DM 5 - dérivation et encadrement

Bonsoir, j'ai un exercice a faire pour un DM et je n'arrive vraiment pas a voir comment faire:

- En sachant que F(x)=√x
- L'approximation affine locale de F(1+h) est (1+1/2h)
- F(1+h) - (1+1/2h) = (-h²) / [4(√(1+h) +1+1/2h)]
(je ne sais pas si toute ces données sont utiles)

Il faut que j'en déduise que pour tout h ≥ 0 :
l F(1+h)-(1+1/2h) l ≤ h²/8


Voila, si je pourrais avoir un petit coup de main sa serait sympa.
Merci

Bonsoir Lucie,

J'ai légèrement modifié ton message pour que nous puissions avoir un meilleur visuel.

L'approximation affine locale, résulte du fait que pour tout h positif, on a F(1+h)=F(1) + h*F'(1)

Or ici F(1+h)=√(1+h), F(1)=√1=1 et F'(1)= 1/(2*√1)=1/2

Donc on a bien √(1+h)=1 + h/2


Ensuite pour avoir l'autre formule, cela résulte du calcul de la différence en utilisant la quantité conjugué:

√(1+h) - (1+h/2) = [√(1+h) - (1+h/2)]*[√(1+h) + (1+h/2)] / [√(1+h) + (1+h/2)]

Donc √(1+h) - (1+h/2)= [√(1+h)]² - (1+h/2)² / [√(1+h) + (1+h/2)]

D'où √(1+h) - (1+h/2) = [ (1+h) - 1 - h - h²/4 ] / [√(1+h) + (1+h/2)]

On retrouve bien: √(1+h) - (1+h/2)= [- h²]/ (4*[√(1+h) + (1+h/2)] )



Je te montrais juste comment on arrivait aux résultat au cas où ton énoncé n'en parlait pas. Maintenant passons à ton problème.

Nous allons utiliser la deuxième formule qu'on te donne c'est à dire: F(1+h) - (1+h/2)= [- h²]/ (4*[√(1+h) + (1+h/2)] )

Si je considère h positif ou nul, on constate que le dénominateur est toujours positif (vu qu'on ajoute ou on multiplie que des termes positifs). ET le dénominateur est strictement négatif vu qu'il est égale à -h².

Donc si je prend la valeur absolue de toute mon expression j'obtiens:

| F(1+h) - (1+h/2) |= h² / (4*[√(1+h) + (1+h/2)] )


Maintenant nous cherchons à majorer cette expression. Pour majorer une fraction, il y a trois moyens:

- Soit on majore le numérateur
- Soit on minore le dénominateur
- Soit on fait les deux

On constate donc rapidement que la première possibilité de majoration ne va pas être utilisé vu qu'au numérateur nous avons juste h² et que nous n'avons pas de majoration de h. Donc la troisième possibilité n'est pas possible non plus.

Par conséquent, nous sommes amener à chercher une minoration du dénominateur lorsque h est positif ou nul. On voit aussi que la multiplication par 4 ne va pas intervenir de la minoration du dénominateur vu que 4 ne dépend pas de h.

Nous devons donc cherche une minoration de √(1+h) + (1+h/2) lorsque h≥0


Est-ce que le raisonnement te paraît clair? ET si oui, as-tu des idées pour minorer la quantité ci-dessus?

Bon courage!

Merci beaucoup avec toutes ces explications ca ne peut que m'aider et m'éclairer, mais j'ai un petit souci, c'est que je ne sas pas ce que c'est que "minorer la quantité"
J'ai revu tous mes cours et je ne pense pas avoir aborder ce sujet...

Bonjour,

Alors en fait, il n'y a pas de cours à proprement parler sur "comment minorer".

Il faut en fait trouver quelque chose qui est plus petit que ce que nous avons (en utilisant la croissance des fonctions par exemple).

Ici vu que h≥0, on sait que (1+h)≥ 1

Sachant que la fonction racine carrée est croissante, on en déduit que: √(1+h)≥ √1 c'est à dire √(1+h)≥1. Nous avons donc minorer √(1+h) par 1.


Maintenant, on sait qu'en ajoutant quelque chose à une inégalité, on ne change pas le sens de celle-ci. Donc on peut continuer à minorer notre fonction.

Est-ce que tu comprends la démarche?

Okey, j'ai compris la démarche c'est deja ca

Par contre je vois pas trop comment de V(1+h) >ou= 1 on peut arriver a l f(1+h) - (1+h/2) l <ou= (-h²) / [4*(V(1+h) + (1+h/2)]

D'après ce qu'on te donne tu sais déjà que:

| F(1+h) - (1+h/2) |= h² / (4*[√(1+h) + (1+h/2)] )


Et pour majorer cette expression, je t'avais dit qu'il va falloir minorer le dénominateur. Le but étant de trouver une minoration par 8 pour avoir la forme voulu.

On sait que le 4 ne va pas bouger dans la minoration, donc on en avait conclu qu'il fallait minorer l'expression suivante par 2 (car 4*2=8 et on aura ce qu'on cherche):

√(1+h) + (1+h/2)


Maintenant, dans mon dernier message, je t'ai montré que √(1+h)≥1 lorsque h≥0 (en utilisant la croissance de la fonction racine carrée).

Bon maintenant, on sait qu'en ajoutant quelque chose à une inégalité celà ne change pas le sens de celle-ci. Donc on arrive pour le moment à:

Si h≥0, alors √(1+h) + (1+h/2) ≥ 1 + (1+h/2)

Est-ce que tu vois comment conclure en utilisant le fait que h est positif ou nul?