[Tle S] Limites et continuité

Bonsoir,

Je travaille actuellement sur les limites, notamment sur la continuité, et la correction d'un exercice dans mon livre me laisse perplexe.

Voici l'exercice :

Soit la fonction f définie sur R par :



Déterminer k pour que f soit continue en 0.

Et voici la correction du livre (en rouge ce que je n'ai pas compris) :

Pour tout x non nul,



Ainsi,  
f est continue si, et seulement si, donc si, et seulement si, k = 2.

Ce qui m'échappe, c'est pourquoi la limite quand X tend vers 0 de sinX/X vaut 1 ...

J'ai également une autre petite question : quand on utilise le théorème des gendarmes, on a :
-1/x =< f(x) =< 1/x, et la limite de -1/x et même de 1/x quand x tend vers 0 est bien de + ∞, ou bien alors on ne peut pas déterminer la limite quand -1/x tend vers 0 car x peut être positif, et dans ce cas, -1/x tend vers - ∞ ?

Je vous remercie d'avance,
Scientia

Bonsoir,

Ce qui te pose problème en fait c'est la définition même de la fonction dérivée qu'on a tendance à oublier parce qu'on ne l'utilise pas si souvent que cela.

Si on considère une fonction F continue telle que l'expression F(x)-F(a) / x-a admet une limite lorsque x tend vers a, alors cette limite est égale au nombre dérivée de la fonction F en a à savoir F'(a).

Ainsi, lorsque x tend vers 0, l'expression Sin(x) / x tend vers cos(0) car:
sin(x) / x = sin(x) - sin(0) / x - 0

Il s'agit bien d'un taux d'accroissement en 0 de la fonction sinus qui est une fonction dérivable en 0 égale à cos(0) qui vaut bien 1.


Sinon, pour le théorème dit des gendarmes, il faut que chaque membre de l'égalité est la même limite. En effet, si tu es pris dans un tuyau dont les bords se rapprochent inexorablement d'un même point alors ce qui est au milieu se compressera aussi en se point (tu imagines une souris dans un tuyau rétrécissant et bien à partir d'un moment la souris ne pourra plus bouger et se trouvera donc coincée au entre les deux bornes).

Ce qui te pose problème ici est que les deux membres ne tendent simplement pas vers la même limite. Car si tu considère la limite en 0+, le membre de gauche tend vers -infini et celui de droite vers +infini. Tandis que lorsque x tend vers 0-, le mebre de gauche tend vers +infini et celui de droite tend vers -infini. Donc la limite de F(x) si elle existe sera dans R tout entier ce qui ne nous aide pas en fait car on ne sait toujours pas que la limite existe (ce que donne le théorème d'encadrement lorsque la limite est la même) et encore moins sa valeur.

Le théorème s'appliquera pour des limites infini lorsque nous sommes dans ce type d'encadrement là:

Soit G une fonction continue telle que la limite en 0 de G soit +infini.
Soit F une fonction telle que pour tout x, G(x) < F(x)

Vu que toutes les images de G sont en-dessous des images de F et que G va faire monter F vers le ciel en 0 alors, la limite de F(x) en 0 sera égale à +infini.

Même chose si la limite est -infini et que F(x) < G(x) pour tout x.

- En fait, pour résumer le théorème des "gendarmes", il faut et il suffit d'avoir un encadrement par deux fonction qui tend vers la même limite (la version classique).
- Si une fonction est majorée par une fonction qui tend vers -infini en un point alors la fonction initiale tendra aussi vers -infini en ce point.
- Si une fonction est minorée par une fonction qui tend vers +infini en un point alors la fonction initiale tendra aussi vers +infini en ce point.

Je pense que le plus simple pour comprendre ce théorème et les deux autres propriétés est d'avoir un visuel en tête très clair (un tuyau rétrécissant, une canalisation qui s'enfonce dans le sol, une tour qui monte vers le ciel par exemple).

Bonne continuation et n'hésite pas à poser tes questions!

Bonjour,
Merci pour votre réponse rapide ^^.
Pour la limite, j'ai compris votre démonstration mais je n'aurais pas imaginé l'utilisation de la dérivée, ça me laisse sans voix  ... Tant mieux, ça réactive certains neurones qui se sont endormis depuis la fin du cours sur les dérivées en première !
Pour le théorème des gendarmes, je n'avais en effet pas remarqué que si un membre tendait vers + l'infini, l'autre tendait vers - l'infini.
Encore merci,
Scientia

En fait, c'est ce que je te répondais sur l'autre conversation à savoir qu'en maths le but est de démontrer les choses (à savoir partir d'un point A supposé vraie ou démontré vrai et aller de façon logique vers un point B qu'on cherche; c'est ça une démonstration/preuve).

Ainsi, lorsqu'on parle de dérivée, il y a plusieurs notions qui doivent t'apparaître pour cibler le maximum de possibilité:

1) formule de dérivation (de préférence savoir d'où elles proviennent mais au moins les connaître)

2) définition de la notion de dérivation à savoir le taux d'accroissement en un point (ce qui définit par continuité la notion même de fonction dérivée qui n'est pas si simple en fait car on ne définit que la notion de dérivée en un point et on dit à la va vite que la fonction dérivée est la dérivée au point x tout simplement mais mathématiquement ce n'est pas aussi trivial que cela car qui dit fonction dit définition de celle-ci et donc ensemble de définition !!)

3) qui dit taux d'accroissement, dit bien entendu tangente à la courbe représentative de la fonction. Enfin, tangente c'est vite dit si on souhaite être précis, il faudra plutôt dire qu'on parle du coefficient direction de la tangente en un point à la courbe représentant la fonction en ce point (le point de tangence).

4) Qui dit tangente à une courbe dit notion de vitesse (instantanée !) d'un mobile ayant pour trajectoire la courbe initiale.

Le but étant de ne pas oublier le 2) car la définition des choses est en fait la seule chose qu'on connait dans la vie, le reste n'étant qu'une interprétation ou une utilisation de cette définition.