comparer rationnel et irrationnel

Bonjour je m'excuse de venir vous importuné encore
.
Un exercice m'embête c'est qu'il faut démontrer √(4) -2√3 =√(3) -1
et √(x) -√(y)/√(x-y) = √(x-y)/ √(x) +√(y)


Merci pour vos aides

Bonjour,

Ce forum est fait pour cela, tu ne m'embêtes donc pas le moins du monde.

Par contre, il risque d'être difficile de démontrer cette égalité là:

Citation :

√(4) -2√3 =√(3) -1

En effet, cette égalité est fausse, je ne peux donc pas du tout t'aider à démontrer qu'elle est vraie . Je pense que tu as oublié un facteur 2 dans le membre de droite voire même un facteur (-2) ça serait même mieux.

De même, ta deuxième égalité m'a l'air fausse aussi. En effet, si je prend x=2 et y=1, j'obtiens à gauche: √2-1 et à droite: 1/√2 - 1. Et c'est deux quantités ne sont pas égales.

Je te laisse corriger les énoncés car en l'état, je ne peux rien démontrer vu que les deux égalités sont tout simplement fausses.

Bon courage!

Je vous ai écrit le sujet tel qu'il était donc l'exercice est faux. merci quand même .
Je peux vous demander des explications et de l'aide pour un autre exercice s'il vous plaît

Comparer un rationnel et irrationnel
1/ a)suppossons que 22619537/15994428 soit égal à racine de 2. Si cela était vrai, quel serait le carré de 2* 15994428² .
b) quel serait le chiffre des unités du carré indiqué à la question 2a) et celui de 2* 15994428²? obtiendrait-on une contradiction avec l'hypothèse du début de la question 2a)? laquelle et pourquoi?
c) quelle est l'hypothèse que l'on doit rejeter?
merci d'avance

Bonsoir,

C'est vraiment très bizarre ton premier exercice dont l'énoncé serait vraiment faux. Mais bon admettons.

Il serait préférable de prendre un autre sujet pour l'exercice suivan vu qu'il n'y a pas vraiment de rapport direct avec le précédent. EN effet, dans celui-ci on herche à montrer qu'une fraction n'est pas égale à une racine carrée. C'est d'ailleurs pour cela qu'on dit que les racine carrée sont irrationnelles car on ne peut pas les écrire sous la forme d'une fraction c'est à dire un nombre rationnel.

Donc dans ton exercice, on suppose que notre égalité est vraie et on va essayer de démontrer qu'il y a une contradiction. C'est ce qu'on appelle un raisonnement par l'absurde.

Alors pour la première question as-tu des idées?

Bon courage!

J'ai essayé de trouver une racine qui faut la fraction mais je n'y trouve rien .

Blagu'cuicui a écrit:

Bonsoir,

C'est vraiment très bizarre ton premier exercice dont l'énoncé serait vraiment faux. Mais bon admettons.

Il serait préférable de prendre un autre sujet pour l'exercice suivan vu qu'il n'y a pas vraiment de rapport direct avec le précédent. EN effet, dans celui-ci on herche à montrer qu'une fraction n'est pas égale à une racine carrée. C'est d'ailleurs pour cela qu'on dit que les racine carrée sont irrationnelles car on ne peut pas les écrire sous la forme d'une fraction c'est à dire un nombre rationnel.

Donc dans ton exercice, on suppose que notre égalité est vraie et on va essayer de démontrer qu'il y a une contradiction. C'est ce qu'on appelle un raisonnement par l'absurde.

Alors pour la première question as-tu des idées?

Bon courage!

J'ai les mêmes exercices que toi à faire pour la rentrée!! --'

Pour les équations, en effet je n'ai pas réussi la première, mais la seconde avec les x et les y oui!!

J'ai également l'exo: Comparer un rationnel et un irrationnel

J'ai réussi les questions 1 et 2a, mais je suis bloqué après...

Bonjour Marine et bienvenue parmi nous!

As-tu le même énoncé que celui proposé par Léa car aussi bizarre que cela puisse paraître de mon point de vue les deux égalités ne peuvent pas être démontrées car elles sont fausses. À moins qu'il y ait une erreur de recopie quelque part. En effet:

Citation :

√(x) -√(y)/√(x-y) = √(x-y)/ √(x) +√(y)

Si je l'écris réellement ainsi et sans parenthèse aucune, ce n'est pas démontrable. Je prend par exemple x=2 et y=1, j'obtiens:

√(2) -√(1)/√(2-1) et √(2-1)/√(2) +√(1)

C'est à dire √2 -1 et (1/√2) + 1

C'est deux quantités ne sont pas égales et par conséquent, l'égalité de départ est fausse tout simplement.

