x tout simplement.

Qu'en déduis-tu de façon brute? C'est à dire sans chercher à faire dire ce que tu souhaites mais simplement en lisant l'hypothèse. À quoi correspond F(x) pour une valeur de x donné? Du coup, qu'est-ce que cela signifie |F(x)|=F(x) pour x>0 ?

Il faut vraiment essayer de ne pas faire dire ce qu'on souhaite aux hypothèses mais simplement travailler avec les hypothèses pour arriver à un résultat.

Bon courage!

D'accord. Nous savons que si une fonction est affine, elle peut s'écrire sous la forme ax+b avec (a,b)€R*X R. Donc ici, f(x)=|f(x)| si et seulement si ax+b=|ax+b| Dc ax+b>0 necessairement.

Déjà, je constate un changement de façon de faire dans ta démarche et je ne sais pas si tu t'en rends compte mais c'est tout de suite plus fluide dans les idées car on n'attend pas quelque chose mais on avance vers quelque chose ce qui n'est pas du tout le même état d'esprit.

Ensuite, il faut essayer d'être rigoureux. En effet, cela implique qu'il existe deux réels a et b tels que a*x+b soit positif ou nul. Le soucis en écrivant cela c'est que tu oublies une donnée importante. En effet, ta conclusion est valable pour quelles valeurs de x ? C'est vraiment très important comme hypothèse car c'est ce qui va nous permettre de mieux définir les propriétés que doivent posséder les réels a et b qui sont nos seules inconnues en fait.

Donc si on met toutes les hypothèses de cette première conclusion, on a:

F est une fonction affine, donc il existe a et b deux réels quelconque à la base (en effet, la fonction constante égale à b est aussi une fonction affine particulière certes mais c'est bien une fonction affine) tels que pour tout réel x, F(x)=a*x+b

Or d'après l'hypothèse du texte que pour tout réel x, on ait: |F(x)|=F(|x|), on en a déduit que pour tout réels x positifs ou nul, on a: |F(x)|=F(x) c'est à dire que que pour tout réel x, F(x) est positif ou nul.

Conclusion de ce raisonnement (mais avec les quantificateurs cette fois-ci), on a: Il existe a,b deux réels, tel que pour tout x>0, on ait: a*x+b>0

Or qu'est-ce que cela implique sur les valeurs de a et b pour que ce soit vrai pour toute valeur de x positive? N'oublions pas qu'on cherche en gros à déterminer précisément a et b, c'est la question qu'on nous pose à la base.

J'espère que la démarche te semble plus claire en tout cas. C'est un problème de recherche qui est loin d'être simple, il faut être rigoureux et se laisser guider simplement par ce qu'on a comme hypothèses et ce qu'on cherche sans chercher à anticiper. C'est en gros le travail d'un chercheur fasse à un problème dont on ne connaît pas la solution et dont on ne sait même pas si la dite solution existe d'ailleurs (rien ne nous dit qu'il y a une fonction qui vérifie les hypothèses après tout).

Bon courage!

Très clair. Il faut que a et bsoient positifs ?

Ok, on en conclut en effet que a et b doivent être tous les deux positifs ou nul (rien ne les empêche d'être nul).

Bon maintenant, nous avons conclu tout ce qu'on pouvait lorsque x est positif ou nul, que se passe-t-il lorsque x est strictement négatif maintenant? Toujours y aller par étape et dès qu'une étape est terminée on passe à la suivante en mettant en évidence au brouillon les conclusions de la première étape pour ne pas la perdre de vue lorsqu'on fera la conclusion globale.

Bon courage!

Dans ce cas, F(|x|)=|F(x)| ssi F(-x)=|F(x)| soit : -ax+b=ax+b donc -2ax=0 soit a=0 non ?

Hmmm, une erreur due à la rapidité de la conclusion.

En effet, il y a des valeurs absolues dans l'égalité, on a donc pour tout x<0, -ax+b=|a*x+b| rien ne permet de dire que a*x+b est positif ou négatif. Il y a donc une nouvelle disjonction de cas si tu souhaites continuer plus en avant la recherche.

Bon courage!

Soit : -ax+b = ax+b d'ou a=0 ou -ax+b=-ax-b ssi -2ax=-2b non ?

Ok, raisonnons sans faire de cas sur les valeurs de x, a ou b mais simplement sur deux cas c'est à dire le cas où a*x+b>0 et le cas où a*x+b>0.

