Raisonnement par récurrence

Bonsoir,
Malgré une lecture et relecture du cours, je ne comprends pas a fond le raisonnement par récurrence et j'ai un probleme sur un exo "facile" :

Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n>=1, on a : 2ⁿ>n.

Voila ou j'en suis :

Initialisation :
Pour n = 1, on a : 2^1>1
Donc la propriété est valide a l'ordre 1.

Hérédité :
On suppose par récurrence que la propriété est vraie a l'ordre n+1.
Pour tout n>=1
Donc : n+1>=2

Enfait je veux avoir 2^n+1>=n+1 mais je ne sais pas comment y arriver...
Merci de votre aide.

Bonsoir et bienvenue parmi nous !

Alors le raisonnement par réccurence se résume logiquement à ceci:

Pour un n donné, on pose la propriété P(n)

Si [ P(0) est vraie et si on suppose vraie P(N) pour un N donné alors P(N+1) est vrai ]
Alors Pour toutes les valeurs de n, P(n) est vraie

Donc tu as compris l'élément de base qui est l'initialisation qui est totalement juste.
Pour l'hérédité, il y a un soucis de logique dans ta compréhension. En effet, dans ta phrase tu dis supposé que pour un n donné P(N+1) est vraie. Or par la suite, tu cherches à montrer que P(n+1) est vraie alors que tu le supposes à la base.

Ce qu'il faut supposer est que P(N) est vraie pour un N donné et démontrer que P(N+1) est toujours vraie.

Donc que supposes-tu et où souhaites-tu arriver concrètement ?
Comment passé de l'un à l'autre (réfléchi en terme de puissance) ?

Bon courage et n"hésite pas à poser tes questions!

C'est bon j'ai reussi !

On suppose par reuccrence que la propriete est vraie a l'rdre k, etant un entier naturel superieur a 1, arbitrairement fixe, on a :

2^k > k
2^(k+1) = 2^k*2
donc 2^(k+1) > 2k
or k > 1
donc 2^(k+1) > k+1

Bonjour,

C'est excellent en effet. Ensuite n'oublie pas de bien écrire la conclusion à savoir que la propriété est vraie à rel rang et qu'elle est héréditaire donc elle est vraie pour n'importe quel le rang.

Le fait de prendre k à la place de n pour construire l'hérédité est bien venu. Je n'avais pas voulu te la proposer car tu avais commencer à utiliser n dans ton premier message. Mais je te conseille d'utiliser un k ou un N ou un p pour démontrer l'hérédité car cela évite de s'embrouiller avec les notations.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!