[Term S] Révision totale sur l'étude d'une fonction.

Bonsoir à toutes et tous!

L'exercice qui suit vous permettra de faire une révision quasi totale sur l'étude d'une fonction en Terminale. Vous y trouverez, une dérivation, des calculs de limites ainsi que la détermination d'asymptotes aussi bien verticales qu'oblique. Et à celà s'ajoutera la détermination de position relative entre deux courbes et le tracer de celle-ci.

Exercice:

Soit F la fonction définie sur R* par F(x)= (x² - 1)/(3*x)

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité: 5cms)

I)
1) Calculer la dérivée F' de f.

2) Étudier le signe de F' et en déduire les variations de F sur R*.

3) Étudier les limites de F aux bornes de son domaine de définition. En déduire que Cf possède une asymptote verticale dont vous donnerez une équation.


II)
1) Montrer qu'il existe des réels a, b et c tels que pour tout x ≠ 0, F(x) = a*x + b + c/(3*x)

2) En déduire que Cf possède une asymptote oblique Δ en +∞ et en -∞ dont vous déterminerez une équation.

3) Préciser la position relative de Cf et Δ.

4) Donner une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 1.

5) Montrer qu'aucune des tangente à Cf n'est parallèle à la droite d'équation y= x/3

III) Tracer Δ, T et Cf (pour vous entraîner à la maison au tracer des courbes dans un repère).


Barème indicatif: 1.5, 2, 3, 1.5, 2.5, 2, 2.5, 3, 2.

Je vous souhaite à toutes et tous bon courage pour cette exercice. N'hésitez pas à poser vos questions!

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