Dérivation

Bonjour,

il y a une question que je n'arrive pas à résoudre, c'est la 2.c
On considère la fonction définie sur R par
f(x)= -x^3 + 6x² - 9x + 6
1.a Calculer le nombre dérivé de f'(x)
b. Etudier le signe de f'(x) suivant la valeur de x
c. Donner le tableau de variation de f

2.a Par lecture du tableau de variation, justifier que l'équation f(x)=0 n'a pas de solutions dans l'intervalle ]-inf ; 3]
b. Montrer que f(x)=0 admet une solution unique dans [3;5]
c. Donner un encadrement à 10^-2 près de cette solution.

Merci



Edit(04/03):
Bonjour,
merci j'ai trouvé 4.18<x<4.20.

Bonjour,

Cette exercice est tout ce qu'il y a de plus classique et savoir le faire est donc fortement conseillé. L'étude de fonction est très intéressante dans certain problème comme la détermination de solution d'équation du type F(x)=0 mais aussi dans d'autre application au niveau de la détermination de sens de variation pour déduire si une donnée va croître ou pas au cours du temps par exemple.



La dernière question de ton exercice repose sur le fait qu'on connaisse l'existence d'une solution dans l'intervalle [3;5].


Maintenant, on sait qu'on peut mieux faire en considérant un encadrement plus petit en procédant par tests c'est à dire que pour que notre solution se trouve dans un intervalle du type [a;b], il faut et il suffit (puisqu'on sait que la solution est unique) de calculer F(a)*F(b).


Si le signe du produit est négatif c'est que la solution est compris entre les deux bornes de l'intervalle car il y a changement de signe de notre fonction lorsqu'on passe de a à b. Donc pour conclure, il nous suffit de trouver un intervalle [a;b] qui soit précis à 10^-2 c'est à dire qu'on ait un intervalle du type [c-10^-2;c+10^-2].


Bon courage!

Bonjour @toutes et tous!

D'un point de vue technique, l'édition a une utilité lorsqu'il n'y a pas encore eu de réponse. En effet, il faut savoir que lorsqu'il y a beaucoup d'exercice posté en mêem temps j'utilise le raccourci "voir les nouveaux messages" qui me permet de retrouver les réponses qui ont été faites dans les exercices en cours ou les nouveaux exercices. Il m'est difficile de revérifier chaque exercice en cours s'il n'y a pas eu de réponse entre temps.

Je vais proposer une correction de l'exercice dont je rappelle l'énoncer:

Citation :

On considère la fonction définie sur R par
F(x)= -x³ + 6x² - 9x + 6
1.a Calculer le nombre dérivé F'(x)
b. Étudier le signe de F'(x) suivant la valeur de x
c. Donner le tableau de variation de F

2.a Par lecture du tableau de variation, justifier que l'équation F(x)=0 n'a pas de solutions dans l'intervalle ]-∞ ; 3]
b. Montrer que F(x)=0 admet une solution unique dans [3;5]
c. Donner un encadrement à 10^-2 près de cette solution.

Cette exercice est vraiment classique et le fait de savoir le faire est comme je le disais fortement recommandé. Alors allons-y.

1)a)
F est une fonction polynôme de degré 3 définie sur R et dérivable sur R. Et on a:

F'(x)= -3*x² + 12*x - 9

b)
D'après 1)a), F' est un polynôme du second degré. Par conséquent, il est du signe de -(-3) entre ses racines et du signe de -3 à l'extérieur de ses racines.
On a: Δ=12²-4*(-3)*(-9)=144-108 donc Δ=36=6²
D'où les racines de F sont x₁=(-12-6)/(2*-3)=3 et x₂=(-12+6)/(2*-3)=4/3

Donc,
Pour xЄ]-∞ ; 4/3]È[3 ; +∞[, F'(x)≤0
Pour xЄ[4/3 ; 3], F'(x)≥0

c)
D'après 1)b), F est croissante sur [4/3 ; 3] et décroissante sur ]-∞ ; 4/3] et sur [3 ; +∞[
La limite en -∞ de F est égale à +∞
La limite en +∞ de F est égale à -∞
De plus, on a: F(4/3)≈2.3 et F(3)=6
(je vous laisse faire le tableau de variation complet)


2)a)
Sur l'intervalle ]-∞;3], F est strictement décroissante sur ]-∞ ; 4/3[ et donc F(x) est strictement positif sur cet intervalle. De plus, F est strictement croissante sur ]4/3 ; 3[ et donc F(x) sera aussi strictement positif (vu qu'on croît à partir d'une valeur positive de F(x)). De plus, F(4/3) n'est pas nul et de même pour F(3).
Donc F(x) ne s'annule pas sur ]-∞;3]

b)
On sait que sur ]3 ; +∞[, F est strictement décroissante, donc en particulier F est strictement décroissante sur ]3;4[.

De plus, F(3)>0
Or F(5)=-14<0

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique αЄ]3 ; 5[ tel que F(α)=0

c)
Dans cette question, il s'agit d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires mais pour un intervalle plus petit.

On a: F(49)=2>0 et F(5)<0 et F strictement décroissante sur ]4 ; 5[
Donc d'après le thoérème des valeurs intermédiaires, αЄ]4 ; 5[

De plus, on a: F(4.2)=-0.048<0, F(4.1)=1.039>0 et F est strictement décroissante sur ]4.1 ; 4.2[
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, αЄ]4.1 ; 4.2[
(on a une approximation 10^-1 près pour l'instant)

De plus, on a: F(4.19)>0, F(4.20)<0 et F est strictement décroissante sur ]4.19 ; 4.20[
Donc d'après le thoérème des valeurs intermédiaires, αЄ]4.19 ; 4.20[


Ceci conclut cette exercice. N'hésitez pas à poser vos questions!

Bonne continuation @toutes et tous et @bientôt au sein du forum!