limites et continuité

salut , je bloque dans un exo portant sur la limite et la continuité .
E(x) désigne la partie entière de x
1-montrer que la fonction définie par f(x)= E(x)/(x-1) est continue sur IR \ Z
2-étudier la continuité de la fonction g définie par g(x)=E(2x) en 1/2

je ne sais pas par quoi commencer !! j'espère votre aide

Bonsoir,

Quelle est la définition de la continuité d'une fonction ?

A partir de là, on sait que la fonction Partie entière est continue sur des intervalles mais qu'aux bords de ceux-ci il y a un saut. Du coup, il y a un grand nombre de points de discontinuité pour cette fonction. Pour "combler les trous" et rendre continue cette fonction, on te propose de considérer son quotient avec (x+1) ce qui d’emblée ne permet pas de prendre -1 comme valeur, mais on te propose justement d'enlever tout les entiers négatifs.

La fonction serait donc continue sur une réunion d'intervalle et c'est ce qu'on te demande de montrer. Pour ce faire, il va falloir utiliser des encadrements sinon, tu ne pourras pas montrer que la limite à gauche est égale à la limite à droite qui est elle-même égale à la limite au point.

Bon courage!

Soit x appartient à IR privé de 1
f(x)=E(x)/(x-1)
si x appartient à [n,n+1[ => E(x)=n , n appartient à Z privé de 1
si x appartient à [n+1 , n+2[=> E(x)=n+1
est qu'on étudie la continuité en cherchant la limite à gauche et à droite en (n+1) ?

Et si tu encadrais directement E(x) en fonction de x ?

JE VOIS PAS COMMENT !!

Si tu poses E(x)=n, alors, on a: n ≤ x < n + 1

Du coup, que vaudrait l'encadrement de E(x) ?

Bon courage!

E(x)=<x<E(x)+1
x-1<E(x)
excusez-moi monsieur j'ai pas encore saisi l'utilité de l'encadrement ?

Il manque une partie de ton inégalité:
x-1 < E(x) =< x

Maintenant, on peut encadrer notre fonction s'il y a des limites à calculer cela pourrait nous être utile au cas où.

Maintenant, comment montre-t-on qu'une fonction est continue ?

Bon courage!

donc c'est ça l'encadrement de notre fonction
1<E(x)/(x-1)=< x/(x-1)
on montre qu'une fonction est continue si la limite à droite est égale à la limite à gauche qui est égale à la limite au point.

Bonsoir,

Nickel pour l'encadrement SI x-1>0 sinon, l'encadrement est inversé. Il faut toujours faire attention au signe des objets qu'on manipule lorsqu'on utilise des inégalités.

Donc pour montrer que c'est continue sur une réunion d'intervalle, il faut considérer chaque intervalle.
Est-ce continue sur les intervalles ]n,n+1[ pour n un entier relatif?

La réponse est en fait immédiate mais la révision sur les encadrements de la fonction partie entière n'était pas un luxe à première vue ;-).

ok 1<E(x)/(x-1)=< x/(x-1) si x-1>0
x/(x-1)< E(x)/(x-1) =< 1 si x-1<0
mais j'ai pas encore compris comment l'encadrement d'une fonction quelconque nous aide à démontrer qu'elle est continue sur certains intervalles ?

Ici, l'encadrement nous sert à rien car sur chaque intervalle la fonction E(x) est déjà continue.
Du coup, il faut juste vérifier qu'il n'y a pas d'annulation du dénominateur.

Pour l'autre fonction, il faut calculer les limites à gauche et à droite pour savoir si elles sont toutes les deux égales ou non à E(2*1/2)=E(1)=1

Bon courage!