Problème.

Bonjour,

Je me suis posé le problème suivant que je n'arrive pas à résoudre:

Un promeneur met 3h48’ à l’aller et 4h24’ au retour. Il sait par expérience qu’il se déplace à 4km/h sur le plat, à 6km/h en descente et à 3km/h en montée. Arrivé à la maison il s’assoit dans son fauteuil, se bourre une pipe et se demande combien de kilomètres il a parcouru lors de sa promenade.

Bonsoir et bienvenue parmi nous !! J'espère que tu auras plaisir à venir sur ce forum tout autant que j'en ai à l'animer.

voici un exercice fort complexe que tu proposes là. Il va falloir y aller étape par étape si on souhaite pouvoir le résoudre totalement. Il s'avère qu'après vérification, il n'y a qu'une seule solution à ton problème ce qui peut paraître assez bizarre de prime abord mais c'est pourtant bien le cas et nous allons essayer d'y arriver.

Nous partons ici d'un problème totalement vaste sans indication ni piste, il va donc falloir creuser nos propres allées dans le dédale des possibilité. La première chose à faire est peut-être de poser les choses c'est à dire donner des noms pour les différentes portions de route.

Que proposes-tu ?

Ensuite, il faut essayer de se souvenir du lien qui relie la vitesse au temps et d'exprimer ainsi le temps sur chaque tronçon du parcours à l'aller par exemple sachant qu'on connaît le temps total de l'aller. Une fois cela fait pour l'aller, on ne va pas tout changer pour le retour, comment évolue les tronçon au retour?

Le but est d'arriver à un système de deux équations.

Je te laisse entamer la réflexion.

bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Merci de l’accueil:

Je connais les réponses vu que j'ai posé le problème en calculant les temps par rapport aux distances.

La formule de base et v=d/t d'où t=d/v
Nous connaissons la durée du chemin allé et la durée du chemin retour. Donc: Da/Vd+Pa/Vp+Ma/Vm=3.8, où Da=descentes à l'allé, Pa= plats à l'allé, Ma= monté à l'allé, Vd= vitesse en descentes, Vp= vitesse sur le plat et Vm= vitesse en montée.

et au retour Dr/Vd+Pr/Vp+Mr/Vm=4.4

Il fait un allé-retour donc

Da=Mr= x
Ma=Dr= z
Pa=Pr= y

J'obtiens donc les deux première équation du système:

x/6+y/4+z/3=3.8 (1)
x/3+y/4+z/6=4.4 (2)

(2)-(1) donne x-z=3.6

ce qui exprime x>z

Il me manque la troisième équation du système!

Une idée?

Bonsoir,

La mise en équation est tout à fait exacte, c'est du grand art là!

Mais là où je n'arrive pas à comprendre c'est que tu n'arrive pas à conclure. En effet, tu as vraiment fait le plus dur.

N'oublie pas que pour résoudre un système, il faut toujours garder deux équations. Or là, tu n'a plus qu'une équation qui est celle-ci: x-z=3.6. Il faut que tu gardes une des deux autres équation que tu avais au départ pour garder le système complet. Ensuite, fait une substitution par exemple de x pour ne plus avoir que y et z.

Pour conclure, n'oublie pas que ce qui nous intéresse ce n'est pas les valeurs de x, y et z mais la valeur de l'addition de ces trois distances.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Bonjour,

Merci de m'avoir rappeler que c'est x+y+z que l'on recherche.

donc la combinaison linéaire des deux équation donnait : x=3.6+z (3)

supprimons les fraction dans (1) :2x+3y+4z=45.6 (1')

en remplaçant x par sa valeur dans (1') : y=12.8-2z (4)

ajoutons z dans chaque argument de (3)

x+z=3.6+2z (3')

(3')+(4) : x+y+z=16.4

La réponse est 32.8km

Merci, parfois à force de regarder les arbres on ne voit plus la forêt!

Questions subsidiaire :
Quelles distances a-t-il parcourues sur le plat en montées et en descentes ?
La solution devrait se calculer par le système de trois équations à trois inconnues (1), (2) et (5) :
{2x + 3y + 4z= 45.6
{4x + 3y + 2z = 52.8
{x + y + z = 16.4

Matrices correspondante
2 3 4 45.6
4 3 2 52.8
1 1 1 16.8

Résolution par la fonction Excel : DROITEREG :

x y z
2,00 3,00 4,00 52,80
4,00 3,00 2,00 45,60
1,00 1,00 1,00 16,40



z y x
10,00 0,00 6,40 16,40

40,00 0,00 12,80 52,80
20,00 0,00 25,60 45,60
10,00 0,00 6,40 16,40

Remarques :
1. Lorsque Vd = 2Vm, il semble y avoir 2 solutions au système dont une avec y=0. J’ai essayé avec plusieurs distances et obtient tjs Y=0.
2. Lorsque Vd =/ 2Vm alors la ½ distance (x+y+z) n’est pas trouvable. Car il n’est pas possible de ramener z à l’unité dans la combinaison linéaire (3’) + (4) = (5)

Mais peut-être as tu une autre méthode?

Bonsoir,

Désolé des réponses un peu décalées mais il s'avère que j'ai toujours des soucis de connexion d'une part et que j'ai dû palier à un trop plein de boulot d'autre part.

Si on y réfléchit deux minutes, je dirai que ton système est bien posé et que tu as donc réussi à mettre en place quelque chose d'intéressant en soi.

Maintenant, il s'avère qu'on ne redémarre pas de 0 non plus malgré ce que tu laisse croire. En effet, nous avons déjà effectué des combinaisons linéaires et des substitution sur les deux premières lignes pour en arriver à ceci:

x=3.6+z
y=12.8-2z

Seulement avec les deux premières lignes.

Ainsi en réinjectant dans la dernière ligne ceux deux là par substitution en trouve une tautologie c'est à dire une égalité qui est tout le temps vérifiée à savoir 16,4=16,4

Ainsi, on constate qu'il y a une infinité de solution à ta deuxième question et que celles-ci se retrouve sous la forme d'un triplet qui dépend que d'une seule des variable tout simplement à savoir z ici: (3.6+z;12.8-2z;z) avec z dans un ensemble à déterminer en fonction des paramètres de positivité et de non dépassement de la distance total par exemple.

Je te laisse creuser dans ce sens là par exemple car inverser une de matrice c'est un peu sortir un bulldozer pour enfoncer une porte ouverte là.

Bonne continuation.

Ps: je précise au cas où il était nécessaire que la notion de matrice est complètement hors programme de la troisième et de même pour la résolution de système à trois inconnues mais le problème quant à lui est très intéressant en soi pour celles et ceux qui aiment à réfléchir un peu sur des maths un peu plus pousser dira-t-on.