On a une égalité pour toutes les valeurs de x<0 en fait, donc rien ne t'empêche de prendre des valeurs particulières après tout. Prend par exemple x=-1 pour faire simple et regarde dans chacun des cas ce que cela donne sur les valeurs de a et b. Il y a en fait une erreur dans la conclusion de la deuxième égalité en fait.

Bon courage!

a et b sont nuls

Hmmm, la réflexion est intéressante et quelle serait ta conclusion globale pour les deux cas si on suppose que la fonction F existe ?

Faire la vérification puis conclure le problème initial.

Bon courage!

Ok. F existe ssi a et b sont positifs ou nuls, i.e.
si : f(x)=ax+b On a bien |ax+b|=f(x)
car ax+b positif dans ce cas (|ax+b|=ax+b)
si : f(x)=0 ça marche aussi.

Estce bon ?

Bonjour,

Il y a une erreur de ta part. En effet, tu as oublié que ta fonction F doit être définie sur R et que a et b sont fixés. EN conséquence de quoi, si a est non nul, la représentation d'une fonction affine est une droite et elle coupe donc l'axe des abscisses à un moment ou à un autre ce qui la rend donc négative à un moment donné.

Est-ce que tu comprend le problème qu'il subsiste dans ton raisonnement?

Bon courage!

Je vois. Mais que modifier ?

Bonsoir,

Quelles sont les deux conclusions que nous avons pour l'instant? Pour le cas positif, on en a déduit des choses sur a et b et pour le cas où x est négatif, on en a déduit d'autres choses sur a et b.

Il faut savoir faire des bilan et pour s'aider à en faire, il faut remettre à plat ce qu'on a fait pour bien comprendre ce qu'on a déduit.

Bon courage!

Eh bien on a a et b positifs ou a et b nuls. Je ne vois vraiment pas où tu veux en venir, cet exercice est vraiment difficile, j'ai l'impression d'être un peu pris pour quelqu'un de bête...

Je confirme que l'exercice est difficile! C'est ce qu'on appelle une équation fonctionnelle et c'est plutôt étudié en première année de prépas ou en L1 pour les études un peu plus poussées. Mais il s'avère que notre exercice certes difficile est abordable avec les acquis de seconde.

Alors reprenons, nous cherchons une fonction affine F définie sur R c'est à dire que nous cherchons deux réels a et b tel que pour tout réel x, F(x)=a*x+b.

De plus, nous souhaitons que notre fonction F vérifie une propriété qui est la suivante:
Pour tout réel x, on ait: |F(x)|=F(|x|)

En conclusion, nous souhaitons trouver deux réels a et b tel que pour tout réel x, on ait: |a*x+b|=a*|x|+b


Qu'avons-nous fait pour avancer dans la résolution? Et bien, nous avons supposer que les réels a et b existaient puis on a travaillé sur la propriété pour avoir des indications sur a et b.

Dans un premier temps, on suppose x>0 pour enlever les valeurs absolue à droite de l'égalité ce qui nous donne:
|a*x+b|=a*x+b c'est à dire que pour tout x>0, a*x+b>0. Cela nous a permis donc de conclure que b>0 (suffit de poser x=0 pour avoir accès à cela) et de plus, si on pose x=1, on a donc a>-b.

Donc en effet, si a et b sont positif cela abouti mais en fait, on a pas vraiment de condition sur a de manière sure. Ce qu'on déduit de façon sûr c'est que b>0 et que a est défini en fonction de b.


Dans un deuxième temps, on a étudié le cas x<0, ce qui nous a permis d'écrire: |a*x+b|=-a*x+b.

On a donc soit: a*x+b=-a*x+b ou -a*x-b=-a*x+b.

Ce qui nous amène à conclure que 2*a*x=0 ou 2*b=0. Dans le premier cas, si je considère x non nul, on conclut donc que: a=0 ou b=0.

En conclusion, on a donc pour tout réel négatif, F(x)=b ou F(x)=a*x sachant que b>0 d'après la première partie.

On a donc une fonction possible: pour tout réel x, F(x)=b avec b>0 qui vérifie bien |F(x)|=|b|=b car b>0.

Maintenant, l'autre cas, c'est pour tout x, F(x)=a*x. Mais là, si on applique la propriété que déduisons-nous pour la valeur de a ?

J'espère avoir un peu mieux expliquer la démarche, il reste encore une chose à faire c'est de vérifier que la deuxième fonction est valide pour toute les valeurs de a où s'il y a des restriction et pour cela, nous passons en phase de vérification qu'on appelle la phase de synthèse (la première partie s'appelant la phase d'analyse où on considère que tout fonction).

Bon courage!