[1èreS] DM Application de la Dérivation

Bonjour, et oui encore moi avec un nouveau DM encore plus difficile n_n
J'espère que vous allez bien et que vous pourrez m'aider :/
Voici l'énoncé :

Le Toboggan (olol)
On veut réaliser un toboggan pour les enfants, qui se termine en pente douce. Il doit donc vérifier les conditions suivantes :
(1) Il doit avoir une tangente en A parallèle au sol.
(2) Il doit être tangent au sol au point B.
Dans tout le problème, on considère le plan rapporté au repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique : 2,5 cm) comme l'indique le croquis suivant (il ne respecte pas l'échelle choisie) :

Les coordonnées du point A sont donc (0;2) et celles du point B sont (4;0). Le but du problème est de trouver des fonctions dont les courbes représentatives ont l'allure du toboggan et vérifient les conditions de l'énoncé.
1. Une fonction polynôme du premier degré peut-elle convenir ? Expliquer pourquoi.

2. a) f est la fonction définie sur [0;4] par :
f(x) = -1/4x² + 2 et Cf est sa courbe représentative dans (O ; i ; j). Etudier les variations de f et dresser son tableau.
b) g est la fonction définie sur [0;4] par :
g(x) = 1/4x² - 2x + 4 et Cg est sa courbe représentative dans (O ; i ; j). Etudier les variations de g et dresser son tableau.
c) Démontrer que Cf et Cg ont en commun le point C de coordonnées (2;1).
d) Démontrer que Cf et Cg ont la même tangente T au point C.
e) Tracer T, puis Cf et Cg sur un même graphique. Ensuite tracer d'une couleur différente, les deux portions des coubes Cf et Cg représentant le toboggan.
f) Vérifier que la courbe obtenue satisfait aux conditions (1) et (1).

3. On décide de donner au toboggan, un profil correspondant à la courbe représentative dans (O ; i ; j) d'une fonction polynôme P du degré 3 :

a) Trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A.
b) Sachant que la courbe doit vérifier les conditions (1) et (2) et qu'elle passe par B, trouver les valeurs de a, b et c.
c) h est la fonction définie sur [0;4] par :
Etudier les variations de h et donner son tableau de variations.
d) Sur un nouveau graphique, tracer la courbe Ch représentant h dans (O ; i ; j).

4. Observer les graphiques, puis calculer la pente maximale (c'est-à-dire le maximum de |f'(x)|) du toboggan dans chacun des deux cas étudiés et conclure sur le cas le plus favorable.

Mes réponses (trololol)
1. Non car les polynômes du premier degré sont des fonctions affines ayant pour courbe représentative une droite.
2. a) Variations de f(x) :
J'ai d'abord calculé la dérivée, puis en fonction du signe de la dérivée, j'ai trouvé les variations de f(x) :


b) Variations de g(x) :
J'ai d'abord calculé la dérivée, puis en fonction du signe de la dérivée, j'ai trouvé les variations de g(x) :


c) On sait que :
-Si un point M de coordonnées (x;y) appartient à la courbe représentant la fonction f alors y = f(x)
-Si un point M de coordonnées (x;y) appartient à la courbe représentant la fonction g alors y = g(x)
On doit donc montrer que l'on trouve le même résultat en calculant f(2) et g(2).
f(2) = (-1/4 x 2²) + 2 = 1
g(2) = (1/4 x 2²) - (2 x 2) + 4 = 1
Le point C de coordonnées (2;1) appartient donc aux courbes Cf et Cg.

d) On fait de même mais avec les dérivées :
f'(2) = -1/2 x 2 = -1
g'(2) = (1/2 x 2) - 2 = -1
Les courbes Cf et Cg ont donc la même tangente T de coefficient dirrecteur -1.

e) Courbe tracée avec GeoGebra, mais partie en rouge tracée grossièrement :


f) Oui la courbe satisfait les conditions (1) et (2).

3. a) A(0;2) <=> f(0)=2 <=> f(0)=a×0³+b×0²+c×0+d=d <=> f(0)=d=2
b) Ici je bloque n_n
c) Variations de h(x) :
J'ai d'abord calculé la dérivée, puis en fonction du signe de la dérivée, j'ai trouvé les variations de h(x) :

d) Voilà la courbe représentative de Ch :


4. Je n'ai même pas compris la question x)

Merci d'avance pour vos réponses, cordialement, OncheOnche.

Bonsoir,

Voilà un exercice qui met en avant toute l'utilité concrète des fonctions et de leur utilisation dans les constructions tel que les toboggan mais aussi les lignes TGV ou ferroviaire dans un sens général. On constate ici, la difficulté de ce qu'on appelle la modélisation mathématique à partir d'un problème concret.