Donc si tu as un autre énoncé , je suis tout à fait preneur et encore plus si c'est le même énoncé que tu as démontré.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

J'ai exactement le même énoncé que léa.
Pour les deux exercices.
C'est un peu bizzare que les profs donnent des énoncés faux quand même !!


pour démonter la deuxième égalité, j'ai multiplié les membres enfin comme ça (je montre avec un truc plus simple):

x/y=x/y
Donc j'ai fait x*y et x*y (je sais pas si je suis claire)

Cela arrive pourtant fréquemment, nous sommes humain et l'erreur reste humaine . Même si nous essayons de minimiser un maximum ce genre de chose, il n'estp as rare et encore il y a deux ans, au bac S, il y avait une erreur dans l'épreuve de physique.

Mais ici, tu ne peux pas contredire la réalité d'une équation. Si elle est vraie, elle est vraie pour tout x et y. Or j'ai mis en avant un couple (x,y) pour lequel l'égalité est fausse.

Pour la première que avec des entiers et des racines carrées, c'est encore plus flagrant de constater l'erreur d'énoncé. En effet:

Citation :

√(4) -2√3 =√(3) -1

√4=2 car 2²=4 tout simplement. Ainsi, le membre de droite s'écrit: 2-2√3 alors que le membre de gauche s'écrit √3-1. Je te laisse prendre une calculatrice si tu souhaites t'assurer qu'il n'y a pas l'égalité mais rien que là, on constate une différence d'un facteur 2 et même pire que cela le membre de gauche est négatif et le membre de droite est positif. Donc l'égalité est vraiment impossible à démontrer car elle n'existe pas tout simplement.

Pour l'égalité avec les paramètres x et y, je n'ai pas dit qu'elle était tout le temps fausse (il y a peut-être des cas où l'égalité est vraie) mais en tout cas elle n'est pas vraie pour toutes les valeurs de x et de y vu que j'en ai exhibé deux qui nous donne pas le même résultat à gauche et à droite de l'égalité.

Est-ce que tu comprends le problème de fond qu'il y a ? C'est là qu'on fait réellement des mathématiques d'ailleurs car on cherche à montrer des choses qui sont soit vraies soit fausses et pour cela, il faut utiliser des arguments permettant de montrer l'un ou l'autre. Lorsque c'est vraie, il faut le montrer de façon générale en considérant tous les x et les y mais lorsque c'est faux, il suffit d'exhiber une couple pour lequel l'égalité n'est pas vérifiée pour montrer que l'égalité n'est pas vraie tout le temps.

Mais en tout cas, je suis curieux de lire ta démonstration pour la deuxième égalité, surtout pour savoir sur quel domaine l'égalité est vraie en fait.

Bon courage!

Alors quel est le dénominateur de la partie de droite ? Car écrit comme il est écrit actuellement pour moi c'est √x et pour toi c'est quoi?

Je pense qu'il y a un problème de parenthèse quelque part mais bon, on va bien réussir à le trouver pour réécrire la bonne égalité.

Bon courage!

J'ai pris ma calculette et la première égalité est vrai!!

Pour la deuxième je sais pas trop, en multipliant les membres entre eux, je tombe sur x-y des 2 côtés.

Ok, donc la deuxième égalité c'est plutôt ça alors:

[√(x) -√(y)]/√(x-y) = √(x-y)/[√(x) +√(y)]

Et ça ce moment là, l'égalité est vraie pour certaine valeur de x et y et c'est démontrable en effet on faisant un simple produit en croix et en travaillant par équivalence. Sinon, pour le démontrer de façon rigoureuse sans utiliser d'équivalence, il faut partir d'un des deux membres pour arriver à l'autre en effectuant des opérations.

Et c'est là qu'on voit que la rigueur et la précision de ce qu'on écrit à une importance capitale en mathématiques car sans parenthèses dans l'expression les priorités de calculs ne sont pas là où vous les mettiez toutes les deux et de loin.

Pour la première égalité, tu m'épates mais soit allons-y pour une preuve irréfutable:

√(4) -2√3 = 2-2√3 (jusque là, je n'ai fait que calculer la racine carrée de 4 tout simplement)

Donc √(4) -2√3 = 2*(1-√3) (j'ai juste factorisé par 2 le membre de droite)

D'où √(4) -2√3 = 2*(-1)*(√3-1) (j'ai factorisé par -1 l'expression de droite pour faire apparaître une partie de l'expression qu'on cherche))

Conclusion: √(4) -2√3 = (-2)*(√3-1)

Or, on cherche à démontrer que: √4 -2√3 =√3 -1

Où est passé le facteur -2 dans l'expression ?

Bon courage!