Pour la première question, je pense qu'il faut être un peu plus précis. Où se situe réellement le problème ? Il se situe surtout dans les tangentes aux bornes de l'intervalle car une fonction affine.

Dans la réflexion, on se dit donc qu'il faudrait au minimum avoir une fonction du second degré si nous restant dans les fonctions polynômes. Alors pourquoi des fonctions polynômes? Et bien tout simplement parce qu'il s'agit des fonctions les plus simples à étudier ce qui permet donc de simplifier l'étude qui s'en suivra. Donc après les fonctions polynômes de degré 1 (les fonctions affines), nous passons aux polynômes de degré 2.

Et pour éviter que tu tâtonnes, on t'en propose une déjà construite (on te donne les coefficients a=-1/4; b=0 et c=2).

En fait, il faut savoir que les coefficients ne sont pas anodin. En effet, c=2, on ne peut pas avoir autre chose car pour x=0, nous démarrons à une ordonnée égale à 2. Pour le signe du coefficient dominant, a, on te propose un coef négatif mais en toute logique, il faudrait avoir une parabole qui descend vers 0 et non qui monte vers 0. Donc on pourrait être quasi sûr que cette fonction ne sera pas la bonne pour modéliser notre toboggan.

Bon ceci étant dit, je pense qu'il y a un problème dans ton étude. En effet, la dérivée ne s'annule pas pour x=2.

Pour l'autre fonction polynôme du second degré, l'étude est juste. De même, les questions c) et d) sont tout à fait exactes.

Les questions f) et 3)a) sont exactes.

A partir de la 3)b), il faut en fait écrire le système que doit vérifier les trois constates. Avoir une tangente horizontale en 0 et en 4. De même, il faut passer par B(4;0) ce qui te donne trois équations à trois inconnues qu'il te reste à résoudre.

Pour les autres questions, c'est bon dans l'ensemble.

Pour la dernière question, on cherche le maximum de la fonction |F'(x)| ce qui dire la pente maximale. On peut aussi dire qu'il s'agit de savoir si la pente n'est pas trop raide et donc que les enfants ne vont pas descendre trop vite. Car n'oublie pas que la dérivée c'est en fait la vitesse à la position donnée.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

Bonjour, j'ai le même DM à rendre pour la rentrée et je coince sur la question 2.a) et 2.b).
Je pense que ma dérivé est bonne puisque c'est f'(x)=-1/2x et g'(x)=1/2-2
Mais mon tableau de signe est faux. Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ??

Merci d'avance !!

Bonjour et bienvenue parmi nous!

Pour trouver les variations d'une fonction, il faut en effet connaître le signe de la dérivée de celle-ci. TEs dérivées sont justes mis à part une faute de frappe, je pense, car il manque un "x" dans la deuxième dérivée. Ceci étant, il ne reste plus qu'à trouver le signe de ces deux dérivées.

Le plus simple étant sans doute d'effectuer un tracer de ces deux fonctions si tu ne te souviens plus du principe pour trouver le signe d'une fonction affine.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Oui, désolé pour la faute de frappe..
Merci pour le coup de main, il m'a bien aidé. en faite j'avais bien compris c'est ma calculatrice graphique qui me donnais quelque chose de bizarre. En essayant sur GeoGebra j'ai trouvé les bonnes valeurs sur des courbes plus probable que sur ma calculatrice.
Merci encore.
Bonne soirée.. nuit ^^

Bonjour !


Il me semble que nous sommes beaucoup à avoir eu ce DM pendant les vacances !!!

J'aurais eu besoin de votre aide si cela ne vous dérange pas ...

Pour la question 2.e.

J'ai trouvé :

f'(2) = -1
g'(2) = -1
Donc la T à un coefficient direct qui est : -1.

Mais comment faire pour calculer la suite ? J'ai essayé

f'(2) = g'(2) = -1 x + p

y = -1 x +p Comme C (2;1)

Donc 2 =p

4 = -1x + 2...


Mais au final en mettant ça dans Géogébra j'obtiens une courbe totalement décallée... Comment rétablir tout ça ? Que dois-je trouver dans pour la Tangente ?


Merci beaucoup !

Bonjour,

Il s'avère que les exercices intéressant selon les niveaux reviennent assez souvent pour la simple et bonne raison qu'il est souvent difficile de trouver des exercices complets qui vont au-delà de la simple application de cours.

Ta démarche à l'air d'être tout à fait juste pourtant. Mais là où tu fais une erreur c'est dans le calcul de p. En effet, si C appartient à ta tangente alors yC=m*xC+p. Tu connais m=-1 d'après ta calcul. Maintenant, il reste à calculer p et pour cela, il faut résoudre l'équation tout simplement vu que tu connais xC et yC qui sont autre que les coordonnées du point.

Bon courage!

Encore un grand merci j'ai trouvé !!!